2.8.5. Вопросы для самопроверки

1. Что такое предельный переход?

2. Какие этапы имеет метод Рунге-Кутта?

3. Выведите разностную схему метода Эйлера.

Лабораторная работа № 2.9 (С:\USERS\GROUP\NOF\lab9.mcd)

Численное решение систем обыкновеНнЫх дифференциальных уравнениЙ МетодОм эЙлера

2.9.1. Цель работы. Получение практических навыков алгоритмизации и программирования численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.

2.9.2. Справочный материал. Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в векторном виде, записывается

A(Х)·X^’ + B(Х)·X = F(X); Хa,b; Х₀ = CONST, (2.9.1)

где А(Х) и В(Х) – матрицы; X, F(X) – вектор решений и вектор правых частей от векторного аргумента.

Если матрицы А, В и вектор правых частей F не зависят от вектора решения, то такая система дифференциальных уравнений является линейной. Не нарушая общности записи в дальнейшем, аргумент Х будем опускать при рассмотрении систем дифференциальных уравнений

. (2.9.2)

Если обратная матрица А^-1 существует, то систему уравнений (2.9.2) можно записать в приведенном виде, умножив на эту матрицу слева обе части векторного уравнения (2.9.2)

, (2.9.3)

где С = А^-1 · В; R = A^-1 · F.

Разностная схема. Отрезок [a,b] разобьем на N равных частей, т. е. введем равномерную пространственную сетку

a = x₀ < x₁ < x₂ < …< x_N-1 < x_N = b, (2.9.4)

где N+1- число пространственных узлов; x_i = i  h; h = (b - a) / N; i = 0 , 1 , .. , N.

Для численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.9.3) воспользуемся неявной разностной схемой

1/h·(X_i+1 – X_i ) + C_i ·X_i+1 = R_i , X₀ = const; i = 0, 1, … , N -1. (2.9.5)

Умножив обе части векторного уравнения (2.9.5) на шаг h, приведя подобные члены и явно выражая X_i+1 , получим

X_i+1 = (E + h · C_i)^-1 ·(X_i + h · R_i), X₀ = const; i = 0, 1, … , N -1, (2.9.6)

где Е – единичная матрица.

2.9.3. Пример. Численно решить приведенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера

при у₀ = 1 и z₀ = 1; x0,3. (2.9.7)

В векторном виде система уравнений записывается в виде (2.9.2),

где Х = ; С = ; R = .

Рис. 2.9.1. Пространственное распределение величин у_i (сплошная кривая) и z_i

2.9.4. Задание. Самостоятельно задать матрицу С и вектор правых частей R и численно решить полученную приведенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера.

2.9.5. Вопросы для самопроверки

1. Какие системы дифференциальных уравнений являются приведенными?

2. В чем заключается отличие неявных разностных схем от явных?

3. Какие явные или неявные разностные схемы используются при численном решении приведенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений методом Эйлера?

Литература к главе 2

1. Бобарыкин Н.Д. Лабораторный практикум по основам алгоритмизации и программирования: методические указания к лабораторным работам в системе MATHCAD по дисциплине «Информатика» для инженерно-технических специальностей / Н.Д. Бобарыкин, Н.А. Боровикова и др. – Калининград: КГТУ, 1999.- 69 с.

2. Волков Е.А. Численные методы / Е.А. Волков. - М.: Наука, 1982 .

3. Информатика. Базовый курс: учеб. пособие / под ред. С.В.Симоновича. - 2-е изд. – СПб.: Питер, 2004. - 639 с.

4. Практикум по информатике: учеб. пособие /А.А. Землянский, Г.А. Кретова и др.; под ред. А.А. Землянского. – М.: КолосС, 2004. – 384 с.

5. Безручко В.Т. Практикум по курсу «Информатика». Работа в Windows, Word, Exel: учеб. пособие / В.Т. Безручко. – М.: Финансы и статистика, 2004. – 272 с.

6. Николь Н. EXEL 5.0. Электронные таблицы / Н. Николь, Р.Альбрехт. - М.: «ЭКОМ», 1997.- 343 с.

7. Персональный IBM–совместимый компьютер, 386-486, 4-8 RAM.

8. Программные средства: MSDOS v6.1, Norton Commander, Windows v3.1, Word v6.0, Exel 5.0, MathCAD, версия не ниже 2000.