1.6.5. Вопросы для самопроверки
1. Какие вычислительные процессы называются итерационными? Приведите примеры.
2. Что является условием окончания итерационных вычислений?
3. Какому оператору передается управление, если условие, проверяемое в операторе IF, выполняется и не выполняется ?
4. Почему в условии сходимости разность между Yi+1 и Yi берется по абсолютной величине для сравнения с E ?
5. Пояснить принцип работы счетчика итераций.
6. Если итерации не сходятся, какой условный оператор, ограничивающий число итераций, необходимо записать и в какое место программы его вставить?
Лабораторная работа № 1.7 (C:\USER\GROUP\NOF\lab7.bas)
ВЫЧИСЛЕНИЕ НА ПЭВМ СУММ БЕСКОНЕЧНЫХ ЧИСЛОВЫХ
РЯДОВ С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ
1.7.1. Цель работы. Получение практических навыков алгоритмизации и программирования сумм числовых бесконечных рядов с заданной точностью с использованием вычислительных циклов, число повторений которых не задано.
1.7.2. Справочный материал. Вычисление сумм бесконечных числовых рядов
(1.7.1)
с заданной точностью E, строится на основе циклических вычислений, число повторений которых не задано. При этом используется принцип накопления суммы (последовательное нахождение частичных сумм Sn ; начальное значение суммы ряда S0 обычно задается равным нулю):
Sn+1 = Sn +f ( xn ) , где n =0,1,...,N-1 , ( 1.7.2 )
где n - текущий номер члена ряда; N- число удержанных членов ряда. Вычис-ления заканчиваются при выполнении условия сходимости числового ряда:
| S n - S n-1 | ≤ E, (1.7.3)
где Е - точность вычислений. С учетом формулы (1.7.2), вводя обозначения
Yn = f ( xn ), неравенство (1.7.3) записывается в виде :
| Y n | ≤ E , (1.7.4)
Таким образом , вычислительный процесс завершается тогда , когда абсолютная величина очередного члена ряда станет не больше заданной точности вычислений Е, при этом считается, что сумма бесконечного числового ряда S = S n E .
1.7.3. Пример. Подготовить и организовать на ПЭВМ вычисление суммы бесконечного числового сходящегося ряда с точностью Е:
(1.7.5)
Значения аргумента X и точность вычисления Е задаются следующим образом:
X = 0.15 ; E = 0.001;
X = 0.21 ; E = 0.0001.
В основу алгоритма решения задачи положена типовая структура циклического вычислительного процесса “повторять до”. Как и любой циклический вычислительный алгоритм, данный алгоритм предусматривает следующие три этапа:
1) подготовку цикла, т.е. задание начальных значений параметра цикла n, суммы S0 и факториала P0, а также точности вычисления E и аргумента X ;
2) тело цикла: вычисление очередного члена числового ряда Yn, накопление суммы и переменной цикла n и проверку условия окончания цикла (1.7.3) ;
3) вывод значений вычисленной суммы числового ряда и числа удерживаемых членов ряда в этой сумме.
Текст БЭЙСИК - программы для примера (1.7.3) приводится ниже :
10 INPUT “ Введите значения E , X= “ ; E ,X
20 N = 1 : S = 1 : P = 1
30 Y =X ^ N / P : N = N + 1
40 S = S + Y : P = P * N
50 IF ABS ( Y ) > E THEN 30
60 PRINT “ СУММА РЯДА = “ ; S ,“ЧИСЛО УДЕРЖ. ЧЛЕНОВ РЯДА =“ ; N - 1
70 END
Ввод данных :
Введите значения Е , Х = ? 0.15, 1E-5
Введите значения Е , Х = ? 0.21, 1Е-5
Результаты :
СУММА РЯДА = 1,161834 ЧИСЛО УДЕРЖ. ЧЛЕНОВ РЯДА = 6
СУММА РЯДА = 1,233675 ЧИСЛО УДЕРЖ. ЧЛЕНОВ РЯДА = 5
Следует отметить, что в данной программе начальное значение суммы ряда S0 равно 1, так как необходимо учесть в сумме ряда “нулевой” член этого ряда (счет начинается с первого члена ряда n = 1, см. строку № 20 ). Также, очень полезно, с целью проверки правильности вычисления факториала n! проводить “вручную” расчет факториала и сравнивать эти расчеты с расчетами значений n! согласно форме, приведенной ниже:
-
n
P = P * n
n!
1
1
1
2
2
2
3
2 * 3 = 6
2 * 3 = 6
4
2 * 3 * 4 = 24
2 * 3 * 4 = 24
1.7.4. Задание к лабораторной работе. Подготовить и организовать на ПЭВМ вычисление суммы бесконечного сходящегося ряда по формуле из табл. 1.7.1 (вариант соответствует порядковому номеру студента в группе ).
Таблица 1.7.1
-
Номер
вариан-
та
Исходная формула
Значение
x
Значение
1
-0.0476
0.655
10-5
10-6
2
0.324
1.36
10-6
10-4
3
0.278
0.536
10-5
10-6
4
0.198
0.567
10-4
10-5
5
1.33
2.57
10-4
10-5
6
0.5
2.75
10-3
10-4
7
1.3
2.1
10-3
10-3
8
0.755
0.052
10-4
10-6
Продолжение табл. 1.7.1
1
2
3
4
9
0.35
0.87
10-6
10-4
10
1.1
2.2
10-3
10-3
11
1.01
3.08
10-3
10-4
12
1.24
2.53
10-3
10-2
13
1.5
2.73
10-3
10-2
14
1.07
2.6
10-3
10-4
15
0.9
0.5
10-4
10-3