![](/user_photo/_userpic.png)
Конспект лекций Высшая математика (Басканова)
.pdf742
Следовательно,
f x 2sin x 22 sin 2x 23 sin3x 24 sin 4x 52 sin5x ...
Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва x 0,2 ,4 ,... , сумма ряда равна полусумме предель-
ных значений функции f x справа и слева, в данном случае .
5.8.8. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье
Функция f x , определенная в промежутке, симметричном относи-
тельно начала координат, называется четной, если для всех значений x из этого промежутка f x f x , график симметричен относительно оси ор-
динат. Нечетной, если для всех значений x из этого промежутка f x f x , график симметричен относительно начала координат.
Некоторые свойства четных и нечетных функций:
1. Произведение четного числа нечетных функций есть функция чет-
ная.
2. Произведение любого числа четных функций есть функция четная. Произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная.
|
|
a |
|
a |
3. Если |
f x |
– четная функция, то |
f |
x dx 2 f x dx . |
|
|
a |
a |
0 |
|
f x |
|
f x dx 0 . |
|
4. Если |
– нечетная функция, то |
|
||
|
|
|
a |
|
Пусть f (x) четная на отрезке [–π, π]. Так как cos nx – функция четная, а |
||||
sin nx – функция нечетная, то произведение |
f x cos nx является функцией |
четной, а f x sin nx – функцией нечетной. На основании свойств 4 и 5 получим
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
f x dx |
f x dx, |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
f x cos nxdx |
2 |
|
x cos nxdx, |
|
|||
an |
|
f |
(5.8.15) |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
bn |
1 |
|
f x sin nxdx 0. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соответственно этому ряд Фурье для четной функции имеет вид
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE552x1.jpg)
743
|
f x |
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
an cos nx. |
|
|
|
|
|
|
(5.8.16) |
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть f(x) нечетная функция на отрезке , , тогда f x cos nx явля- |
||||||||||||||||||||||
ется функцией нечетной, а |
f |
x sin nx – функцией четной. Поэтому |
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
a0 an |
0, bn |
f |
x sin nxdx |
f x |
sin nxdx |
(5.8.17) |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||
Ряд Фурье для нечетной функции имеет вид |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x |
bn sin nx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.8.18) |
|||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, четная функция разлагается в ряд только по косинусам, |
||||||||||||||||||||||
а нечетная функция – только по синусам. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0,если |
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
f x x,если |
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0,если |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. Построим график (рис.5.8.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
-2 -3/2 |
- |
- /2 |
/2 |
|
|
|
3/2 |
2 |
5/2 |
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Рисунок 5.8.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Функция f x в интервале , |
является нечетной. Найдем коэф- |
|||||||||||||||||||||
фициенты ряда по формулам (5.8.17): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE554x1.jpg)
745
Пусть f(x) будет задана на отрезке 0,l . Требуется её разложить в три-
гонометрический ряд Фурье. Для этого её необходимо доопределить на отре-
зок [ l,0] .
Целесообразно функцию продолжать четным или |
нечетным образом. |
Если функция f x продолжается четным образом, |
т.е. f x f x |
(рис.5.8.6), то ряд Фурье будет содержать только косинусы и свободный член. Если же функция f x продолжается нечетным образом, т.е.
f x f x , то ряд Фурье содержать только синусы (рис.5.8.7).
y
y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
-l |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
x |
|||||||||
-l |
l |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Рисунок 5.8.6. |
|
|
|
|
|
|
Рисунок 5.8.7. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично будет для функции f(x) на [0, π] графики которых на [–π, 0] мы будем продолжать четным и нечётным способом.
Пример 1. Разложить функцию f x x на отрезке 0, в тригоно-
метрический ряд Фурье по косинусам.
Решение. Продолжим функцию f x на отрезок ,0 четным обра-
зом (рис.5.8.8).
y
-4 |
-3 |
-2 |
- |
0 |
|
2 |
3 |
4 |
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 5.8.8.
Найдем коэффициенты Фурье:
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE555x1.jpg)
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE556x1.jpg)
|
|
|
|
|
|
747 |
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
sin 2x |
|
sin3x |
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда x 2 |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 3. Разложить в ряд по синусам f |
|
x |
|
1, заданную в |
|
0,1 . |
|||||||
Решение. Продолжим на 1,0 |
функцию нечетным образом |
|
|
(рис.5.8.10).
y
1
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
-1
Рисунок 5.8.10
Вычисляем коэффициенты Фурье: |
|
|
|
|
|
|||||||||||
a |
a |
0,b |
2 l |
f |
x sin nx dx. |
|
|
|
|
|
||||||
0 |
n |
|
n |
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где l 1, f x 1, |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
cos n cos0 |
2 |
1 n 1 . |
|||
bn 2 sin nx dx |
cos nx |
10 |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ряд для данной функции имеет вид |
|
|
|
|
|
|||||||||||
f x |
4 sin x |
|
sin3x |
|
sin5x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
... . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Разложить функцию f x x в 1,3 в ряд Фурье. Решение. Продолжим функцию y x,1 x 3 на всю числовую ось как
периодическую функцию с периодом 2l b a 2,l 1 (рис.5.8.11).
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE557x1.jpg)
748
y
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
-3 |
|
-2 |
|
0 |
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Рисунок 5.8.11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Находим коэффициенты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 xdx |
|
13 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
an xcos nx dx |
|
|
13 |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
sin nx |
|
|
|
|
cos nx |
|
0, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n |
n2 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
2 |
cos n 1 n 1 |
|
2 |
|
||||
b |
|
|
xsin nx dx |
|
cos nx |
|
|
sin nx |
|
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n2 2 |
|
1 |
|
|
n |
|
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, в любой точке x непрерывности функции справедливо |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
разложение |
f x 2 1 |
sin nx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
749
Контрольные вопросы и задания для самопроверки
1. Что называется числовым рядом? Привести примеры числовых ря-
дов.
2.Сформулировать необходимый признак сходимости числового ряда.
3.Сформулировать достаточные признаки сходимости числового ряда.
4.К каким рядам применяется признак Лейбница? Дать определение признака Лейбница.
5.Какие ряды называются абсолютно, условно сходящимися?
6.Перечислить свойства абсолютно, условно сходящихся рядов.
7.Какой ряд называется функциональным? Привести примеры функциональных рядов.
8.Дать определение равномерной сходимости функционального ряда. Сформулировать признак Вейерштрасса.
9.Перечислить свойства равномерно сходящихся функциональных ря-
дов.
10.Какие ряды называются степенными? Сформулировать теорему
Абеля.
11.Дать понятие радиуса сходимости, интервала сходимости, области сходимости степенного ряда.
12.Перечислить свойства степенных рядов.
13.Записать формулы ряда Тейлора и Маклорена.
14.Каковы условия разложимости функции в ряд Тейлора и Маклоре-
на?
15. Записать разложение в ряд Маклорена функций ех, ln(1 x) ,ln(1 x) , (1 x)m . Привести примеры на использование этих формул.
16. Записать разложение в ряд Маклорена функций sin x , cos x , arcsin x , arctg x . Привести примеры на использование этих формул.
17. Как вычислить интеграл с помощью рядов? Привести пример.
Как проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью рядов? Привести пример.
18.Сформулировать определение ряда Фурье.
19.Записать формулы вычисления коэффициентов ряда Фурье для Т=
2π, Т=2l.
20.Сформулировать теорему Дирихле.
21.Записать формулы вычисления коэффициентов ряда Фурье для четных и нечетных функций.
22.Как разложить в ряд Фурье функцию, заданную на 0,l , 0, ?
|
751 |
6.6.3.3. Гармоническое поле |
.................................................................... 812 |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНАЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ |
|
......................................................................................................................... |
815 |