3.4. Интерполяция функций
Пусть y = f (x) – некоторая функция, для которой известна лишь таблица ее значений, т. е. известно, что при значениях аргумента x = x0, x1, …, xn функция принимает соответственно значения у0, у1, … , уn:
f
(x0)
= y0;
f (x1) = y1;
………… .(3.4.1)
f (xn) = yn.
Y
y0 y1 y2 yn-1 yn
x0
x1
x2
xn-1
xn
X
Рис. 3.28. Узлы интерполяции (x0, y0), (x1, y1), … , (xn, yn), штрихованные линии промежуточных значений функций
Фактически задача отыскания функции f(x) по заданным ее значениям в узлах означает, что мы должны построить кривую, проходящую через точки плоскости с координатами (x0, y0), (x1, y1), … , (xn, yn) (см. рис.3.28) [III, 16].
В дальнейшем будем обозначать через F(x) любую функцию, которая в узлах принимает заданные значения. При этом функций F(x) может быть бесконечное множество.
Основная идея применения интерполяционных формул состоит в том, что функция y = f(x), для которой известна лишь таблица значений (рис. 3.28), заменяется интерполяционным многочленом, который рассматривается как приближенное аналитическое выражение для функции f(x)
F(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + … + an xn. (3.4.2)
При этом, естественно, возникает вопрос о степени точности такого приближения и оценках погрешности, возникающей при замене f(x) на F(x) при различных действиях.
Замена функции f(x) её интерполяционным многочленом используется для отыскания промежуточных значений функций (штрихованные линии на рис. 3.28), а также, когда аналитическое выражение для f(x) известно, но является слишком сложным, а функция f(x) должна подвергаться различным математическим операциям (например, интегрированию).
Таким образом, задача интерполирования формулируется следующим образом:
рассматриваемая функция f(x), для которой заданы значения yi = f (xi)
(i=0, 1, 2, … , n), причем все xi и yi известны. Требуется определить многочлен
у= F(x) степени n, для которого F(xi)= f (xi) (i=0, 1, 2, … , n).
Для вычисления неизвестных коэффициентов a0, a1, a2, … , an, входящих в интерполяционный многочлен (3.4.2), необходимо решить систему уравнений, состоящую из n+1 уравнений с n+1 неизвестными:
a0 + a1 x0 + a2 x02 + a3 x03 + … + an x0n = у0 ;
a0 + a1 x1 + a2 x12 + a3 x13 + … + an x1n = у1 ;
……………………………………………………………….. (3.4.3)
a0 + a1 xn + a2 xn2 + a3 xn3 + … + an xnn = уn .
Определив значения коэффициентов a0, a1, a2, … , an из системы уравнений (3.4.3), мы и получим интерполяционный многочлен F(x), дающий решение поставленной задачи.