Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

Добавил:

dansnpa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт фундаментальной биологии и биотехнологии СФУ

Предмет:

Математические методы в биологии

Файл:

, который расходится. Составим функцию

, она удовлетворяет

.pdf

Скачиваний:

151

Добавлен:

17.01.2018

Размер:

5.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 / 7051 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 > Следующая >>>

692

Радикальный признак удобно применять в том случае, когда общий член ряда представляет собой степень кратную n.

5.3.2. Интегральный признак Коши

Теорема 2. Пусть дан ряд (5.1.1) члены которого являются значениями

непрерывной функции f (x) при целых значениях аргумента x: f			1 u1;
f 2 u2 ;…; f n un и пусть f (x) монотонно убывает на (1, ∞).
Тогда:

1)если несобственный интеграл f x dx сходится, то сходится и ряд
1
(5.1.1),
2) если несобственный интеграл расходится, то расходится и ряд
(5.1.1).
Доказательство. Построим график функции f	x	на отрезке	1,n	и

разобьем криволинейную трапецию на вертикальные полосы шириной единица. При этом площади прямоугольных столбцов будут численно совпадать

с их высотами f k и, следовательно, с соответствующими членами ряда uk .

	Рассмотрим площади трёх фигур:
	1. Площадь ступенчатой фигуры,
	включающей в себя выходящие прямо-
	угольники,			равна
	u1 u2	... un 1 Sn un , где Sn		– n-я
	частичная сумма данного ряда.
	2. Площадь ступенчатой фигуры, ко-
Рис.5.3.1.	торая состоит из прямоугольников, входя-
	щих	в	криволинейную	трапе-

цию:u2 u3 ... un Sn u1 .

3. Площадь криволинейной трапеции In f x dx .

Очевидны следующие неравенства: Sn u1 In Sn un . Теперь рассмотрим частные случаи.

693


		1. Если		несобственный интеграл		f x dx	сходится,			то
	n		f x dx I , и так как f(x)>0,		n	1
lim	n	f x dx	f x dx I , и так как f(x)>0,		n	f x dx I , т.е. S		n	I u . Та-
n								n		1
	1		1		1

ким образом, последовательность частичных сумм ряда с положительными членами ограничена сверху. И, следовательно, сходится, т.е. сходится ряд

un .

n 1

	n
2. Если f x dx	расходится, тоIn f x dx не ограничен, а значит, и
1	1

In un не ограничена. Из In Sn un , следует Sn In un , а значит последовательность Sn не ограничена. Следовательно, данный ряд расходится.

	1		1	1		1
Пример. Дан ряд		1			...		..., который называется
	p		p	p		p
n 1 n			2	3		n

рядом Дирихле, или обобщённым гармоническим рядом. Выясним его сходимость(рассмотрим случай р>0 ).

Решение. При p 1 данный ряд совпадает с гармоническим рядом

условиям интегрального признака Коши. Вычислим несобственный интеграл

x p 1

p 1

x d x

lim

p 1

p N

dxp

если1 p 0 ( p

1), то lim

интеграл сходится;

p 1

N dx

если1 p 0

( p 1), то lim

интеграл расходится;

Итак, ряд вида

сходится при всех

p 1 и расходится при всех

n 1 n

0< p 1 согласно интегральному признаку Коши. При ρ<0, ряд расходится,

т.к. не выполняется необходимый признак сходимости. Примеры. Исследовать на сходимость ряды:

	1
1.			.
	3	n
n 2 n ln

694

Решение.

Заменяем

заданном

выражении

общего

члена

ряда

un f n номер n непрерывной переменной x и убеждаемся, что полученная

функция

f x

является непрерывной и убывающей во всём бесконечном ин-

тервале изменения x. Затем находим несобственный интеграл от

f x

с бес-

конечным верхним пределом:

lim

ln x

d ln x lim

xln

2ln

lim

2ln2

Несобственный интеграл сходится. Следовательно, согласно инте-

гральному признаку Коши и данный ряд также сходится.

2n 3

n 2 3

Решение. Функция

f x

при x 2 удовлетворяет услови-

3 2x 3 2

ям интегрального признака Коши. Находим несобственный интеграл

3 lim

3 dx

2x 3 3

Таким образом, соответствующий несобственный интеграл расходится,

значит, данный ряд также расходится.

Примечание.

Для

рядов

вида

;

ln n

n 2 n

n 3 nln n ln ln n

–

вопрос о сходимости,

как правило,

решается с

n 3 nln nln ln n ln ln ln n

помощью интегрального признака. При

. 1

ряд сходится, при 1 ряд

расходится.

695

ЛЕКЦИЯ 5.4. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ. ТЕОРЕМА ЛЕЙБНИЦА. ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫХ РЯДОВ. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные.

Пример. sin sin 2	... sin n			;	k , k N
		... sin n
2	n	n 1	n		2

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды. Ряд называется знакочередующимся, если знаки членов ряда чередуются:

u	u	2	u	u	4	... ( 1)n 1u	n	..., и	n	>0	(5.4.1)
1		2	3		4		n		n

5.4.1. Признак Лейбница

Теорема 1. Если в знакочередующемся ряде (5.4.1) члены ряда таковы, что u1 u2 u3 ..., и его общий член стремится к нулю nlim un 0 , то ряд

(5.4.1) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого

члена, т.е. S u1 .

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S2m u1 u2 u3 u4 ... u2m 1 u2m , сгруппируем члены попарно:

S2m u1 u2 u3 u4 ... u2m 1 u2m .

Все разности в скобках положительны и, следовательно, сумма S2m по-

ложительна и возрастает при увеличении m .

Покажем, что эта монотонно возрастающая последовательность частичных сумм ограничена. Для этого запишем эту сумму иначе:

u u

... u

2m 2

2m 1

По условию выражения, стоящие в скобках, положительны, поэтому

S2m u1 . Таким образом,

монотонно возрастающая переменная S2m ограни-

чена сверху членом u , следовательно, она имеет предел, т.е.

lim S

S ,

причём 0 S u1 .

Рассмотрим

частичную

сумму

нечётного числа первых слагаемых

n 2m 1. Очевидно,

что

S2m 1 S2m u2m 1, причём по условию теоремы

lim u2m 1 0 .

Тогда lim S2m 1

lim S2m lim u2m 1

S .

696

Итак, lim Sn S как при n чётном, так и нечётном, следовательно, дан-
				n
ный ряд сходится.
Примеры. Исследовать на сходимость ряды:
1.			1					1			1		...		( 1)n 1			1				...
1.		1	2				2	2		3	2		...		( 1)n 1			n n 1		2		...
		1	2				2	3		3	4							n n 1
Решение. Этот ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница:
		1					1			1		...			1		...;
1 2			2					2	3 4		2	...		n n 1		2	...;
1 2						2 3			3 4					n n 1
	lim un				lim					1			0 . Следовательно, он сходится.
	lim un				lim						1 2		0 . Следовательно, он сходится.
n						n n n					1 2
2. 1,1 1,01 1,001 1,0001 ...
Решение. Первое условие признака Лейбница выполняется
1,1 1,01 1,001 1,0001 ... ;
un			можно представить в виде													un		1	1		,	lim un lim 1		1	1.
un			можно представить в виде													un		1	n		,	lim un lim 1		n	1.
																		10				n	n	10

Так как lim un 0 , второе условие признака не выполнено, ряд расходится.
n

3. 1 n 1 n 1 .
n 1	n
Решение. Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсо-
лютному значению	2 3	4	5 ... , но	lim	n 1 1 0, не выполняется не-
	2	3	4	n	n

обходимый признак сходимости, значит исследуемый ряд расходится.

5.4.2. Оценка остатка ряда

Пусть 1 n 1un , иn >0 сходящийся знакочередующийся ряд, удовле-

n 1

творяющий условиям теоремы Лейбница. Пусть S u1 u2 u3 u4 ... –

сумма ряда S	n	u	u	2	u	u	4	... 1 n 1	u	n	– частичная сумма
rn un 1 un 2	n	1		2	3		4			n
rn un 1 un 2	un 3		... – остаток ряда.

Остаток ряда является суммой знакочередующегося ряда. На основании признака Лейбница остаток rn по абсолютной величине не больше моду-

ля его первого члена, т.е. rn un 1 .

Точность – это абсолютная ошибка, которая равна сумме всех отброшенных членов ряда.

697

Пример. Доказать, что ряд 1 212 312 ... 1 n 1 n12 ... сходится, и

найти, сколько членов ряда надо взять, чтобы получить его сумму с точно-

стью до 10 3 0,001.

Решение.

...,

члены ряда монотонно

убывают.

lim un lim

0: следовательно, по признаку Лейбница данный ряд схо-

n n2

дится.

Чтобы найти число членов ряда необходимо для вычисления его суммы

с заданной точностью 0,001, надо решить неравенство

, откуда

(n 1)2

1000

n 32 .

Пример. Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда

... 1 n 1

...

2n 1 !

Решение. Данный ряд по признаку Лейбница сходится, т.к. его члены

убывают и lim u

lim

0 .

2n 1 !

Найдём несколько последовательных первых членов данного ряда, пока не получим такой член, абсолютное значение которого меньше 0,01:

u1 1; u2 3!1 1 21 3 16 >0,01; u3 5!1 1201 <0,01.

Для вычисления суммы данного ряда с точностью до 0,01 достаточно взять сумму первых двух членов ряда S 1!1 3!1 1 0,167 0,833 0,83 .

5.4.3. Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов

Пусть задан знакопеременный ряд.

Теорема 2. Если знакопеременный ряд

u1 u2 u3 ... un ...

(5.4.2)

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его членов,

...

(5.4.3)

сходится, то данный ряд (5.4.2) тоже сходится.

Доказательство. По условию ряд (5.4.3) сходится. Составим два вспомогательных ряда:

									698
			u1	u1			u2		u2			...	un		un	...	(5.4.4)


				2				2						2
				2				2						2
			u1	u1			u2		u2			...	un		un	...	(5.4.5)


				2				2						2
				2				2						2
Ряд (5.4.2) является разностью рядов (5.4.4) и (5.4.5).
Исследуем на сходимость ряды (5.4.4) и (5.4.5):
	un	un			un					un		un	un при un 0


						, т.к											,
						, т.к											,
2											2		0 при un 0

Значит ряд (5.4.4) сходится согласно признаку сравнения рядов:

0 при un 0

т.к.

при un 0

Ряд (5.4.5) тоже сходится по признаку сравнения. Тогда ряд (5.4.2) схо-

дится как результат вычитания двух сходящихся рядов.

Пример.

Исследовать

на

сходимость

ряд

sin 4

sin3 4

...

sin 2n 1 4

...

Решение. Данный ряд не является знакочередующимся, признак Лейбница к нему не применим. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

2				2	...	2	...
	3 2
				32 2		3n 2
Этот ряд составлен из членов геометрической прогрессии со знамена-
телем q		1	1. Ряд сходится, следовательно, исследуемый ряд согласно дос-
		3

таточному признаку сходимости знакопеременных рядов сходится.

Признак сходимости знакопеременного ряда является достаточным, но не необходимым. Существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, в то время как ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Например, ряд 1 12 13 14 ... 1 n 1n ..., сходится по признаку

Лейбница, а ряд 1 12 13 14 ... 1n ..., составленный из абсолютных вели-

чин членов данного ряда, является гармоническим и, следовательно, расходится.

5.4.4. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов

699

Знакопеременный ряд (5.4.4) называется абсолютно сходящимся, если

сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов
u1 u2 ... un ...	(5.4.6)

Знакопеременный ряд (5.4.2) называется неабсолютно, или условно сходящимся, если расходится ряд, составленный из абсолютных величин его

членов (5.4.6), а ряд (5.4.2) сходится.
Например, ряд 1				1		1	1 ...	1 n 1				1	...	условно	сходя-
щийся.				2		3	4					n
щийся.
Ряд 1	1	1	1		... 1 n 1				1	...	–	абсолютно сходящийся, т.к.
Ряд 1					... 1 n 1				n!	...	–	абсолютно сходящийся, т.к.
2!		3!	4!						n!

ряд, составленный из абсолютных величин, его членов сходится по признаку Даламбера:

lim	n!	lim	1	0 1.

n n 1 !		n n 1

Примеры. Исследовать сходимость знакопеременных рядов (определить является ли он абсолютно, условно сходящимся или расходящимся):

1. cos n2n .

n 0

Решение. Заменим члены данного знакопеременного ряда, где – любое число, их абсолютными значениями и исследуем полученный ряд

cos n

с положительными членами. Сравним его с рядом

, который

n 1

cos n

n 1

сходится. Имеем:

. Поэтому согласно признаку сравнения ряд

cos n

сходится, а заданный ряд сходится абсолютно.

n 1

2. sin n .

n 1

lim sin n не

Решение. Для данного знакопеременного ряда lim un

существует, т.е. ряд расходится.

5.4.5. Свойства абсолютно сходящихся рядов

Теорема 3. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. Сумма ряда при этом не меняется.

700

Теорема 4. Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно перемножать. При этом получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна произведению сумм перемножаемых рядов.

Даны абсолютно сходящиеся ряды:

S1 u1 u2 u3 ... un ...

S2 v1 v2 v3 ... vn ...

Тогда

S1 S2 u1 v1 u1 v2 u2 v1 u1 v3 u2v2 u3 v1 ...

будет абсолютно сходящимся рядом. Сумма индексов сомножителей в каждой скобке постоянна 2, 3, 4, 5, …

Теорема 5. Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, в результате снова получается абсолютно сходящийся ряд и

S u1 v1 u2 v2 ... un vn ...

701

ЛЕКЦИЯ 5.5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ТОЧКА И ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ, ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ, СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ТЕОРЕМА АБЕЛЯ. ИНТЕРВАЛ И РАДИУС СХОДИМОСТИ. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ

Пусть u1 x ,

u2 x ,

u3 x ,…,un x – последовательность функций,

определенных на некотором множестве X

Функциональным называется ряд, членами которого являются функции иn x

				u1 x u2 x
				u1 x u2 x				... un x ... иn x	(5.5.1)
Например:								n 1
Например:
1.	sin x 1			sin 2x ...			1 sin nx ...
			2		еnx		n
2.	e	x	е2x	...	еnx	...
2.	e		22	...	n2	...
			22		n2
Каждому значению х Х соответствует числовой ряд

							un (x)		(5.5.2)

n 1

При одних значениях x полученные числовые ряды могут оказаться сходящимися, при других – расходящимися.

Если ряд (5.5.2.) сходится, то x называется точкой сходимости функционального ряда (5.5.1). Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости. Обозначим её через D. Очевидно, что D X . Если множество D пусто, то ряд (5.5.1) расходится в каждой точке множества X.

		n
Конечная сумма Sn x u1 x u2 x ... un x uk x
называется n -ой частичной	суммой ряда	k 1
		(5.5.1), а функция
S x lim Sn x , определенная в области D – суммой ряда (5.5.1).
n
Функция rn x , определенная в области D и задаваемая формулой
rn x S x
	Sn x uk	x
	k n 1	что rn x 0; x D ,
называется n-тым остатком ряда. Очевидно,

если n .

<<< < Предыдущая 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 / 7051 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 > Следующая >>>