![](/user_photo/_userpic.png)
Конспект лекций Высшая математика (Басканова)
.pdf![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE591x1.jpg)
|
|
782 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
( cos ) |
|
r3 |
|
1 |
|
|
4 |
abc. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
zdxdy abc |
|
0 |
|
0 |
3 |
|
0 |
|
|
3 |
|||
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как поток положителен, внутри эллипсоида есть источники векторного поля.
Физический смысл дивергенции поля зависит от физического смысла вектора F . Так, если рассматривается поле скоростей v при течении газа, то divv равна скорости относительного увеличения бесконечно малого объема, а div ( v) равна плотности источника масс. Например, если в процессе тече-
ния газа его масса не меняется (такое изменение может получиться в результате химической или какой-либо подобной реакции), то div( v) 0 ; в то же
время div v 0, 0 или 0 в зависимости от того, будет ли газ в процессе течения расширяться, сжиматься или не менять своей плотности. Для электрического поля E дивергенция, т.е. div E пропорциональна плотности заряда, распределенного в пространстве и т.д.
Пример 10. Вычислить поток векторного поля a(M ) через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью ( p) и координатными плоскостями
a(M ) (x z)i (2y x) j zk , ( p) : x 2y 2z 4 .
Решение.
Вычисляем поток векторного поля с помощью поверхностного инте-
грала
П a,n d ,
q
где q - внешняя сторона поверхности пирамиды ABCO .
Вначале вычислим поток через каждую из четырех граней пирамиды. Грань AOC лежит в плоскости y 0 , единичная нормаль к этой грани
n1 j , d dxdz . Тогда поток векторного поля a(M ) через грань AOC
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П1 xd |
xdxdz xdx 2dz |
||||||||||||||
AOC |
|
|
|
AOC |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
4 |
|
x |
|
|
2 |
|
x3 |
|
4 |
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
2 |
|
dx x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
2 |
|
|
3 |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
6 |
|
0 |
|
|
|
|
|||
Грань AOB лежит в плоскости z 0 , единичная нормаль к этой грани |
|||||||||||||||
n2 k , d dxdy , |
П2 |
0dxdy 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
AOC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Грань BOC лежит в плоскости x 0 , единичная нормаль к данной гра-
ни n3 i , d dydz ,
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE592x1.jpg)
783
|
|
|
2 |
0 |
2 |
|
|
|
z3 |
|
2 |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
П3 |
zdydz zdz dy |
z |
z 2 dz |
|
|
z |
|
|
|
|
|
. |
||||
3 |
|
3 |
||||||||||||||
|
BOC |
|
0 |
z 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
И, наконец, грань ABC лежит в плоскости x 2 y 2z 4 |
0, нормаль |
|||||||||||||||
к этой грани |
|
|
n4 i 2 j 2k |
i 2 j 2k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 4 4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 1 zx 2 |
zy 2 dxdy , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
z |
1 x y 2, zx |
1 , zy 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поэтому |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
d |
1 1 |
1dxdy |
3 dxdy , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П 4 |
(x z) 2(2 y x) 27 dxdy |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
3 2 |
ABC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 4 y 3z dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
ABC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 4y 3 x 3y 6 dxdy
2
ABC
3 x y 6 dxdy 1 0 dy2 y 4 3 x y 6 dx
2 2 2
2 0ABC
|
1 |
0 |
|
|
3 |
x |
2 |
(6 |
|
|
|
|
2 y 4 |
|
1 |
0 |
|
3 |
(2y |
4) |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
dy |
|
y)x |
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
(6 y)(2y 4) dy |
||||||||||||||
|
2 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4y |
|
|
|
|
|
|
|
1 y2 |
||||||||||||||
1 3 y2 |
4 12 y 24 2y2 4y dy |
20 y 36 dy |
||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
||
|
1 |
y3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
10 y |
|
36 y |
|
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Далее находим поток через полную поверхность пирамиды ABCO : |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П=П1 +П2 +П3 +П4 |
32 . |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Пример 11. Вычислить поток векторного поля a(M ) |
через внешнюю |
поверхность пирамиды, образуемую плоскостью ( p) и координатными плос-
костями с помощью теоремы Остроградского-Гаусса. Данные из примера 10. Решение. Вычислим поток векторного поля через поверхность пирами-
ды ABCO по формуле Остроградского-Гаусса:
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE594x1.jpg)
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE595x1.jpg)
786
отрезком li , а силу на нем считать постоянной и равной F (Рi)=const (рис.
6.4.2).
Тогда работа, совершаемая силовым полем на i-ом элементарном участке длиной l приближенно будет равна скалярному произведению векто-
ров
Аi ( F (Рi)) li .
Вся работа на пути L равна сумме элементарных работ
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
А Ai |
( |
F |
(Pi |
) i ). |
||
i 1 |
i 1 |
|
|
|
Переходя к пределу при max li 0, получим точное значение работы, совершаемой силовым полем на пути L:
|
|
|
|
А |
|
|
|
k |
|
(Pi |
) li ) |
||||||
|
|
|
|
lim |
|
( |
F |
||||||||||
|
|
|
|
|
max |
i |
0 i 1 |
|
|
|
|
|
|||||
Предел, если он существует, называют криволинейным интегралом |
|||||||||||||||||
второго рода, обозначают |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
lim |
|
|
(F (Pi |
) li ) F (P)dl , |
|||||||||||
max |
|
i |
|
0 i 1 |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где dl – предельное значение элементарного направленного отрезкаli . Очевидно, направление dl будет совпадать с направлением касательной к кривой L, а его модуль равен дифференциалу длины дуги – dl . Обозначим единичный вектор касательной – 0 , тогда dl dl 0 .
Определение 1. Работа силового поля на криволинейном пути L равна криволинейному интегралу по кривой L от скалярного произведения вектора
поля и dl – элемента касательной к кривой.
А ( |
|
(P) , |
dl |
) |
(6.4.1) |
F |
|||||
L |
|
Выражение (F (P) , dl ) – называют векторной формой криволинейного
L
интеграла второго рода или линейным интегралом вектора F .
Скалярное произведение двух векторов F {P(x,y), Q(x,y)} и dl {dx, dy}
можно выразить через их координаты: |
|
А (P(x, y)dx Q(x, y)dy) |
(6.4.2) |
L
Правая часть равенства (6.4.2) представляет собой координатную форму криволинейного интеграла второго рода. Для пространственной кривой она имеет вид:
А (P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz) |
(6.4.3) |
L
Следует особо подчеркнуть разницу между физическим смыслом инте-
грала
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE596x1.jpg)
787
F dl – вектора F (второго рода) и интеграла первого рода
L
f (x, y, z) dl по длине дуги, который был рассмотрен ранее.
L
В последнем суммируются значения скалярной функции f(x,y,z), на-
пример, плотности массы или заряда, умноженные на dl – меры элементарных частей кривой L (дифференциалы длины дуги), на которые она дробится. Поэтому, криволинейный интеграл первого рода не зависит от того, в каком направлении проходится кривая L.
Под знаком криволинейного интеграла второго рода
(F,dl)
L
стоит скалярное произведение двух векторов, вектора поля F и эле-
мента касательной dl , при этом направление касательной должно совпадать с выбранным направлением обхода кривой L. Таким образом, в линейном ин-
теграле вектора F суммируются значения проекций векторной величины на касательную к кривой в различных ее точках. Поскольку скалярное произве-
дение F,dl зависит от угла между векторами F и dl знак интеграла
(F,dl) будет зависеть от выбранного обхода линии L. Криволинейный инте-
L
грал вектора F вычисляют так же, как криволинейный интеграл первого рода, т.е. путем сведения к линейному (определенному) интегралу. Для этого должно быть задано уравнение линии L и направление ее обхода (либо координаты начальной и конечной точек).
Если плоская линия L задана в декартовой системе координат уравнением у=у(х), то при сведении интеграла
(F,dl) (P(x, y)dx Q(x, y)dy)
LL
клинейному, переменную у и dy заменяют их выражением через х из
уравнения линии L:
y = y(x),
dy = yx' dx.
При параметрическом задании линии L: x=x(t); y=y(t), замену переменных, приводящую к линейному интегралу, осуществляют по формулам:
х=x(t); dx= xt' dt; y=y(t); dy= yt' dt.
Пример 1. Вычислить работу силового поля
F {cosy, siny}
на отрезке прямой, соединяющей точки А(2; –2), В(–2, 2). Решение. Работа силового поля равна интегралу
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE597x1.jpg)
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE598x1.jpg)
789
L: x=acost; y=bsint.
В этом случае вычисления будут значительно проще. Найдем значения параметра в точках начала и конца обхода: в точке А(– а; 0) t1 = , в точке
В(а; 0) t2 = 0.
Выразим дифференциалы dx и dy на данной линии через параметр t: dx=–asintdt; dy=bcostdt.
Заменяя в криволинейном интеграле переменные х и у параметрическим уравнением эллипса и дифференциалы dx и dy, найденными для них значениями на эллипсе, получим:
|
|
y2 dx x2 dy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ab2 |
sin2 t( sin t)dt ba2 |
cos2 t costdt , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
L |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 dx x2 dy ab |
|
1 |
cos2 t d cost ba2 |
|
1 sin 2 |
t d sin t , |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
dx x |
2 |
dy ab |
2 |
|
|
|
|
|
cos |
3 t |
|
0 |
ba |
2 |
|
|
|
sin3 t |
|
0 |
4 |
ab |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
cost |
3 |
|
|
|
|
sin t |
3 |
|
|
|
3 |
|
||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, при обходе верхней части эллипса под действием силового поля F y2 , x2 , совершается положительная работа.
Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл
x2 y2 dx ,
L
где L – дуга параболы от точки А(0;0) до точки В(2;4).
Решение. Векторное поле параллельно оси ox: F x2 y2 ,0 . Преобра-
зуем криволинейный интеграл в линейный, т.е. переменную y заменим уравнением параболы y x2 и расставим пределы изменения х при движении от
точки А до точки В:
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 y2 )dx |
(x2 x4 )dx . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
L |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляя данный интеграл, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
2 |
|
4 |
x3 |
|
x5 |
|
|
|
2 |
8 |
|
32 |
|
56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(x |
|
x |
|
)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
|
0 |
3 |
|
5 |
|
15 |
|
|
Работа, совершаемая силовым полем |
|
x2 |
y2 ,0 на данном отрезке |
||||||||||||||
F |
параболы, отрицательна.
Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл
xydx ( y x)dy,
L
где L – дуга параболы у=х2 от точки А(0;0) до точки В(1;1). Решение. Координаты вектора силового поля: F xy, ( y x) .
Уравнение линии L: у=х2. Дифференциал на этой линии dy=2xdx. Пределы изменения переменной х: 0; 1. Перейдем к линейному интегралу:
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE599x1.jpg)
790
|
1 |
1 |
x3 dx . |
xydx ( y x)dy x3dx x2 |
x 2xdx 2x2 |
||
L |
0 |
0 |
|
Вычисляя линейный интеграл, получим:
(2x2 |
x3 )dx 2x |
3 |
x |
4 |
|
|
1 |
5 . |
|||
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
4 |
|
0 |
12 |
|
||||
|
|
|
Данное поле на отрезке параболы совершает положительную работу.
6.4.2. Циркуляция и ротор векторного поля
Пусть векторное поле образовано вектором
F P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) .
Возьмем в этом поле замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление. Обычно положительным считают обход против часовой стрелки, отрицательным – по часовой стрелке (рис. 6.4.5).
L
dl
F
Рис. 6.4.5. Контур L (положительный обход)
Пусть r ix jy kz – радиус-вектор точки M на контуре L. Известно, что вектор dr i dx j dy k dz направлен по касательной к кривой в направлении ее обхода и dr dl , где dl – дифференциал дуги кривой
( dl dx 2 dy 2 dz 2 ).
Определение 2. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора F на вектор dr , касательный к контуру L,
называется циркуляцией вектора F вдоль L, т.е. |
|
Ц F dr |
(6.4.4) |
L
Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как
F dr dr Прdr F F dl Pdx Qdy Rdz ,
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE600x1.jpg)