3.2.2. Математическое моделирование процесса прерванного посола рыбы

В этом разделе рассматриваются вопросы, связанные с математическим моделированием, так называемых, прерванных процессов посола рыбы при условиях высокого солевого насыщения рассола, проходящих в два этапа. На первом этапе, занимающем сравнительно небольшой промежуток времени, рыба закладывается в емкости и заливается тузлуком, имеющим высокую концентрацию соли NaCl. При этом необходимо отметить, что реализуется процесс свободного посола рыбы, когда система активная среда - тузлук и рыба представлена сама себе, т. е. концентрация соли в тузлуке понижается, а в тканях рыбы, соответственно, повышается. Данное обстоятельство приводит к необходимости на первом этапе решать сопряженную задачу о временном взаимосвязанном распределении концентрации соли NaCl в тузлуке и мясе рыбы. На втором этапе, более длительном, процесс засолки рыбы прекращается. Вследствие значительной неравномерности просола по тушке рыбы соль, полученная рыбой под действием градиента концентрации соли NaCl, равномерно распределяется по толще рыбы и тем самым обеспечивает высокие гастрономические вкусовые качества.

Процессы перераспределения хлористого натрия в тканях мяса под воздействием солевого раствора описываются уравнением Фурье параболического типа:

, (3.2.20)

где D - коэффициент диффузии, см²сут; N - концентрация соли NaCl в мясе рыбы, %; t - время, сут; х - текущая координата (- L  x  L ), см;  - индекс формы ( 0 -пластина; 1 - цилиндр; 2 - шар ); L - полутолщина пластины (радиус цилиндра, шара) [III, 9].

Начальные условия задаются в виде:

N( x; 0) = N₀ = const. (3.2.21)

Граничные условия. На левой границе (х = 0) используется условие симметрии формы тела (начало системы координат в центре симметрии - геометрический центр тела)

. (3.2.22)

На правой границе (х = L) задается дифференциальное уравнение, описывающее условие массообмена активной среды - тузлук с рыбой (граничное условия третьего рода):

, (3.2.23)

где  - коэффициент, связанный с плотностью и удельной теплоемкостью при постоянным объеме тканей рыбы, см^-1 (в расчетах принимался, равным 212 см^-1 ); N_туз - концентрация соли NaCl в тузлуке, %.

Для свободного посола рыбы, который реализуется, как отмечалось выше, на первом этапе, по аналогии с работой введем граничные условия пятого рода, но уже основанные не на законе сохранения энергии, как в работе, а на законе сохранения массы:

-  M_туз =  М_рыб или N_туз = N⁰_туз - h_рыб/h_туз N , (3.2.24)

где М_туз = S h_туз m N_туз - изменение массы соли NaCl в тузлуке (знак “-“ указывает на уменьшение массы соли NaCl в тузлуке); туз - индекс параметров тузлука; S – площадь полуповерхности рыбы, см²; h_туз - толщина залитого слоя тузлука, см; m - масса молекулы соли NaCl, кг;  М_рыб = S h_рыб m N - изменение массы соли NaCl в тканях рыбы; h_рыб - толщина тушки рыбы; N⁰_туз - начальная концентрация соли NaCl в тузлуке.

На втором этапе процесс посола рыбы прерывается и полученная тканями рыбы соль NaCl равномерно перераспределяется по тушке рыбы, без возможности выхода из нее. Непроницаемость солью NaCl поверхности рыбы, может моделироваться следующим граничным условием:

. (3.2.25)

Для решения данной краевой задачи (3.2.20 – 3.2.25) воспользуемся методом прогонки. От уравнения (3.2.20) перейдем к конечно-разностному. Для этого дискретизируем задачу, т. е. вводим равномерные сетки по переменным x и t:

0 = x₀  x₁  . . .  x_{N - 1}  x_N = L, (3.2.26)

где N+1 - число пространственных узлов; x_i = i  h, h = L / N, i = 0,1, . . .,N. Определим N_i = N( x_i ) [III, 17-19].

0 = t₀  t₁  . . .  t_{k - 1}  t_k = BP, (3.2.27)

где k - число временных слоев; t_j = j  k,  = ВР / k, j = 0 , 1 , . . . , k. Значение концентрации соли NaCl в i-м узле и на j-м временном слое определим как N^j_i =N(x_i,t_j).

Заменяем исходное дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа (3.2.20) конечно - разностным во внутренних узлах по дивергентной схеме (на разностной схеме выполняются законы сохранения) , (3.2.28)

где индекс изменяется i = 1, 2, . . . , N - 1, а индекс j = 0, 1, . . . , k-1. Эти уравнения приводятся к каноническому трехдиагональному виду:

A_i N_i+1^j+1 - B_i N_i^j+1 + C_i N_i-1^j+1 = - D_i , (3.2.29)

где ; ; ; .