1.4.3. Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим изолированное тело, т.е. такое тело, на которое не действует внешний момент сил. Тогда =0 и из (4.13) следует , т.е.

.

(4.14)

Если изолированная система состоит из нескольких тел, то формула (4.14) обобщается:

.

(4.15)

Выражение (4.15) представляет закон сохранения импульса. В изолированной системе суммарный момент импульса всех тел системы сохраняется неизменным.

Как отмечалось в §  2.3, закон сохранения момента импульса связан с изотропностью пространства.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси его момент инерции остается постоянным. Из закона сохранения момента импульса (4.14) следует, что , т.е. в этом случае вращение будет равномерным.

Рассмотрим несколько примеров, когда вращающееся тело не является абсолютно твердым и под действием внутренних сил может измениться его момент инерции.

1. Пусть тело с моментом инерции I₁ равномерно вращается с угловой скоростью ₁, а далее под действием внутренних сил его момент инерции изменяется (например, вследствие перемещения некоторых масс) и становится равным I₁. Тогда по закону сохранения момента импульса должна измениться и угловая скорость вращения:

.

Например, изменяют угловую скорость собственного вращения фигуристы, которые, прижимая руки к телу, уменьшают момент инерции и увеличивают угловую скорость вращения.

2. Если какое-либо тело не вращается, то, очевидно, что  и, следовательно, I. Если же за счет внутренних сил возникает вращение какой-либо части этого тела, то для компенсации возникшего момента импульса остальные части тела придут во вращательное движение в обратном направлении. Так, вращение несущего винта вертолета должно компенсироваться обратным движением его корпуса, а поскольку последнее нежелательно, то приходится устанавливать на корпусе специальный горизонтальный винт для его удержания в неизменном положении. Аналогичным образом устроены механизмы ориентации некоторых космических аппаратов, состоящие из электродвигателей с маховиками, расположенными внутри корпуса аппарата.

1.4.4. Гироскоп

Гироскопом называется твердое симметричное тело, вращающееся вокруг оси, совпадающей с осью симметрии тела, проходящей через его центр масс и соответствующей наибольшему собственному моменту инерции.

Обычно гироскоп закрепляют на так называемом кардановом подвесе (рис. 4.7), позволяющем ему свободно поворачиваться в пространстве вокруг любых осей.

Рис. 4.7.

Рис.4.8.

Если на равномерно вращающийся гироскоп не действуют внешние моменты сил, он, согласно закону сохранения момента импульса, сохраняет неизменным положение оси собственного вращения в инерциальном пространстве, т.е. в ц-системе отсчета. (см. §  2.4). Это свойство гироскопа нашло применение для сохранения направления движения тел, начиная с нарезного оружия и кончая системами гироскопической ориентации ракет и космических летательных аппаратов.

Рассмотрим теперь, что будет происходить, если на свободный гироскоп будет действовать внешний момент сил (рис. 4.8).

Ось собственного вращения гироскопа вертикальна (совпадает с осью z); вектор момента импульса ориентирован вдоль этой же оси. На свободный гироскоп в плоскости xOz действуют пара сил , , момент которой направлен вдоль оси y, стремясь повернуть гироскоп вокруг оси y. При воздействии этого момента в течение времени dt он сообщит гироскопу изменение момента импульса , равное согласно (4.13) , т.е. =, и направленное вдоль оси y. Тогда суммарный момент импульса определяется как векторная сумма . Так как направление момента импульса гироскопа совпадает с его осью вращения, то гироскоп повернется на некоторый угол относительно оси x. Парадоксальность поведения гироскопа заключается в том, что стремясь повернуть гироскоп вокруг оси y, мы вызываем его поворот вокруг оси x. Если действие внешнего момента продлится достаточное время, то гироскоп повернется так, чтобы его ось собственного вращения совместилась с осью вынужденного вращения и вращение вокруг этих осей происходило в одном направлении.

Это свойство гироскопа находит полезное практическое применение в гирокомпасах. Быстро вращающийся ротор гироскопа, установленный во вращающейся системе координат, связанной с Землей, автоматически устанавливается таким образом, чтобы его ось собственного вращения была параллельной оси вращения Земли и, следовательно, лежала в плоскости истинного меридиана данной точки.