Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

792

В качестве плоского замкнутого контура L возьмем пробное колесико с

радиальными лопатками, которое может вращаться вокруг оси n , перпендикулярной плоскости контура. При помещении колесика в поток жидкости в любом месте оно вращаться не будет.

Это говорит о том, что циркуляция вектора скорости v по контуру колесика равна нулю, т.е. поле не имеет завихренности.

Пример 7. Пусть поток жидкости, подобно твердому телу, вращается, например, вокруг оси, параллельной оси Oz (см. рис. 6.4.7).

z

n

y

v

x

Рис. 6.4.7. Замкнутый контур в поле скоростей точек вращающейся жидкости

Очевидно, при помещении в него пробного колесика, колесико будет вращаться, причем тем быстрее, чем больше циркуляция поля скоростей по его контуру.

Скорость вращения колесика будет зависеть от двух причин: от расстояния между контуром и осью вращения поля, а также от того, как ориентирована ось контура по отношению к оси вращения поля. В данном месте

циркуляция будет максимальной, если ось контура n совпадет с осью вращения поля.

Из приведенных примеров следует, что с помощью циркуляции можно охарактеризовать степень завихренности поля в различных его местах. Для этого нужно исключить зависимость циркуляции от размеров и формы контура.

С этой целью вводится понятие плотности циркуляции поля в точке и понятие ротора.

Пусть векторное поле образовано вектором

FP(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)

вобласти D. Возьмем в нем произвольную точку M (x0 , y0 , z0 ) и прове-

дем из нее произвольный вектор n. В плоскости, перпендикулярной вектору n и содержащей точку М, построим замкнутый контур L. Направление обхода контура возьмем положительным, т.е. согласуем его с направлением n по правилу правого винта.

Циркуляция векторного поля по контуру L вдоль оси n

793

Ц F dl .

L

Разделим циркуляцию по контуру L на площадь контура SL и перейдем

В одной и той же точке М плотность циркуляции поля вокруг различных осей неодинакова. Ее максимальное значение в данной точке будет вокруг оси n0 , которая совпадает с осью вращения поля.

Определение 3. Вектор, длина которого равна максимальной плотности циркуляции поля в данной точке, называют ротором или вихрем поля в этой точке, обозначают

|rot(F(M))| max Цn0 (M ).

Направлен ротор по оси, вокруг которой плотность циркуляции максимальна. Величина плотности циркуляции поля в точке М вокруг произвольного направления равна проекции ротора в данной точке на это направление.

Если векторное поле задано тремя функциями

F P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) ,

которые имеют непрерывные частные производные в области D, то координаты ротора в произвольной точке определяют по выражению

Данная формула трудна для запоминания. Поэтому проекции ротора на координатные оси обычно находят путем раскрытия определителя по эле-

(0 y)i (0 0) j (0 2xy)k ( y,0, 2xy).

Отметим некоторые свойства ротора.

1.если F – постоянный вектор, то rotF 0 ;

2.rot c F c rot F , где c=const;

3.rot F G rot F rotG , т.е. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых;

4.если U – скалярная функция, а F(M ) – векторная, то

rot U F U rot F +gradU F .

Так как ротор имеет в каждой точке пространства иное значение, то ротор векторного поля образует новое векторное поле.

Ротор, определение (6.4.7) которого привязано к выбранной системе координат, на самом деле связан с полем инвариантно, т.е. не зависит от выбора системы координат, так как правая часть формулы (6.4.6) не зависит от такого выбора, а знание проекции вектора на любое направление определяет этот вектор однозначно.

На следующем рисунке (рис. 6.4.8) показано несколько простых примеров векторных полей и указан их ротор, который можно посчитать по формуле (6.4.7).

Третий пример изображает поле скоростей при вращении абсолютно твердого тела вокруг оси Oz с угловой скоростью ; из этого рисунка следует, что при таком вращении поле линейных скоростей имеет постоянный ротор, равный удвоенному вектору угловой скорости. Коши показал, что при произвольном движении сплошной среды – газа, жидкости или твердого тела

795

– каждый малый объем участвует одновременно в нескольких движениях, для которых поля скоростей имеют вид, изображенный на рисунке (поступательное, деформационное и вращательное движения). Так как ненулевой ротор получается лишь для вращательного движения, то мы видим, что при произвольном движении среды ротор поля линейных скоростей частиц равен в каждой точке удвоенному вектору угловой скорости соответствующей частицы. Конечно, в общем случае ротор получается в различных точках различным. Таким образом, при течении жидкости или газа отличие ротора поля линейных скоростей от нуля указывает на наличие завихренности, чем и объясняется название «ротор».

Особенно простой вид имеет ротор плоского поля

F P(x, y)i Q(x, y) j ;

действительно, в силу формулы (6.4.7) получаем в этом случае

Данное поле градиентов не имеет вихрей.

Пример 10. Найти максимальную плотность циркуляции векторного

поля F {z2y; x2z; y2x} в точке Р0(1;1;1).

Решение. Найдем координаты ротора в произвольной точке

Координаты ротора в точке Р0(1;1;1) равны rot F (1;1;1) i j k .

Максимальная плотность циркуляции поля в точке Р0(1;1;1) равна длине ротора

796

maxЦ(1;1;1) 12 12 12 3 .

Пример 11. Найти направление, вокруг которого плотность циркуля-

ции векторного поля F {zx, xy, yz} в точке Р(2;1;2) максимальна. Решение. Координаты ротора в произвольной точке равны

Его координаты в точке Р(2;1;2):

rot F (2;1;2)=i2 j2 k .

Направление, вокруг которого плотность циркуляции максимальна, является направлением ротора. Найдем его направляющие косинусы:

Зная углы, которые образует ротор с координатными осями, легко найти направление, вокруг которого плотность циркуляции максимальна.

797

ЛЕКЦИЯ 6.5. ФОРМУЛЫ СТОКСА И ГРИНА

6.5.1. Формулы Грина и Стокса

Формулы Грина и Стокса осуществляют преобразование циркуляции вектора по замкнутому контуру в двойной интеграл по поверхности, ограниченной этим контуром, причем формула Грина относится к плоскому полю, а формула Стокса – к пространственному. Хотя первая формула непосредственно следует из второй, приведем сначала независимый вывод формулы Грина из-за его простоты.

Рассмотрим циркуляцию плоского поля F P(x, y)i Q(x, y) j по замк-

нутому контуру L, проходимому в положительном направлении и ограничивающему плоскую конечную область S. Рассматриваемую циркуляцию в силу формулы (6.4.5) можно записать в виде

Первый интеграл равен (рис. 6.5.1)

799

Согласно определению, плотность циркуляции поля в выбранной точке вокруг нормали ni к плоскости контура Li равна пределу

Если qi достаточно мала, то ротор внутри qi можно считать постоянным, а предел в правой части последнего равенства можно отбросить. Тогда поток ротора через элементарную часть поверхности qi приближенно

Формула Стокса позволяет преобразовывать криволинейный интеграл по замкнутой пространственной линии в интеграл по поверхности.

В частном случае, когда векторное поле плоское, т.е.

F = P(x,y)i + Q(x,y) j ,

ротор (вихрь) поля во всех его точках направлен параллельно оси oz

(рис. 6.5.3).

z

rotF

y

x

Рис. 6.5.3. Схематическое изображение плоского векторного поля

801

Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода.

Пример 1. Вычислить циркуляцию векторного поля

F (x2 y2 ) i (x2 y2 ) j 2z2 k

вдоль линии L, состоящей из двух дуг полуокружностей радиуса a. Обход контура провести против часовой стрелки.

Решение. Проекции пространственного векторного поля на координатные оси:

P(x, y, z) x2 z2 ; Q(x, y, z) x2 z2 ; R(x, y, z) 2z2 .

Циркуляция поля по данному контуру равна криволинейному интегра-

лу

ЦL (F) F,dl x2 y2 dx x2 y2 dy 2z2 dz .

L L

Так как замкнутый контур L состоит из двух полуокружностей, то криволинейный интеграл по этому контуру можно заменить суммой двух криволинейных интегралов. Первый интеграл взять по дуге, расположенной в координатной плоскости xoz, второй – по дуге, лежащей в плоскости xoy:

взять в параметрической форме: х=acost; z=asint, тогда dx=–asintdt; dz=acost dt. В результате первый интеграл сводится к линейному