Лекция №6

6. Силы инерции

6.1 Преобразования Галилея. Механический принцип относительности

Наиболее просто механическое движение можно описать в инерциальных системах отсчета (ИСО). Выбор ИСО в известной мере произволен. Например, можно описывать механическое движение в л- или ц-системе (§  2.4). В связи с этим часто возникает необходимость перехода от одной инерциальной системы к другой.

Этот переход осуществляется с помощью преобразования Галилея.

Пусть имеются две инерциальные системы отсчета K и K', причем K' движется равномерно и прямолинейно относительно K (рис. 6.1). С каждой из этих систем связаны часы, которые показывают время соответственно t и t'. В момент времени t=0 начала координат O и O' совпадают. За время t точка O' удалится от точки O на расстояние vt.

Пусть некоторая точка M в системе отсчета K имеет координаты (x, y, z, t), а в K' – (x', y', z', t'). Связь между этими координатами устанавливается преобразованиями Галилея

(6.1)

Рис. 6.1.

В основу преобразований Галилея положены представления об абсолютности пространства и времени, т.е. расстояние между двумя точками и промежуток времени между двумя событиями одинаковы в любых ИСО.

Продифференцируем в (6.1) первое уравнение по времени. Имея в виду, что t'=t, получаем

.

(6.2)

где – скорость тела относительно систем отсчета соответственно K' и K.

Формула (6.2) представляет закон сложения скоростей в классической механике.

Дифференцируя (6.2) по времени, получаем

.

(6.3)

Таким образом, при переходе от одной ИСО к другой скорость изменяется, а ускорение остается постоянным.

Все физические величины в классической механике подразделяются на относительные и абсолютные. Относительными являются такие величины, значения которых зависят от выбора той или иной ИСО – скорость, кинетическая энергия, импульс. Абсолютные величины сохраняют свое значение в любой инерциальной системе отсчета. В классической механике абсолютными являются ускорение, масса, сила, время, длина и т.д.

Законы Ньютона не меняют свой вид при переходе от одной ИСО к другой: F=ma (система K) F'=m'a' (система K').

Это же относится и к другим механическим законам. Законы классической механики инвариантны (т.е. не меняют свой вид) по отношению к преобразованиям Галилея.

С инвариантностью законов механики темно связан механический принцип относительности Галилея: никакими механическими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, невозможно обнаружить движется ли данная система равномерно и прямолинейно или находится в состоянии покоя.

6.2. Силы инерции при поступательном движении

Неинерциальной называется такая система отсчета, которая двигается ускоренно относительно ИСО. В неинерциальной системе отсчета (НСО) законы Ньютона, вообще говоря, нарушаются. Однако и в этом случае можно использовать законы динамики, если помимо сил взаимодействия между телами учесть так называемые силы инерции.

Рассмотрим возникновение сил инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета K' относительно ИСО K (рис. 6.2).

Рис. 6.2.

Система отсчета K' связана с тележкой, т.е. тележка неподвижна относительно K'. На тележке имеется пружина, к которой прикреплено тело массой m. Пока тележка неподвижна или движется равномерно и прямолинейно, пружина не растянута. Предположим теперь, что тележка движется с ускорением относительно ИСО K. Это означает, что система K' является НСО.

Рассмотрим теперь происходящий процесс с точки зрения неподвижного наблюдателя, находящегося в системе K, и подвижного наблюдателя, находящегося в системе K'. Оба наблюдателя обнаружат растяжение пружины, однако объяснят этот факт по-разному.

Наблюдатель в K считает, что растяжение пружины имеет чисто кинематическое происхождение: за счет инерции тело стремится сохранить свое прежнее состояние покоя (или равномерного прямолинейного движения), в то время как тележка (вместе с пружиной) уходит вперед, двигаясь ускоренно.

Относительно системы отсчета K' тележка неподвижна. Наблюдатель в K', обнаружив растяжение пружины, считает, что оно вызвано действием силы, которая уравновешивается силой упругости F_упр. Эта сила есть не что иное, как сила инерции

,

(6.4)

поскольку никакие другие силы на тело не действуют.

С проявлением этих сил мы сталкиваемся в повседневной практике. Например, действие этих сил ощущают пассажиры при резком торможении трамвая.

Рис. 6.3.

В настоящее время силы инерции нашли себе полезное практическое применение в системах инерциальной навигации (на морских судах и самолетах). Схема судового прибора инерциальной навигации показана на рис. 6.3. В начальный момент времени судно покоится (v=0, a=0), а значения его начальных координат известны. Когда судно начинает двигаться, например, в направлении оси x, оно приобретает некоторое ускорение и возникает сила инерции, сжимающая пружину. Измерив сжатие пружины, можно найти значение ускорения судна и далее интегрированием – его скорость и пройденный путь:

.

Процессы измерения ускорения и последующего определения скорости и координаты осуществляются соответствующими электронными средствами и позволяют достаточно точно определять скорости и координаты транспортных средств.