2.3.5. Вопросы для самопроверки

1. Каким образом представить решаемое уравнение в итерационной форме?

2. Условие сходимости итерационного процесса.

Лабораторная работа № 2.4 (C:\USERS\GROUP\NOF\lab4.mcd)

Решение нелинейного уравнения методом касательных

2.4.1. Цель работы. Получить практические навыки алгоритмизации и программирования решения нелинейного уравнения методом касательных с применением шаблонов графики и производных.

2.4.2. Справочный материал. Задано нелинейное уравнение и начальное приближение в виде:

F(x) = 0, xa,b;

x₀ = const (2.4.1)

Алгоритм построения решения нелинейных уравнений методом касательных сводится к следующему. Через точку (х₀, F(x₀)) проводится касательная, как это показано на рис. 2.4.1, по формуле

y(x₁) – y(x₀) = F^’(x₀)·(x₁ – x₀). (2.4.2)

Учитывая, что у(х₁) = 0, а y(x₀) = F(x₀) и выражая явно х₁, получим

x₁ = x₀ - . (2.4.3)

Рис. 2.4.1. К выводу итерационной формулы метода касательных

Указанная процедура повторяется N раз, для которых, обобщая итерационную формулу (2.4.3), получим

x_i+1 = x_i - , i = 0, 1, …, N-1. (2.4.4)

Считается, что итерационный процесс сошелся, если выполнилось условие

, i = 0, 1, …, N. ‌‌ (2.4.5)

Этот итерационный процесс более чувствителен к начальному приближению, чем в методе простой итерации, однако сходится быстрее. Отметим, что рассматриваемый интервал a,b может содержать только один корень. Так как, алгоритм не изменяется при поиске различных корней нелинейного уравнения, то их поиск определяется только заданием значений начальных приближений.

Процесс поиска решения, как и во всяком итерационном методе, складывается из трех этапов:

1. Нахождения начального приближения.

2. Проверки условий сходимости.

3. Построения итерационного процесса.

Первый этап - нахождение начального приближения - описан в предыдущих работах (№ 2.2 и 2.3).

2.4.3. Пример.

2.4.3.1. Для уравнения с одним корнем (2.4.1) методом касательных приближено вычислить значение корня.

Рис. 2.4.2. Развитие итерационного процесса вычисления корня х_к

Как следует из рис. 2.4.2, число итераций необходимых для их сходимости, равно N = 1, что подтверждает и выполнение условия сходимости итераций (см. табл. рис. 2.4.2). Значение корня нелинейного уравнения (2.3.1), равно х_к = 1.93.Отметим ,что корень уравнения лежит в области локализации так как выполнено условие (2.3.5) (pf(x₁) ≤1 ).

2.4.3.1.Для уравнения с тремя корнями (2.3.3) методом касательных приближенно вычислить значения корней. Определяем корень х1_к.

Рис. 2.4.3. Развитие итерационного процесса вычисления корня х1_к

Как следует из рис. 2.4.3, число итераций необходимых для их сходимости, равно N = 2, что подтверждает и выполнение условия сходимости итераций (см. табл. рис.2.4.3). Значение корня нелинейного уравнения (2.3.1), равно х1_к = - 2.94. Отметим, что корень уравнения лежит в области локализации, так как выполнено условие (2.3.5) (pf(x₂) ≤1 ).

Определяем корень х2_к.

Как следует из рис. 2.4.4, число итераций, необходимых для их сходимости, равно N = 1, что подтверждает и выполнение условия сходимости итераций (см. табл. рис. 2.4.4). Значение корня нелинейного уравнения (2.3.1), равно х1_к = - 0.11. Отметим, что корень уравнения лежит в области локализации, так как выполнено условие (2.3.5) (pf(x₁) ≤1 ).

Рис. 2.4.4. Развитие итерационного процесса вычисления корня х2_к

Определяем корень х3_к.

Рис. 2.4.5. Развитие итерационного процесса вычисления корня х3_к

Как следует из рис. 2.4.5, число итераций, необходимых для их сходимости, равно N = 2, что подтверждает и выполнение условия сходимости итераций (см. табл. рис. 2.4.5). Значение корня нелинейного уравнения (2.3.1), равно х1_к = 3.05. Отметим, что корень уравнения лежит в области локализации, так как выполнено условие (2.3.5) (pf(x₁) ≤1 ).

2.4.4. Задание. Методом касательных решить то же уравнение, которое дано в 2.3.4.