3.4.4. Сплайны
Сплайном называется интерполяционная функция, которая вместе с производными непрерывна на всем заданном отрезке [a, b], и на каждом частичном отрезке [xi+1, xi] является алгебраическим многочленом.
Максимальная степень многочлена называется степенью сплайна, а разность между степенью сплайна и порядком наивысшей непрерывной на [a, b] производной – дефектом сплайна.
В MATH CAD представлены три вида сплайнов: линейный, параболический и кубический, при этом обращение к ним имеет следующий вид:
а) линейный сплайн Sl(z):=inter(lspline(x,y),x,y,z);
а) параболический сплайн Sp(z):=inter(pspline(x,y),x,y,z);
а) кубический сплайн Sc(z):=inter(cspline(x,y),x,y,z).
Пример. Зададим переменные x,z и функцию y(х) следующим образом и вычислим ее линейную интерполяционную зависимость Sl(z):
а) линейный сплайн Sl(z):=inter(lspline(x,y),x,y,z):
Строим графики функций у(х) (пунктирная кривая) и Sl(z) (сплошная линия)
Рис. 3.29. Графики заданной функции у(х) и ее линейной сплайновой интерполяционной зависимости Sl(z)
Отметим, что если функция у(х) является ломаной прямой, проведенной через четыре точки, то сплайн Sl(z) проведен через сорок точек, т.е. каждый из трех интервалов х разбит на тринадцать точек (см. рис. 3.29).
Задание. По примеру приведенного выше алгоритма задать функцию у(х) и построить интерполяционную зависимость Sl(z), согласно табл. 3.11.
Таблица 3.11
|
Номер последней цифры зачетной книжки |
Линейная интерполяция |
Параболическая интерполяция |
Кубическая интерполяция |
Сплайны |
|
0 - 2 |
***** |
|
|
|
|
3 - 5 |
|
***** |
|
|
|
6 – 7 |
|
|
***** |
|
|
8 - 9 |
|
|
|
***** |
3.4.5. Алгоритм решения обратных задач по заданным показателям качества
Моделирование сложных инженерно-технических систем традиционно основано на методах прямого моделирования. Такой подход используется для описания отклика системы на внешние воздействия, если известны значения входных данных модели. Несмотря на относительную доступность и универсальность, метод прямого моделирования при современных достижениях вычислительной математики и технических возможностях не может охватить весь круг поставленных задач моделирования. В большинстве случаев работы носят междисциплинарный характер, когда заранее задаются требования о значениях целевого функционала с конкретными характеристиками и требуемыми свойствами, т.е. ставится цель восстановить параметры моделируемых польдерных систем в зависимости от воздействия. Таким образом, исследователи приходят к постановке решения обратных задач математического моделирования, которые связаны с обращением причинно-следственной связи, т.е. отысканием неизвестных причин по известным следствиям.
Модели процессов выступают в роли связей между функциями состояния, входными параметрами и источниками внешних связей. Такая технология моделирования строится на вариационных принципах в сочетании с методами декомпозиции, расщепления и соединения. Сочетание прямого и обратного методов моделирования успешно применимы при решении следующих задач: верификация математических моделей, обобщение моделей различных масштабов, восстановление состояния моделируемой системы при заданных параметрах, планирование экспериментов с использованием моделей, оценки рисков при введении новых «игроков» в построенную модель. Технология моделирования должна строиться таким образом, чтобы обеспечить сочетание глобального взгляда на проблему в целом с детальным описанием существа изучаемых явлений.
Алгоритм решения обратных задач. Для постановки обратных задач и построения общего алгоритма их решения используются идеи теории оптимизации и вариационного исчисления. В этом случае все аппроксимации получаются с учетом структуры функционала качества и способа нахождения его стационарных значений на множествах значений функций состояния, параметров моделей в дискретной формулировке. Решение обратной задачи управления режимом увлажнения корнеобитаемого слоя почвы ПС, в силу сложности моделирующей системы дифференциальных уравнений в частных производных (см. главу 2), является слишком сложным. Использование общего алгоритма решения обратных задач, приведенного выше, представляется малоэффективным и требует значительных вычислительных затрат.
В данной работе при численном решении эту задачу предлагается заменить на задачу построения обратной аппроксимации параметров ПС. При этом необходимо использовать методы интерполяции и экстраполяции для изучения зависимости одних величин от других. Под обратной интерполяцией понимают следующий вычислительный процесс решения нелинейных уравнений вида f(x) = a (a – заданная величина). Пусть y = f (x) – некоторая монотонная функция, для которой известна лишь таблица ее значений, т. е. известно, что при значениях аргумента x = x0, x1, …, xn функция принимает соответственно значения у0, у1, … , уn:
f
(x0)
= y0;
f (x1) = y1; (3.4.11)
………….
f (xn) = yn.
Фактически обратная задача отыскания интерполяционной функции F(у) по заданным ее значениям в узлах означает, что мы должны построить кривую, проходящую через точки плоскости с координатами (x0, y0), (x1, y1), … , (xn, yn) (см. рис. 3.30), например, по интерполяционной формуле Лагранжа:
(3.4.12)
Таким образом, решением нелинейного уравнения a = f (x) является значение обратной интерполяционной функции F(а), вычисленной по формуле (3.4.12) в точке у=а, т.е. х = F(а).
Численный пример. Таблично задана функция yn = f (xn), n=0,1,2. При этом критерий качества а = 8, значение аргументов и самой функции задавались равными x0= 10, x1 =11, x2 = 12; y0 = 5, y1 = 7, y2 = 2. Результаты численного решения нелинейного уравнения a = f (x) методом обратной интерполяции приведены на рис. 3.30.
Рис 3.30. График зависимости функции х = F(у)
Графически значение корня нелинейного уравнения (3.4.12) определяется как точка пересечения графиков, приведенных на рис. 3.30. При у = а = 8 значение аргумента будет равно х = F(а) = 12.2.