Добавил:

dansnpa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт фундаментальной биологии и биотехнологии СФУ

Предмет:

Математические методы в биологии

Файл:

Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

.pdf

Скачиваний:

151

Добавлен:

17.01.2018

Размер:

5.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5556 / 7056 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 > Следующая >>>

742

Следовательно,

f x 2sin x 22 sin 2x 23 sin3x 24 sin 4x 52 sin5x ...

Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва x 0,2 ,4 ,... , сумма ряда равна полусумме предель-

ных значений функции f x справа и слева, в данном случае .

5.8.8. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье

Функция f x , определенная в промежутке, симметричном относи-

тельно начала координат, называется четной, если для всех значений x из этого промежутка f x f x , график симметричен относительно оси ор-

динат. Нечетной, если для всех значений x из этого промежутка f x f x , график симметричен относительно начала координат.

Некоторые свойства четных и нечетных функций:

1. Произведение четного числа нечетных функций есть функция чет-

ная.

2. Произведение любого числа четных функций есть функция четная. Произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная.

		a		a
3. Если	f x	– четная функция, то	f	x dx 2 f x dx .
		a	a	0
	f x		a	f x dx 0 .
4. Если	f x	– нечетная функция, то		f x dx 0 .
			a
Пусть f (x) четная на отрезке [–π, π]. Так как cos nx – функция четная, а
sin nx – функция нечетная, то произведение				f x cos nx является функцией

четной, а f x sin nx – функцией нечетной. На основании свойств 4 и 5 получим

	1		2
a0	1	f x dx	2	f x dx,
a0		f x dx		f x dx,
				0
	1	f x cos nxdx			2		x cos nxdx,
an	1				2	f		(5.8.15)
an						f		(5.8.15)
						0
bn	1	f x sin nxdx 0.
bn		f x sin nxdx 0.

Соответственно этому ряд Фурье для четной функции имеет вид

743

f x

an cos nx.

(5.8.16)

n 1

Пусть f(x) нечетная функция на отрезке , , тогда f x cos nx явля-

ется функцией нечетной, а

x sin nx – функцией четной. Поэтому

a0 an

0, bn

x sin nxdx

f x

sin nxdx

(5.8.17)

Ряд Фурье для нечетной функции имеет вид

f x

bn sin nx.

(5.8.18)

n 1

Таким образом, четная функция разлагается в ряд только по косинусам,

а нечетная функция – только по синусам.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию

0,если

f x x,если

x .

0,если

Решение. Построим график (рис.5.8.5).

-2 -3/2

- /2

3/2

5/2

- /2

Рисунок 5.8.5

Функция f x в интервале ,

является нечетной. Найдем коэф-

фициенты ряда по формулам (5.8.17):

																				744

										2					x sin nxdx											2		2
a0 an 0;bn											f																	xsin nxdx 0sin nxdx
a0 an 0;bn											f																	xsin nxdx 0sin nxdx
											0																	0
																																				2
	2					x					1													2							n			1					n


							cos nx		2						sin nx					2
																													cos								sin			.
						n			0		n		2							0							2n		cos		2			n	2		sin		2	.
						n			0		n									0							2n				2			n					2


Подставляем bn								в ряд Фурье:
																2			sin x						sin3x					sin5x					sin 7x
f x bn sin nxdx																2			sin x						sin3x					sin5x					sin 7x
																						2					2					2						2		...
																						2					2				5	2				7		2		...
							n 1													1						3					5					7
		sin 2x						sin 4x						sin 6x								sin8x				...
					2				4						6								8			...
					2				4						6								8
		2						n 1	sin			2n				1			x								n 1		sin 2nx
									sin			2n				1			x
				1																	1												.
				1						2n 1							2				1									2n			.
			n 1							2n 1												n 1								2n
Если функция f								x		на l,l									четная, то коэффициенты ряда Фурье на-
ходим по формулам											2 l
								a			2 l				f x			dx,
								0			l
								0
													0
								a			l													l																	(5.8.19)
								a	n	2 l					f x cos n x dx,																										(5.8.19)
									n
													0

bn 0.

Ряд Фурье будет иметь вид

	f x a0
	f x a0		an cos nx .
		2	n 1	l
Если f x	– нечетная на интервале l,l , то, a0				an 0,
	b	2 l f	x sin nx dx.
	n	n		l
	n

Ряд Фурье будет иметь вид

f x bn sin nx .

n 1 l

(5.8.20)

(5.8.21)

(5.8.22)

5.8.9. Разложение функций заданных на промежутке [0, l] в ряд Фу-

рье

745

Пусть f(x) будет задана на отрезке 0,l . Требуется её разложить в три-

гонометрический ряд Фурье. Для этого её необходимо доопределить на отре-

зок [ l,0] .

Целесообразно функцию продолжать четным или	нечетным образом.
Если функция f x продолжается четным образом,	т.е. f x f x

(рис.5.8.6), то ряд Фурье будет содержать только косинусы и свободный член. Если же функция f x продолжается нечетным образом, т.е.

f x f x , то ряд Фурье содержать только синусы (рис.5.8.7).

-l

Рисунок 5.8.6.

Рисунок 5.8.7.

Аналогично будет для функции f(x) на [0, π] графики которых на [–π, 0] мы будем продолжать четным и нечётным способом.

Пример 1. Разложить функцию f x x на отрезке 0, в тригоно-

метрический ряд Фурье по косинусам.

Решение. Продолжим функцию f x на отрезок ,0 четным обра-

зом (рис.5.8.8).

-4	-3	-2	-	0	2	3	4	x

Рисунок 5.8.8.

Найдем коэффициенты Фурье:

746

bn 0,

			2						1x2
a0			2			xdx					0 ,
a0						xdx					0 ,
					0
					0
			2										2										1

a							xcos nxdx							x sin nx											sin nxdx
a							xcos nxdx							x sin nx									n		sin nxdx
n																		n			0		n
					0																			0
		2									2				1				n	1 .
				cos n 1
	n2			cos n 1								n2
Ряд Фурье будет иметь вид
f x								4	cos x cos3x									cos5x ...
f x									cos x cos3x									cos5x ...
							2			1						2				5		2
							2			1					3					5
Итак, на отрезке 0,															имеет место равенство
x							4 cos x				cos3x						cos5x
		2						1			2							5		2			... .
											2									2			... .
											3
Пример 2. Разложить функцию																						f	x x на отрезке 0, в тригоно-

метрический ряд Фурье по синусам.

Решение. Продолжим функцию f x на отрезок ,0 нечетным об-

разом (рис.5.8.9).

-3	-2	-	0	2	3	x

Рисунок 5.8.9.

Вычислим коэффициенты Фурье: a0 an 0,

2 bn 0



		2				xcos nx					1
		2				xcos nx					1
xsin nxdx						n			0		n			cos nxdx
xsin nxdx									0					cos nxdx

												0
xcos nx				1	sin nx			2		1			n 1		.


	0						0
n	0		n2				0		n

			747
sin x	sin 2x	sin3x
Тогда x 2				...
Тогда x 2	2	3		...
1	2	3
Пример 3. Разложить в ряд по синусам f					x	1, заданную в	0,1 .
Решение. Продолжим на 1,0			функцию нечетным образом

(рис.5.8.10).

-3	-2	-1	0	1	2	3	x
		-1

-1

Рисунок 5.8.10

Вычисляем коэффициенты Фурье:

0,b

2 l

x sin nx dx.

где l 1, f x 1,

cos n cos0

1 n 1 .

bn 2 sin nx dx

cos nx

Ряд для данной функции имеет вид

f x

4 sin x

sin3x

sin5x

... .

Пример 4. Разложить функцию f x x в 1,3 в ряд Фурье. Решение. Продолжим функцию y x,1 x 3 на всю числовую ось как

периодическую функцию с периодом 2l b a 2,l 1 (рис.5.8.11).

748

								3

					2
					1
	-3		-2		0					1	2				3
	-3		-2	-1	0					1	2				3						x
					-1
					-1
						Рисунок 5.8.11.
Находим коэффициенты:
		3		x2
a0 xdx				x2		13 4,
a0 xdx				2		13 4,
		1		2
		1
		3					x								1
		3
an xcos nx dx												13							13
									sin nx								cos nx					0,
							n		sin nx						n2 2		cos nx					0,
		1
		3						x						3		1				3			2	cos n 1 n 1	2
b			xsin nx dx					x		cos nx				3		1		sin nx					2		2	.
b			xsin nx dx							cos nx				1				sin nx								.
n								n						1		n2 2				1			n		n
								n								n2 2							n		n
		1
Следовательно, в любой точке x непрерывности функции справедливо
										n 1	2
разложение			f x 2 1								2		sin nx .
разложение			f x 2 1										sin nx .
						n 1					n

749

Контрольные вопросы и задания для самопроверки

1. Что называется числовым рядом? Привести примеры числовых ря-

дов.

2.Сформулировать необходимый признак сходимости числового ряда.

3.Сформулировать достаточные признаки сходимости числового ряда.

4.К каким рядам применяется признак Лейбница? Дать определение признака Лейбница.

5.Какие ряды называются абсолютно, условно сходящимися?

6.Перечислить свойства абсолютно, условно сходящихся рядов.

7.Какой ряд называется функциональным? Привести примеры функциональных рядов.

8.Дать определение равномерной сходимости функционального ряда. Сформулировать признак Вейерштрасса.

9.Перечислить свойства равномерно сходящихся функциональных ря-

дов.

10.Какие ряды называются степенными? Сформулировать теорему

Абеля.

11.Дать понятие радиуса сходимости, интервала сходимости, области сходимости степенного ряда.

12.Перечислить свойства степенных рядов.

13.Записать формулы ряда Тейлора и Маклорена.

14.Каковы условия разложимости функции в ряд Тейлора и Маклоре-

на?

15. Записать разложение в ряд Маклорена функций ех, ln(1 x) ,ln(1 x) , (1 x)m . Привести примеры на использование этих формул.

16. Записать разложение в ряд Маклорена функций sin x , cos x , arcsin x , arctg x . Привести примеры на использование этих формул.

17. Как вычислить интеграл с помощью рядов? Привести пример.

Как проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью рядов? Привести пример.

18.Сформулировать определение ряда Фурье.

19.Записать формулы вычисления коэффициентов ряда Фурье для Т=

2π, Т=2l.

20.Сформулировать теорему Дирихле.

21.Записать формулы вычисления коэффициентов ряда Фурье для четных и нечетных функций.

22.Как разложить в ряд Фурье функцию, заданную на 0,l , 0, ?

750

РАЗДЕЛ 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.................................

752

ЛЕКЦИЯ 6.1. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ПОНЯТИЕ ЛИНИЙ И

ПОВЕРХНОСТЕЙ	УРОВНЯ.	ПРОИЗВОДНАЯ	ПО
НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ...............................................................			752
6.1.1 Основные понятия	..........................................................................		752
6.1.2 Скалярное поле................................................................................			752
6.1.3. Характеристики скалярного поля..............................................			753
6.1.3.1. Поверхности и линии уровня....................................................			753
6.1.3.2. Производная по направлению..................................................			755
6.1.3.3. Градиент скалярного поля и его свойства.............................			757

ЛЕКЦИЯ 6.2. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ

ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ................................................................................	761
6.2.1. Векторное поле................................................................................	761
6.2.2. Векторные линии............................................................................	762

ЛЕКЦИЯ 6.3. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ, ВЫЧИСЛЕНИЕ, СВОЙСТВА. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-

ГАУССА........................................................................................................	766
6.3.1. Поток векторного поля .................................................................	766
6.3.1.1. Односторонние и двусторонние поверхности........................	766

6.3.2. Вычисление потока векторного поля путем сведения к трем

двойным интегралам...............................................................................

769

6.3.3. Вычисление потока векторного поля путем сведения к одному

двойному интегралу.................................................................................	771
6.3.4. Дивергенция векторного поля.....................................................	776
6.3.5. Теорема Остроградского-Гаусса .................................................	779

ЛЕКЦИЯ 6.4. РАБОТА СИЛОВОГО ПОЛЯ. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2-ГО РОДА. ЦИРКУЛЯЦИЯ И ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО

ПОЛЯ, ИХ ВЫЧИСЛЕНИЯ И СВОЙСТВА .........................................

785

6.4.1. Работа силового поля, криволинейный интеграл второго рода

...................................................................................................................... 785

6.4.2. Циркуляция и ротор векторного поля.......................................	790
ЛЕКЦИЯ 6.5. ФОРМУЛЫ СТОКСА И ГРИНА...................................	797
6.5.1. Формулы Грина и Стокса.............................................................	797

ЛЕКЦИЯ 6.6. ВЕКТОРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ

ПЕРВОГО И	ВТОРОГО ПОРЯДКА. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ
ВЕКТОРНЫХ	ПОЛЕЙ И ИХ СВОЙСТВА ...........................................	804

6.6.1.Векторные дифференциальные операции первого порядка. 804

6.6.2.Векторные дифференциальные операции второго порядка. 807

6.6.3. Простейшие векторные поля.......................................................	809
6.6.3.1. Потенциальное поле....................................................................	809
6.6.3.2. Соленоидальное поле..................................................................	811

	751
6.6.3.3. Гармоническое поле	.................................................................... 812
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНАЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
.........................................................................................................................	815

<<< < Предыдущая 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 5556 / 7056 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 > Следующая >>>