Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

459

ЛЕКЦИЯ 4.7. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКА С

где коэффициенты a1,a2,...,an – постоянные вещественные числа, a f(x) – функция от x, непрерывная в интервале (a, b).

Интегрирование неоднородного уравнения (4.7.1), как было показано, приводится к интегрированию соответствующего однородного уравнения. Поэтому сначала мы изучим вопрос о построении общего решения

При этом задача построения общего решения уравнения (4.7.2) будет решена, если мы найдем хоть одну фундаментальную систему решений.

4.7.1.1. Построение фундаментальной системы решений и общего решения однородного линейного уравнения в случае различных корней характеристического уравнения

Будем для однородного линейного уравнения n-го порядка (4.7.2)

(4.7.2), т. е. L(eλx)≡0, тогда и только тогда, когда λ, является корнем уравнения P(λ)=0 или

корни – характеристическими числами однородного линейного уравнения

(4.7.2).

Легко видеть, что для составления характеристического уравнения достаточно заменить в уравнении (4.7.2) производную k-гo порядка через k-ю степень λ, если при этом, как всегда, условиться считать, что производная

460

нулевого порядка от функции есть сама функция, так что при составлении характеристического уравнения нужно заменять y на 1.

Предположим, что все корни характеристического уравнения λ1, λ2,…, λn различны и вещественны. Тогда, мы найдем n вещественных частных решений уравнения (4.7.2):

Эти решения, линейно независимы в интервале (−∞, +∞), и они составляют фундаментальную систему решений. Поэтому, формула

k=1

где C1,C2,…,Cn – произвольные постоянные, дает общее решение уравнения (4.7.2) в области

Предположим теперь, что все корни характеристического уравнения по-прежнему различны, но среди них имеются комплексные.

Пусть a+ib – комплексный корень характеристического уравнения. Тогда характеристическое уравнение имеет и сопряженный комплексный корень a−ib, ибо все его коэффициенты вещественны. Корню a+ib соответствует решение

также являются решениями уравнения (4.7.2). Эти решения, очевидно, линейно независимы в интервале (−∞,+∞).

Аналогично сопряженному корню a−ib соответствуют также два

Но первое из них совпадает с первым из решений (4.7.11), а второе из этих решений и второе из решений (4.7.11), очевидно, линейно зависимы, так что сопряженный корень не порождает новых вещественных линейно независимых частных решений. Таким образом, если все корни характеристического уравнения различные, но среди них имеются комплексные, то каждому вещественному корню λk соответствует решение

eλk x , а каждой паре сопряженных комплексных корней a± ib, соответствуют два вещественных линейно независимых частных решения вида (4.7.11). В частности каждой паре сопряженных чисто мнимых корней ±ib соответствуют два вещественных линейно независимых частных решения

cosbx, sinbx. (4.7.13)

Всего мы получим n вещественных решений вида:

которые образуют фундаментальную систему решений.

Пользуясь основной теоремой мы получаем общее решение уравнения (4.7.2) в области ( 4.7.9) в виде линейной комбинации всех частных решений (4.7.14) с произвольными постоянными коэффициентами C1,C2,…,Cn. При этом вещественному корню λk в общем решении соответствует выражение Ckeλ а двум сопряженным комплексным корням a±ib соответствует выражение вида

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′′ − 5y′′ + 6y′ = 0

Составим характеристическое уравнение:

λ3 − 5λ2 + 6λ = 0.

Найдем его корни

λ3 −5λ2 + 6λ = λ(λ2 −5λ + 6) = λ(λ − 2)(λ −3) = 0

λ1=0; λ2=2; λ3=3.

Корни характеристического уравнения вещественные и различные, поэтому общее решение дифференциального уравнения

y = C1 + C2e2x + C3e3x .

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение y′′ − 4y′ +13y = 0

Составим характеристическое уравнение

λ2 − 4λ +13 = 0

Найдем корни характеристического уравнения λ1,2=2±3i.

Корни комплексно-сопряженные, поэтому решение дифференциального уравнения имеет вид y = (C1 cos 3x + C2 sin 3x)e2x .

4.7.1.2. Случай наличия кратных корней характеристического уравнения

462

т. е. выполняя дифференцирование по λ под знаком оператора, а при дифференцировании правой части формулу Лейбница для m-й производной от произведения двух функций

являются решениями уравнения (4.7.2).

Эти решения линейно независимы в интервале (−∞,+∞). Если при этом λ1 есть вещественный корень, то решения (4.7.20) тоже вещественны.

Таким образом, всякому вещественному корню λ1 кратности k соответствует k вещественных линейно независимых решений вида (4.7.20).

Если характеристическое уравнение имеет комплексный корень a + ib кратности k, то оно имеет и сопряженный комплексный корень a−ib той же кратности. Согласно (4.7.20), корню a + ib соответствует k решений:

Эти решения линейно независимы в интервале (−∞,+∞).

Нетрудно убедиться, что так же, как и в, случае простого комплексного корня, сопряженный корень a−ib не порождает новых вещественных линейно независимых частных решений.

Таким образом, каждой паре сопряженных комплексных корней a±ib кратности k соответствует 2k вещественных линейно независимых решений вида (4.7.21).

В общем случае, построив вещественные решения, соответствующие каждому простому вещественному корню, линейно независимые решения, соответствующие каждой паре простых сопряженных комплексных корней, линейно независимые решения, соответствующие каждому кратному вещественному корню и каждой паре кратных сопряженных комплексных корней, мы получим всего n вещественных решений.

463

Линейная комбинация найденных n линейно независимых решений с произвольными постоянными коэффициентами есть общее решение в

области (4.7.9). При этом вещественному корню λ1 кратности k соответствует в общем решении слагаемое Pk−1(x)eλ1x , а паре сопряженных комплексных

корней a ± ib кратности k соответствует слагаемое eax(Pk−1(x) cosbx + Qk−1(x)sinbx), где Pk−1(x) и Qk−1(x) – полиномы степени k–l с произвольными коэффициентами.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение y′′ − 2y′ + y = 0 .

Составим характеристическое уравнение

λ2 − 2λ +1 = (λ −1)2 = 0 .

Корни характеристического уравнения вещественные и кратные λ1=λ2=1, поэтому общее решение дифференциального уравнения имеет вид

y = (C1 + C2 x)ex .

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение y(4) − 4y′′′+8y′′−8y′+ 4y = 0.

Составим характеристическое уравнение

λ4 − 4λ3 +8λ2 −8λ + 4 = 0.

Корни характеристического уравнения комплексные и кратные λ1=λ2=1+i и λ3=λ4=1−i, поэтому общее решение дифференциального уравнения имеет вид

y= ex [(C1 + C2 x) cos x + (C3 + C4 x) sin x].

4.7.2.Неоднородное уравнение

Рассмотрим теперь неоднородное линейное уравнение n-го порядка с

где, как и в случае однородного уравнения, будем предполагать, что коэффициенты a1, a2, …, an есть постоянные вещественные числа. Относительно функции f (x), стоящей в правой части уравнения (4.7.22), будем предполагать, что она непрерывна в некотором интервале (a, b).

Для однородного линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами мы научились строить фундаментальную систему решений, тогда общее решение уравнения (4.7.22) находится (методом Лагранжа) в квадратурах.

Для некоторых частных видов функции f(x) удается найти частное решение уравнения (4.7.22) без квадратур. В таких случаях, складывая это частное решение с общим решением соответствующего однородного уравнения, мы получаем без квадратур и общее решение уравнения (4.7.22).

464

4.7.2.1. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов

1. Предположим, что в уравнении (4.7.22) правая часть f(x) представляет собою произведение полинома на показательную функцию, т. е. мы имеем:

есть полином с вещественными или комплексными коэффициентами (он может быть и постоянным числом); а α − постоянное число вещественное или комплексное (в том числе и равное нулю). При построении частного решения уравнения (4.7.23) различают два случая.

Случай 1. α не является корнем характеристического уравнения, т. е. P(α) ≠ 0. В этом случае частное решение y1 уравнения (4.7.23) следует искать

есть полином m-й степени с неопределенными коэффициентами, так что частное решение (4.7.25) имеет ту же аналитическую структуру, что и правая часть самого уравнения (4.7.23).

Коэффициенты полинома Qm(x) определяются подстановкой (4.7.25) в (4.7.23) и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного равенства.

Случай 2. α является k-кратным корнем (k≥1) характеристического

Вэтом случае частное решение y1 в виде (4.7.25) не построить, ибо P(α)

=0. Его следует искать по формуле

(4.7.28)

где Qm (x) имеет вид (4.7.26).

Коэффициенты полинома Qm (x) определяются так же, как и в первом случае.

2. Предположим, что правая часть уравнения (4.7.22) имеет вид

меньшей m, причем хоть один из них имеет степень m. Они могут быть и постоянными числами. Один из них может быть и тождественно равен нулю.

Заменяя cos bx и sin bx по формулам Эйлера:

465

собою сумму двух слагаемых. При этом также имеют место два случая. Случай 1. Если a + ib не является корнем характеристического

уравнения, то частное решение найдется в виде:

где Qm(1) (x) и Qm(2) (x) – полиномы m-й степени с неопределенными

коэффициентами.

Случай 2. Если a+ib является k-кратным корнем (k≥1) характеристического уравнения, то частное решение найдется в виде:

определяются непосредственной подстановкой y1 в уравнение (4.7.22). Обращаем особое внимание на то, что частное решение следует искать

λ2 − 6λ + 9 = 0 . Найдем корни характеристического уравнения λ1,2=3. Имеем

представляется как f (x) = eαxPm (x) . Здесь α=0; m=2. Сравнивая значение α и

корни характеристического уравнения, заключаем, что α не является корнем характеристического уравнения поэтому частное решение нужно искать в

466

делению. Для нахождения A,B,C подставим y1 в дифференциальное

уравнение предварительно найдя (y1 )′, (y1 )″.

Получим

(y1 )′ = 2Ax + B , (y1 )″ = 2A.

2A − 6(2Ax + B) + 9(Ax2 + Bx + C) = 2x2 − x + 3

или

(9A)x2 + (9B −12A)x + (2A − 6B − 9C) = 2x2 − x + 3

Последнее выражение представляет собой равенство двух многочленов, стоящих в правой и левой частях. Многочлены равны между собой, если равны между собой их коэффициенты при одинаковых степенях x. Приравнивая эти коэффициентами, имеем

9A = 2

9B −12A = −1

2A −6B +9C = 3

Получили систему уравнений для определения неизвестных A, B, C. Решая ее, получаем

Таким образом, подставив найденные значения коэффициентов A, B, C в y1, имеем частное решение

y1 = 92 x2 + 275 x + 1127 .

3) Общее решение дифференциального уравнения получим складывая

z и y1

y = (C1 + C2 x)e3x + 92 x2 + 275 x + 1127 .

467

ЛЕКЦИЯ 4.8. СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.8.1. Основные понятия и определения

Определение 1. Совокупность соотношений вида

где y1, y2,…, yn искомые функции от независимой переменной x,

называется системой обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Будем предполагать функции F1, F2, ..., Fn такими, что система (4.8.1) разрешима относительно производных от искомых функций:

Определение 2. Системы вида (4.8.2) называются нормальными системами дифференциальных уравнений.

Определение 3. Число уравнений, входящих в систему, называется порядком этой системы. Согласно этому определению, система (4.8.2) есть система n-го порядка.

Определение 4. Если правые части системы (4.8.2) зависят линейно от

где pkl(x) (k,l = 1, 2,..., n) и fk(x) (k = 1, 2,...,n) заданные функции от x, то она называется линейной системой дифференциальных уравнений или,

468

короче, линейной системой.

Определение 5. Если правые части системы (4.8.2) не зависят (явно) от независимой переменной x, т. е. если система (4.8.2) имеет вид

то она называется автономной или стационарной системой. Определение 6. Всякая совокупность n функций

y1=y1(x), y2=y2(x),…, yn=yn(x), (4.8.4)

определенных и непрерывно дифференцируемых в интервале (a, b), называется решением системы (4.8.2) в этом интервале, если она обращает все уравнения системы (4.8.2) в тождества:

y1′ ≡ f1[x, y1 (x), y2 (x),..., yn (x)], y2′ ≡ f2 [x, y1 (x), y2 (x),..., yn (x)],

..................................................

y2′ ≡ fn [x, y1 (x), y2 (x),..., yn (x)],

справедливые при всех значениях x из интервала (a, b).

Для системы (4.8.2) задача Коши ставится следующим образом: среди всех решений системы (4.8.2) найти такое решение

y1=y1(x), y2=y2(x),…, yn=yn(x), (4.8.5)

в котором функции y1(x), y2(x),…, yn(x) принимают заданные числовые значения y1(0), y2(0),..., yn(0) при заданном числовом значении x0 независимой

переменной x:

вместе взятые называются начальными данными решения (4.8.5), а условие

(4.8.7) начальными условиями этого решения.

Сейчас мы приведем без доказательства основную теорему существования и единственности (теорему Пикара) для системы (4.8.2).

Теорема. Пусть дана нормальная система (4.8.2)