3.2.3. Моделирование процесса переноса частиц на основе гиперболической системы уравнений

В отличие от диффузионной постановки процесса переноса частиц, которая приведена выше, уравнения непрерывности и движения частиц, образующие гиперболическую систему, содержат инерционные члены и имеют следующей вид:

; (3.2.28)

,

где - скорость звука в среде; N, V, m – концентрация, скорость и масса частицы [III, 17-19].

Численное решение гиперболического уравнения непрерывности (3.2.28) при постоянной скорости частиц. Для случая V₀ = const уравнение непрерывности для частиц имеет вид:

. (3.2.29)

Начальные условия. Начальное значение концентрации зададим равным

N(x,0) = 10²⁷ м^-3. (3.2.30)

Характеристиками уравнения (3.2.29) являются прямые линии, для которых

. (3.2.31)

Уравнение каждой из таких прямых может быть представлено в следующем виде:

x – V₀t = const . (3.2.32)

Только постоянная будет для каждой из прямых своя, которая как бы нумерует эти прямые. Поэтому можно говорить, что постоянная является «номером» прямой семейства, задаваемой уравнением (3.2.32). Нарисуем на плоскости (x, t) прямые линии, вдоль которых (рис. 3.16). Для конкретности зададим скорость частиц V₀ =1м/с. Так как скорость частиц является тангенсом угла наклона характеристики (см. формулу (3.82)), а V₀ =1м/с, то угол наклона прямой будет равен 45⁰.

t

j=1

j=0

x₀ x_n x

Рис.3.16. Семейство характеристик уравнения (3.2.28) при V₀ > 0

Рассмотрим функцию N(x, t) и вычислим ее производную вдоль характеристики при предположении, что функция N(x, t) дифференцируема.

. (3.2.33)

Равенство нулю полной производной =0 означает постоянство N(x, t) вдоль каждой из характеристик. Естественно, на разных прямых эта постоянная может быть различной. Таким образом, значение N(x, t) в (x, t) зависит лишь от «номера» той прямой, на которой лежит точка, т. е. N(x, t) = f(x – V₀t). Значение x – V₀t является «номером» прямой.

В соответствие с наклоном характеристик строится разностная схема численного решения гиперболических уравнений (схемы бегущего счета) и задаются граничные условия на правой или левой границе. Так для рассматриваемого случая V₀ > 0, приведенного на рис. 3.16, когда информация передается на правую границу при переходе с временного слоя j = 0 на слой j =1 и последующие по характеристикам, краевые условия на правой границе не задаются. В это же время необходимо задавать краевые условия на левой границе, так как на нее не приходит ни одна характеристика. В том случае, если приходится решать гиперболическое уравнение методом прогонки, то необходимо использовать само уравнение (3.2.29) для задания краевого условия для той границы, на которую приходят характеристики.

В этом случае дифференциальное уравнение в частных производных гиперболического типа (3.80) аппроксимируется следующей системой разностных уравнений:

или , (3.2.34)

где χ = ; i = 1, 2, …, n; j = 0, 1, …k-1. Остальные обозначения соответствуют обозначениям, приведенным в разд. 3.2.2.

Разностные уравнения (3.2.34) необходимо дополнить краевым условиям на левой границе. Для этого используем краевые условия 1-го рода:

N(0, t) = 10²⁸ м^-3 или в разностном виде N_0,j+1 = 10²⁸. (3.2.35)

Численное решение гиперболического уравнения (3.2.29) по рекуррентной разностной схеме (3.2.33) сводится к следующему. Используя начальные условия (3.2.30) и краевое условие на левой границе, рассчитываем значение концентрации частиц в первой пространственной точке и на первом временном слое N_1,1. По найденному значению концентрации N_1,1 вычисляем N_2,1 и так далее пока не определим значение концентрации частиц на правой границе N_n,1. Затем переходим на следующий временной слой, и вычислительный процесс будет продолжаться по алгоритму, описанному для расчета искомой функции на первом временном слое до тех пор, пока не определятся значения функции N_i,j во всех узлах разностной сетки.

Для случая V₀ < 0 (V₀ = - 1м/с) тангенс угла наклона становится отрицательным, а соответственно – угол больше 90⁰ и характеристики теперь приходят на левую границу, как это изображено на рис. 3.17.

t

j=1

j=0

x₀ x_n x

Рис. 3.17. Семейство характеристик уравнения (3.2.29) при V₀ < 0

Таким образом, краевые условия для этого случая не задаются на левой границе, а задаются на правой. Изменяется и аппроксимация пространственной производной, если для случая V₀ > 0 выбиралась левая разностная производная, то для случая V₀ < 0 необходимо использовать правую разностную производную.

Разностная аппроксимация дифференциального уравнения (3.2.29) в этом случае имеет вид:

или ; i=n-1,…, 0. (3.2.36)

Из рекуррентного соотношения (3.2.34) следует, что изменилось и направление изменения индекса i, если для случая V₀ > 0 индекс i возрастал от 0 до n-1, то для случая V₀ < 0 индекс i уменьшается от n-1до 0, а соответственно для начала расчета N_i,j необходимо задавать краевые условия на правой границе. Для этого используем краевые условия 1 – го рода:

N(x_n, t) = 10²⁸ м^-3 или в разностном виде N_n,j+1 = 10²⁸. (3.2.37)

Алгоритм расчета функции N_i,j во всех узлах разностной сетки аналогичен алгоритму, описанному для случая V₀ > 0.

Текст программы алгоритма решения гиперболического дифференциального уравнения (3.2.29), написанной на блочно-структурном языке системы MATH CAD и числовые данные, приведены ниже.

Результаты численных расчетов. На рис. 3.18 приведены рассчитанные пространственные и временные зависимости концентраций N_i,j для случая V₀ > 0. Рис.3.18. Пространственные и временные зависимости концентраций N_i,j

А на рис. 3.19 приведены рассчитанные пространственные и временные зависимости концентраций N_i,j для случая V₀ < 0. Расчеты проводились при следующих значениях параметров:

n = 50; τ = 1200c; h = 5 м; k = 20; V₀ = ±0,01м/c; N(x, 0) = 0. (3.2.38)

Рис. 3.19. Пространственные и временные зависимости концентраций N_i,j

К достоинствам схем бегущего счета следует отнести их безусловную устойчивость решения гиперболических уравнений (в приведенных численных расчетах шаг интегрирования по времени задавался весьма большим (τ = 1200c)) и высокую эффективность (не нужно выполнять лишних арифметических операций как, например, в методе прогонки).

К недостаткам схем бегущего счета следует отнести невысокую точность аппроксимации производных по обеим производным, которая составляет 0(h + τ), что нетрудно показать с помощью методики, приведенной в разд. 3.1.1.

Задание. Провести численное исследование процесса переноса частиц на основе гиперболического дифференциального уравнения (3.2.29) при начальных значениях концентрации и скоростей N(0,x) и V₀ , приведенных в табл. 3.8.

Таблица 3.8

Номер последней цифры зачетной книжки	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
N(0,x)1026,м-3	26	25	24	23	22	21	20	19	18	17
V0, м/с	±0,001	±0,003	±0,005	±0,008	±0,01	±0,02	±0,03	±0,04	±0,05	±0,06