3.4.1. Линейная интерполяция
Прежде чем перейти к получению интерполяционного многочлена (3.4.2), рассмотрим линейную интерполяцию, записывая F(x) (3.4.2) в виде
F(x) = a0 + a1 x , (3.4.4)
и далее составим систему уравнений (3.110) для интерполяционного двучлена (3.4.4)
a0
+
a1
x0
= у0
;
a0 + a1 x1 = у1 . (3.4.5)
Решая совместно систему уравнений (3.4.5) относительно a0, a1, получим
(3.4.6)
таким образом, линейная интерполяция (3.4.6) проводится через две соседние точки (x0, y0) и (x1, y1), … , (xn-1, yn) и (xn, yn) (см. рис. 3.29). Необходимо отметить, что точность линейной интерполяции невысока, так как график любой функции спрямляется до прямой линии на указанных выше отрезках [III, 16].
3.4.2. Квадратичная интерполяция
В отличие от линейной интерполяции квадратичная интерполяция проводится через три соседние точки (x0, y0), (x1, y1) и (x2, y2), … , (xn-2, yn-2), (xn-1, yn-1) и (xn, yn), а соответственно точность квадратичной интерполяции выше линейной.
Записывая F(x) (3.4.2) для квадратичной интерполяции (n = 2) в виде
F(x) = a0 + a1 x + a2 x2 , (3.4.7)
далее составим систему уравнений (3.4.4) для интерполяционного трехчлена (3.4.5)
a0 + a1 x0 + a2 x02 = у0;
a0 + a1 x1 + a2 x12 = у1; (3.4.8)
a0 + a1 x2 + a2 x22 = у2.
Решая совместно систему уравнений (3.4.8) относительно a0, a1, а2 и подставляя эти значения коэффициентов в выражения для интерполяционного трехчлена (3.4.7), получим
.
(3.4.9)
3.4.3. Интерполяционная формула Лагранжа
Ниже будет доказано, что система уравнений (3.4.4) относительно коэффициентов a0, a1, a2, … , an имеет единственное решение, если значения x0, x1, … , xn отличаются друг от друга. Тогда, определив значения коэффициентов ai из системы уравнений (3.3.4), мы и получим интерполяционный многочлен F(x), дающий решение поставленной задачи, который равен
(3.4.10)
Полученная формула (3.4.10) называется интерполяционный формулой Лагранжа, которая в отличие от линейной и квадратичной интерполяции проводится через все n-узлов [III, 16]].
Докажем, что интерполяционный многочлен (3.4.10) Лагранжа является единственным решением поставленной задачи. Действительно, пусть существует еще один многочлен R(x) степени n, принимающий в заданных точках заданные значения. Тогда разность F(x) - R(x) представляет собой многочлен степени не выше n, который обращается в нуль в точках x = xi (i = 0, 1 ,2, … , n), т. е. имеет n+1 корень. Отсюда следует, что эта разность равна нулю тождественно, так как многочлен степени не выше n не может иметь n+1 корней.
Таким образом, отметим, что каковы бы ни были значения x0, x1, … , xn,, среди которых нет совпадающих, и совершенно произвольные значения у0, у1, … , уn,, существует единственный многочлен F(x) степени n, совпадающий в заданных точках x0, x1, … , xn c заданными значениями у0, у1, … , уn, , удовлетворяющий условиям F(xi) = yi (i=0, 1 ,2, … , n).