3.2.4. Математическое моделирование нестационарного двумерного процесса переноса частиц (теплопереноса)

Двумерное уравнение диффузии в частных производных имеет следующий вид:

. (3.2.39)

Начальные условия. Начальные условия для двумерного уравнения диффузии

частиц (3.2.39) задаются в виде

N(x, у, 0) = N0 = 10²⁷ м^-3 или в разностном виде N_i,m^j = 10²⁷; m = 0, …, M, (3.2.40)

где 0 = y₀  y₁  . . .  y_{M – 1}  y_M = L2 – дискретные узлы по оси у; М – число узлов на оси у.

Граничные условия. Граничные условия задаются на прямоугольнике, образованными прямыми линиями: X = 0; Y = L; X = х_n; Y = 0. При этом на всех сторонах прямоугольника используем краевые условия 1 – го рода. Краевые условия на левой границе (X = 0) определяются следующим образом:

N(0, у, t) = 1.2·10²⁷ м^-3 или в разностном виде N_0,m^j+1 =1.2·10²⁷. (3.2.41)

Для задания краевых условий на границе Y = L используются краевые условия

концентраций частиц от координат х и у:

или в разностном виде N_n,m^j+1 =. (3.2.42)

Краевые условия на правой границе (X = х_n) определяются следующим образом:

или в разностном виде N_n,m^j+1 =. (3.2.43)

Краевые условия на левой границе (Y = 0) определяются:

N(x, 0, t) = 1.2·10²⁷ м^-3 или в разностном виде N_i,0^j+1 =1.2·10²⁷. (3.2.44)

Сложность численного решения двумерного уравнения (3.2.39) определяется его двухмерностью и необходимостью построения консервативной разностной схемы, использующей дивергентный вид уравнения. Поэтому, при численной реализации этого уравнения использовался метод расщепления и запись дифференциального оператора второго порядка в дивергентном разностном виде [III, 17-19, 25].

Численное решение двумерного уравнения. В силу однородности процесса диффузии частиц при численном решении нестационарного двумерного уравнения в частных производных параболического типа (3.2.40) рационально использовать классический метод переменных направлений, основанный на редукции сложной задачи к последовательности простейших.

Тогда дифференциальное уравнение диффузии в частных производных (3.2.39) запишется в виде следующих двух разностных уравнений на временном полушаге τ /2 (см. рис. 3.18 – 3.19):

;

, (3.2.45)

где h_y - шаг интегрирования по оси у; i = 1,2,…,n-1 – номер пространственного узла по оси х; m = 1,2,…,M-1 – номер пространственного узла по оси у; j = 0,1,…,k-1 – номер временного слоя; .

Алгоритм численного решения уравнения (3.2.39) на разностной сетке строился на основе Т-образных разностных шаблонов (см. рис. 3.18 – 3.19, шаблоны выделены жирными линиями) и заключается в следующем.

t j=k

tk

j+1 N_i^j+1

X=L1; m = 1, …, M-1

j N_i^j

х

0 i-1 i i+1 n

Рис. 3.18. Разностная сетка, используемая на первом полушаге τ / 2 для интегрирования уравнения диффузии (3.2.39) вдоль оси х.

На первом полушаге по времени τ / 2 (на разностной сетке вводились полуцелые временные слои ) интегрирование проводилось вдоль оси х (см. рис.3.18), а на втором полушаге τ / 2 - по переменной у (рис. 3.19).

t j=k

tk

j+1 N_m^j+1

Y=L2; i=1, …, n-1

j

у 0 0 m-1 m m+1 M

Рис. 3.19. Разностная сетка, используемая на втором полушаге τ / 2 для интегрирования уравнения диффузии (3.2.40) вдоль оси у

Такая методика построения численного решения двумерного уравнения диффузии подразумевает проведение итерационного процесса до получения необходимой точности.