Лабораторная работа № 3.1 исследование автономной линейной системы уравнений
Задание. Исследовать следующую систему дифференциальных уравнений:
(3.1.18)
Порядок выполнения работы:
1) Зададим матрицу правых частей А и находим собственные значения λ (3.14)
ORIGIN:= 1;
A:=
;
EIGENVALS(A)
=
.
(3.1.19)
Собственные числа λ действительны и имеют разные знаки. Точка покоя - седло.
-
Для разных начальных условий решаем задачу Коши и строим фазовые кривые:
D(t,x):=
; x:=
;
x1:=rkfixed(x,0,1,100,D), (3.1.20)
где х1-матрица решений, имеющая три столбца (первый - время t, второй - х1 и третий - х2).
Рис. 3.3. Фазовые кривые для разных начальных условий
И, наконец, построим векторное поле вектора решений Х
Рис. 3.4. Векторное поле
Лабораторная работа № 3.2 исследование автономной нелинейной системы уравнений
Задание. Решить следующую систему дифференциальных уравнений:
(3.1.21)
Рис. 3.5. Фазовые траектории и временные развертки
-
Зададим вектор правых частей системы уравнений (3.1.21)
ORIGIN:=1;
D(t,x):=
.
(3.1.22)
2) Для двух начальных условий находим решение системы дифференциальных уравнений (3.1.21) и строим фазовые траектории и временную развертку, которые приведены на рис. 3.5.
Лабораторная работа № 3.3 решение жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
Строгого математического обоснования численного решения жестких ОДУ не существует. Исторически интерес к жестким системам возник при изучении уравнений химической кинетики, где одновременно присутствуют очень медленно и очень быстро протекающие химические реакции. Рассмотрим классическую модель взаимодействия трех веществ:
(3.1.23)
Необходимо отметить, что коэффициенты, входящие в систему жестких обыкновенных дифференциальных уравнений (3.1.23), отличаются на несколько порядков при разных слагаемых [III, 14].
Задание. Решить систему жестких дифференциальных уравнений (3.1.23).
1) Зададим вектора правых частей F(t, y), начальных условий y0 и матричную функцию J(t, y), составленную из производных правой части системы уравнений (3.1.23).
.
(3.1.24)
2) Попробуем решить задачу (3.1.23 - 3.1.24) методом Рунге-Кутта.
Рис. 3.6. Результаты численного решения системы жестких обыкновенных дифференциальных уравнений (3.1.23) методом Рунге-Кутта
3) Теперь решим эту же систему уравнений методом Булирша-Штера, разработанным для жестких ОДУ и основанным на неявных разностных схемах.
Рис. 3.7. Результаты численного решения системы жестких обыкновенных дифференциальных уравнений (14) методом Булирша-Штера
Сопоставление результатов численных расчетов, приведенных на рис. 3.5-3.7, свидетельствуют о том, что метод Рунге-Кутта оказался непригоден для решения системы жестких обыкновенных дифференциальных уравнений.
Задание. Исследовать численные решения следующих систем дифференциальных уравнений:
1) По лабораторной работе № 3.1 «Исследование автономной линейной системы уравнений». Задать следующие значения коэффициентов, входящих в правую часть системы уравнений (3.1.13), и при этих значениях найти ее решение:
Таблица 3.2
-
№
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
а11
0
4
2
3
4
0
1
9
-1
1
а12
1
0
3
4
3
2
2
8
2
-2
а21
2
5
0
5
2
0
3
7
-3
3
а22
3
6
4
0
1
3
4
6
4
-4
2) По лабораторной работе № 3.2 «Исследование автономной нелинейной системы уравнений». Задать произвольные значения коэффициентов, входящих в правую часть системы уравнений (3.1.21), и при этих значениях найти ее решение.
3) По лабораторной работе № 3.3. «Исследование жесткой нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений». Задать произвольные значения коэффициентов, входящих в правую часть системы уравнений (3.1.23), и при этих значениях найти ее решение.