Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

.pdf
Скачиваний:
151
Добавлен:
17.01.2018
Размер:
5.08 Mб
Скачать

 

 

782

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

( cos )

 

r3

 

1

 

 

4

abc.

 

 

 

 

 

zdxdy abc

 

0

 

0

3

 

0

 

 

3

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как поток положителен, внутри эллипсоида есть источники векторного поля.

Физический смысл дивергенции поля зависит от физического смысла вектора F . Так, если рассматривается поле скоростей v при течении газа, то divv равна скорости относительного увеличения бесконечно малого объема, а div ( v) равна плотности источника масс. Например, если в процессе тече-

ния газа его масса не меняется (такое изменение может получиться в результате химической или какой-либо подобной реакции), то div( v) 0 ; в то же

время div v 0, 0 или 0 в зависимости от того, будет ли газ в процессе течения расширяться, сжиматься или не менять своей плотности. Для электрического поля E дивергенция, т.е. div E пропорциональна плотности заряда, распределенного в пространстве и т.д.

Пример 10. Вычислить поток векторного поля a(M ) через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью ( p) и координатными плоскостями

a(M ) (x z)i (2y x) j zk , ( p) : x 2y 2z 4 .

Решение.

Вычисляем поток векторного поля с помощью поверхностного инте-

грала

П a,n d ,

q

где q - внешняя сторона поверхности пирамиды ABCO .

Вначале вычислим поток через каждую из четырех граней пирамиды. Грань AOC лежит в плоскости y 0 , единичная нормаль к этой грани

n1 j , d dxdz . Тогда поток векторного поля a(M ) через грань AOC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П1 xd

xdxdz xdx 2dz

AOC

 

 

 

AOC

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

4

 

x

 

 

2

 

x3

 

4

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

dx x

 

 

 

 

 

 

 

 

.

2

 

 

3

0

 

 

 

 

 

6

 

0

 

 

 

 

Грань AOB лежит в плоскости z 0 , единичная нормаль к этой грани

n2 k , d dxdy ,

П2

0dxdy 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AOC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Грань BOC лежит в плоскости x 0 , единичная нормаль к данной гра-

ни n3 i , d dydz ,

783

 

 

 

2

0

2

 

 

 

z3

 

2

 

 

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П3

zdydz zdz dy

z

z 2 dz

 

 

z

 

 

 

 

 

.

3

 

3

 

BOC

 

0

z 2

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И, наконец, грань ABC лежит в плоскости x 2 y 2z 4

0, нормаль

к этой грани

 

 

n4 i 2 j 2k

i 2 j 2k ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 4 4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d 1 zx 2

zy 2 dxdy ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

1 x y 2, zx

1 , zy 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

1 1

1dxdy

3 dxdy ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3

 

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П 4

(x z) 2(2 y x) 27 dxdy

 

 

 

 

 

 

1

 

 

3 2

ABC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 4 y 3z dxdy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

ABC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 4y 3 x 3y 6 dxdy

2

ABC

3 x y 6 dxdy 1 0 dy2 y 4 3 x y 6 dx

2 2 2

2 0ABC

 

1

0

 

 

3

x

2

(6

 

 

 

 

2 y 4

 

1

0

 

3

(2y

4)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

y)x

 

 

 

2

 

 

4

 

(6 y)(2y 4) dy

 

2

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4y

 

 

 

 

 

 

 

1 y2

1 3 y2

4 12 y 24 2y2 4y dy

20 y 36 dy

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

 

1

y3

 

 

 

 

2

 

 

 

0

 

 

52

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10 y

 

36 y

 

 

 

 

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее находим поток через полную поверхность пирамиды ABCO :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П=П1 2 3 4

32 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

Пример 11. Вычислить поток векторного поля a(M )

через внешнюю

поверхность пирамиды, образуемую плоскостью ( p) и координатными плос-

костями с помощью теоремы Остроградского-Гаусса. Данные из примера 10. Решение. Вычислим поток векторного поля через поверхность пирами-

ды ABCO по формуле Остроградского-Гаусса:

784

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Находим:

 

 

V

 

 

 

 

 

P

(x z)

1,

x

 

x

 

 

Так как интеграл

dxdydz

 

 

 

V

 

 

P Q R

 

 

 

 

 

dxdydz .

 

 

 

x

 

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

(2 y x) 2 ,

R

 

z

1.

y

 

 

y

 

z

 

x

 

равен объему прямоугольной пирамиды

ABCO , то

П (1 2 1)dxdydz 4 dxdydz

32.

V

V

3

785

ЛЕКЦИЯ 6.4. РАБОТА СИЛОВОГО ПОЛЯ. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2-ГО РОДА. ЦИРКУЛЯЦИЯ И ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ, ИХ ВЫЧИСЛЕНИЯ И СВОЙСТВА

6.4.1. Работа силового поля, криволинейный интеграл второго рода

Рассмотрим силовое поле на плоскости

F P(x, y, z), Q(x, y, z) .

Под действием силы F(x, y) от точки А до точки В по кривой L дви-

жется точка. Требуется вычислить работу, совершаемую силой F(x, y) на пу-

ти L (рис. 6.4.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F Pi

y

 

 

 

B

F(P)

 

 

 

 

 

li

 

 

Pi

 

 

 

 

A

x

Рис. 6.4.1. Криволинейное движение точки на плоскости xoy под действием переменной силы F

F

F cos

l

Рис. 6.4.2. Прямолинейное движение точки под действием постоянной силы

Для прямолинейного движения и постоянной силы ( F =const) работа, совершаемая на отрезке l (рис. 6.4.1), равна скалярному произведению век-

торов F и l:

A F l cos F,l

где l – направленный отрезок, длина которого равна пройденному пути.

Чтобы найти работу переменной силы F (x,y) на криволинейном участке пути L от А до В, очевидно, этот путь нужно разбить на k маленьких частей так, чтобы каждый участок пути можно было заменить направленным

786

отрезком li , а силу на нем считать постоянной и равной F (Рi)=const (рис.

6.4.2).

Тогда работа, совершаемая силовым полем на i-ом элементарном участке длиной l приближенно будет равна скалярному произведению векто-

ров

Аi ( F i)) li .

Вся работа на пути L равна сумме элементарных работ

k

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А Ai

(

F

(Pi

) i ).

i 1

i 1

 

 

 

Переходя к пределу при max li 0, получим точное значение работы, совершаемой силовым полем на пути L:

 

 

 

 

А

 

 

 

k

 

(Pi

) li )

 

 

 

 

lim

 

(

F

 

 

 

 

 

max

i

0 i 1

 

 

 

 

 

Предел, если он существует, называют криволинейным интегралом

второго рода, обозначают

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

(F (Pi

) li ) F (P)dl ,

max

 

i

 

0 i 1

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где dl – предельное значение элементарного направленного отрезкаli . Очевидно, направление dl будет совпадать с направлением касательной к кривой L, а его модуль равен дифференциалу длины дуги – dl . Обозначим единичный вектор касательной – 0 , тогда dl dl 0 .

Определение 1. Работа силового поля на криволинейном пути L равна криволинейному интегралу по кривой L от скалярного произведения вектора

поля и dl элемента касательной к кривой.

А (

 

(P) ,

dl

)

(6.4.1)

F

L

 

Выражение (F (P) , dl ) – называют векторной формой криволинейного

L

интеграла второго рода или линейным интегралом вектора F .

Скалярное произведение двух векторов F {P(x,y), Q(x,y)} и dl {dx, dy}

можно выразить через их координаты:

 

А (P(x, y)dx Q(x, y)dy)

(6.4.2)

L

Правая часть равенства (6.4.2) представляет собой координатную форму криволинейного интеграла второго рода. Для пространственной кривой она имеет вид:

А (P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz)

(6.4.3)

L

Следует особо подчеркнуть разницу между физическим смыслом инте-

грала

787

F dl вектора F (второго рода) и интеграла первого рода

L

f (x, y, z) dl по длине дуги, который был рассмотрен ранее.

L

В последнем суммируются значения скалярной функции f(x,y,z), на-

пример, плотности массы или заряда, умноженные на dl меры элементарных частей кривой L (дифференциалы длины дуги), на которые она дробится. Поэтому, криволинейный интеграл первого рода не зависит от того, в каком направлении проходится кривая L.

Под знаком криволинейного интеграла второго рода

(F,dl)

L

стоит скалярное произведение двух векторов, вектора поля F и эле-

мента касательной dl , при этом направление касательной должно совпадать с выбранным направлением обхода кривой L. Таким образом, в линейном ин-

теграле вектора F суммируются значения проекций векторной величины на касательную к кривой в различных ее точках. Поскольку скалярное произве-

дение F,dl зависит от угла между векторами F и dl знак интеграла

(F,dl) будет зависеть от выбранного обхода линии L. Криволинейный инте-

L

грал вектора F вычисляют так же, как криволинейный интеграл первого рода, т.е. путем сведения к линейному (определенному) интегралу. Для этого должно быть задано уравнение линии L и направление ее обхода (либо координаты начальной и конечной точек).

Если плоская линия L задана в декартовой системе координат уравнением у=у(х), то при сведении интеграла

(F,dl) (P(x, y)dx Q(x, y)dy)

LL

клинейному, переменную у и dy заменяют их выражением через х из

уравнения линии L:

y = y(x),

dy = yx' dx.

При параметрическом задании линии L: x=x(t); y=y(t), замену переменных, приводящую к линейному интегралу, осуществляют по формулам:

х=x(t); dx= xt' dt; y=y(t); dy= yt' dt.

Пример 1. Вычислить работу силового поля

F {cosy, siny}

на отрезке прямой, соединяющей точки А(2; –2), В(–2, 2). Решение. Работа силового поля равна интегралу

788

А (cos ydx sin ydy)

L

Уравнение линии L, проходящей через точки А(2; –2), В(–2; 2), имеет вид y = – x (рис. 6.4.3).

y

B(-2,2)

L

x

 

A(2,-2)

Рис. 6.4.3. Прямолинейный путь в силовом поле (иллюстрация к примеру)

Дифференциал на этой линии dy=–dx. Переменная х меняется от 2 до –

2.

Подставляя в криволинейный интеграл вместо у – уравнение линии, и заменяя dy на dx получим

 

2

cos( x)dx sin( x)( dx) ,

А cos ydx sin ydy

L

2

 

 

2

2

 

22 ,

А cos xdx sin xdx (sin x cos x)

2

2

 

 

 

 

А= – 2sin(2рад) = – 2sin1140 = – 1,827.

Вданном случае работа отрицательна. Она совершается в направлении, обратном вектору поля.

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

y2 dx x2 dy ,

L

где L – верхняя часть эллипса x2 y2 , обход которого проводится по a2 b2

часовой стрелке (рис. 6.4.4).

 

 

y

 

 

A

b

 

B

 

 

t

 

 

 

 

 

-a

 

 

a

x

 

 

 

Рис. 6.4.4. Криволинейный путь в плоском силовом поле (иллюстрация к примеру)

Решение. Уравнение эллипса лучше взять в параметрической форме

789

L: x=acost; y=bsint.

В этом случае вычисления будут значительно проще. Найдем значения параметра в точках начала и конца обхода: в точке А(– а; 0) t1 = , в точке

В(а; 0) t2 = 0.

Выразим дифференциалы dx и dy на данной линии через параметр t: dx=asintdt; dy=bcostdt.

Заменяя в криволинейном интеграле переменные х и у параметрическим уравнением эллипса и дифференциалы dx и dy, найденными для них значениями на эллипсе, получим:

 

 

y2 dx x2 dy =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ab2

sin2 t( sin t)dt ba2

cos2 t costdt ,

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 dx x2 dy ab

 

1

cos2 t d cost ba2

 

1 sin 2

t d sin t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

dx x

2

dy ab

2

 

 

 

 

 

cos

3 t

 

0

ba

2

 

 

 

sin3 t

 

0

4

ab

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cost

3

 

 

 

 

sin t

3

 

 

 

3

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, при обходе верхней части эллипса под действием силового поля F y2 , x2 , совершается положительная работа.

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл

x2 y2 dx ,

L

где L – дуга параболы от точки А(0;0) до точки В(2;4).

Решение. Векторное поле параллельно оси ox: F x2 y2 ,0 . Преобра-

зуем криволинейный интеграл в линейный, т.е. переменную y заменим уравнением параболы y x2 и расставим пределы изменения х при движении от

точки А до точки В:

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x2 y2 )dx

(x2 x4 )dx .

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляя данный интеграл, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

4

x3

 

x5

 

 

 

2

8

 

32

 

56

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

 

x

 

)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

3

 

5

 

 

 

0

3

 

5

 

15

 

Работа, совершаемая силовым полем

 

x2

y2 ,0 на данном отрезке

F

параболы, отрицательна.

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл

xydx ( y x)dy,

L

где L – дуга параболы у=х2 от точки А(0;0) до точки В(1;1). Решение. Координаты вектора силового поля: F xy, ( y x) .

Уравнение линии L: у=х2. Дифференциал на этой линии dy=2xdx. Пределы изменения переменной х: 0; 1. Перейдем к линейному интегралу:

790

 

1

1

x3 dx .

xydx ( y x)dy x3dx x2

x 2xdx 2x2

L

0

0

 

Вычисляя линейный интеграл, получим:

(2x2

x3 )dx 2x

3

x

4

 

 

1

5 .

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3

 

4

 

0

12

 

 

 

 

Данное поле на отрезке параболы совершает положительную работу.

6.4.2. Циркуляция и ротор векторного поля

Пусть векторное поле образовано вектором

F P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) .

Возьмем в этом поле замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление. Обычно положительным считают обход против часовой стрелки, отрицательным – по часовой стрелке (рис. 6.4.5).

L

dl

F

Рис. 6.4.5. Контур L (положительный обход)

Пусть r ix jy kz – радиус-вектор точки M на контуре L. Известно, что вектор dr i dx j dy k dz направлен по касательной к кривой в направлении ее обхода и dr dl , где dl – дифференциал дуги кривой

( dl dx 2 dy 2 dz 2 ).

Определение 2. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора F на вектор dr , касательный к контуру L,

называется циркуляцией вектора F вдоль L, т.е.

 

Ц F dr

(6.4.4)

L

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как

F dr dr Прdr F F dl Pdx Qdy Rdz ,

791

где F – проекция вектора F на касательную , проведенную в направ-

лении обхода кривой L, то равенство (6.4.4) можно записать в виде

Ц F dl

l

или

Ц Pdx Qdy Rdz .

(6.4.5)

L

Циркуляция Ц, записанная в виде (6.4.5) имеет простой физический смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция – это работа силы F поля при перемещении материальной точки вдоль L.

Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произведе-

ние F dr сохраняет знак: положительный, если направление вектора F сов-

падает с направлением обхода векторной линии; отрицательный – в противном случае.

Пример 5. Найти циркуляцию плоского векторного поля F(P,Q) по замкнутой кривой L в положительном направлении, если F( y, x) , L – окружность, задаваемая уравнением x2 ( y 1)2 R2 .

Решение. Запишем параметрические уравнения окружности: x R cos t , y Rsin t 1, 0 t 2 .

Находим dx Rsin t dt , dy Rcost dt .

Тогда циркуляция поля F вдоль кривой L будет равна:

Ц F dl ydx xdy 2 (Rsin t 1)Rsin t R2 cos2 t dt

L

L

0

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

R2

Rsin t dt

R2t Rcost

 

2

2 R2 .

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Циркуляция – скалярная величина. Если выбран контур, то ее значения зависят от характера векторного поля и от положения контура в этом поле, т.е. с помощью циркуляции можно охарактеризовать степень завихренности векторного поля в различных его местах. Поясним это на примерах.

Пример 6. Рассмотрим поле скоростей равномерно текущей жидкости v=const (Рис. 6.4.6).

n

v

L

Рис. 6.4.6. Замкнутый контур L в поле скоростей равномерно текущей жидкости