- •Оглавление
- •Введение
- •1. Программирование задач на языке basic
- •Программирование линейных вычислительных процессов
- •1.1.2. Справочный материал.
- •1.1.5. Вопросы для самопроверки
- •1.2.3. Пример:
- •20 Input “a b “ ; a , b input “a b “ ; a , b
- •1.2.4. Задание к лабораторной работе.
- •Определённые циклы
- •1.3.4. Задания к лабораторной работе.
- •Определённые циклы. Суммирование членов функционального ряда
- •Input “X, m%, h% “ ; X , m% , h%
- •1.4.4. Задания к лабораторной работе.
- •Файлы прямого и последовательного доступа
- •Input “X m h “ ; X , m% , h
- •Программирование итерационных вычислительных процессов
- •10 Input "Введите значения X,r,k,e" ; X,r,k,e
- •1.6.5. Вопросы для самопроверки
- •1.7.5. Вопросы для самопроверки
- •Формирование и обработка одномерных массивов
- •1.8.5. Вопросы для самопроверки
- •Формирование двумерных массивов и выполнение операций с матричными элементами
- •160 Next I
- •160 Next j
- •150 Next j
- •1.9.5. Вопросы для самопроверки
- •Программирование сложных программ с использованием подпрограмм
- •40 Read X( I ) : next I
- •45 Data 1, 2.1, -3, -4.1, 1.7, 1.8, 1.9, 14.2, -5, -4.3, 11.2, 10.8
- •140 Return
- •90 Read X( I ) : next I
- •100 Data 1, 2.1, -3, -4.1, 1.7, 1.8, 1.9, 14.2, -5, -4.3, 11.2, 10.8
- •1.10.5. Вопросы для самопроверки
- •Программирование цепочек текстовых переменных
- •1.11.5. Вопросы для самопроверки
- •Литература к главе 1
- •2.1.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение нелинейного уравнения графическим методом
- •2.2.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение НелинейноГо уравнениЯ МетодОм простых итераций
- •2.3.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение нелинейного уравнения методом касательных
- •2.4.3. Пример.
- •2.4.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение систем Нелинейных уравнений графическим методом
- •2.5.5. Вопросы для самопроверки
- •Решение систем Нелинейных уравнений методом пРостых итераЦиЙ
- •2.6.3. Пример.
- •2.6.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное интегрирование:метод прямоугольников и трапеций, формула симпсона
- •2.7.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное решение обыкновеНноГо дифференциального уравнениЯ МетодОм эЙлера и рунге-кутта
- •2.8.5. Вопросы для самопроверки
- •Численное решение систем обыкновеНнЫх дифференциальных уравнениЙ МетодОм эЙлера
- •3. Математическое моделирование на пэвм
- •3.1. Системы тел сосредоточенными массами
- •3.1.1. Математическое моделирование теплообмена для тел сосредоточенных масс с окружающей средой
- •3.1.2. Собственные колебания
- •Лабораторная работа № 3.1 исследование автономной линейной системы уравнений
- •Лабораторная работа № 3.2 исследование автономной нелинейной системы уравнений
- •Лабораторная работа № 3.3 решение жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- •3.1.3. Математическая модель стабильности позвоночника
- •Результаты численных расчетов
- •3.2. Системы с распределенными параметрами
- •3.2.1. Математическое моделирование процесса переноса частиц
- •3.2.2. Математическое моделирование процесса прерванного посола рыбы
- •Отметим, что критерий устойчивости счета методом прогонки к ошибкам округления выполнен, так как
- •Как следует из рекуррентных соотношений (3.2.32), для начала расчета необходимо иметь значения e1 и w1, которые определяются с помощью левого граничного условия (3.2.23)
- •3.2.3. Моделирование процесса переноса частиц на основе гиперболической системы уравнений
- •3.2.4. Математическое моделирование нестационарного двумерного процесса переноса частиц (теплопереноса)
- •Система разностных уравнений (3.2.45) дополнялась начальными и граничными условиями (3.2.40 – 3.2.44) и решалась методом обыкновенной прогонки попеременно в двух направлениях.
- •3.3. Повышение порядка точности аппроксимации дифференциальных уравнений
- •3.3.1. Повышение порядка точности аппроксимации обыкновенных дифференциальных уравнений
- •3.3.2. Повышение порядка точности аппроксимации дифференциальных уравнений гиперболического типа
- •3.4. Интерполяция функций
- •3.4.1. Линейная интерполяция
- •3.4.2. Квадратичная интерполяция
- •3.4.3. Интерполяционная формула Лагранжа
- •3.4.4. Сплайны
- •3.4.5. Алгоритм решения обратных задач по заданным показателям качества
- •Литература к главе 3
2.5.5. Вопросы для самопроверки
1. Как необходимо преобразовать систему уравнений, чтобы решить ее графическим методом?
2. Что нужно указывать по осям графика?
Лабораторная работа № 2.6 (С:\USERS\GROUP\NOF\lab6.mcd)
Решение систем Нелинейных уравнений методом пРостых итераЦиЙ
2.6.1. Цель работы. Получение практических навыков алгоритмизации и программирования решения систем нелинейных уравнений методом простых итераций.
2.6.2. Справочный материал. Рассмотрим системы нелинейных уравнений и начальных приближений, записанных в векторной форме
F(x) = 0, x0 = const. (2.6.1)
явно выразим вектор неизвестных x:
x = f(x). (2.6.2)
Приписывая итерационные индексы вектору неизвестной х в уравнении (2.6.2) таким образом, чтобы справа он был на единицу больше, получаем итерационный вычислительный процесс:
xi+1 = f(xi), x0 = const, i = 0, 1, …, N-1. (2.6.3)
Условия сходимости итерационного процесса для приближений векторных величин
, (2.6.4)
где - малый параметр, определяющий точность вычислений.
Таким образом, итерационный процесс прерывается при начале выполнения условия сходимости (2.6.4), отсюда и определяется N, как N = i+1.
Второй вопрос решается на основе условия локализации корня. Например, с помощью графика выберем окрестность искомого корня. Эту окрестность называют областью локализации корня. Итерационный процесс (2.6.3) сходится к искомому корню из любой точки области локализации, если в этой области выполняется условие
. (2.6.5)
Приведение исходного уравнения (2.6.1) к итерационному виду (2.6.2) в общем случае неоднозначно. Если для выбранного представления (2.6.2) условие (2.6.5) не выполняется, то нужно искать другую итерационную функцию.
2.6.3. Пример.
2.6.3.1. Методом простых итераций с заданной точностью решить систему нелинейных уравнений
(2.6.6)
Преобразуем эту систему уравнений к итерационной форме (2.6.2). Тогда вектор х и вектор правой части f(x) имеют вид:
х = ; f(x) = ,
где ; .
Начальные приближения корней возьмем из решения систем нелинейных уравнений (2.6.6) графическим методом:
.
Продифференцируем векторную функцию f(x) по векторному аргументу х, в результате получим матрицу q(x,y)
, так как. (2.6.7)
В качестве нормы матрицы возьмем ее определитель, а так как определитель может быть отрицательным, необходимо от него еще взять модуль, т.е.
. (2.6.8)
Теперь по формуле (2.6.3) можно построить итерационный процесс.
Рис. 2.6.1. Развитие итерационного процесса вычисления корней хк = 3;
ук =0,36 и число итераций равно N = 1
2.6.3.2. Методом простых итераций решить систему нелинейных уравнений при начальных приближениях корней, значение которых задается из графического метода
x + 3·lg(x) – y2 = 0; х0 = 1,59; у0 = -1,3; (2.6.9)
2·x2 - x·y - 5·x + 1 = 0.
Систему уравнений (2.6.9) запишем в следующем векторном виде:
А(х,у)·Х = ψ(х); Х0 = const, (2.6.10)
где Х = ; А(х,у) = ; ψ(х) = .
Полагая, что определитель матрицы А(х,у) не равен нулю (существует обратная матрица А-1(х,у)), в результате умножения левой и правой частей векторного уравнения (2.6.10) на обратную матрицу, получим
Х = f(x,y), где вектор f(x,y) = A-1(x,y)·ψ(x). (2.6.11)
Теперь по формуле (2.6.3) можно построить итерационный процесс в виде следующего алгоритма.
Программа и результаты итерационных вычислений корней:
Рис. 2.6.2. Развитие итерационного процесса вычисления корней (а) хк = 1,46
и (b) ук = - 1,4, при этом число итераций равно N = 200
2.6.4. Задание. Методом простых итераций решить соответствующий вариант задания, приведенного в п. 5.4 предыдущей работы.