Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

Так как поток положителен, внутри эллипсоида есть источники векторного поля.

Физический смысл дивергенции поля зависит от физического смысла вектора F . Так, если рассматривается поле скоростей v при течении газа, то divv равна скорости относительного увеличения бесконечно малого объема, а div ( v) равна плотности источника масс. Например, если в процессе тече-

ния газа его масса не меняется (такое изменение может получиться в результате химической или какой-либо подобной реакции), то div( v) 0 ; в то же

время div v 0, 0 или 0 в зависимости от того, будет ли газ в процессе течения расширяться, сжиматься или не менять своей плотности. Для электрического поля E дивергенция, т.е. div E пропорциональна плотности заряда, распределенного в пространстве и т.д.

Пример 10. Вычислить поток векторного поля a(M ) через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью ( p) и координатными плоскостями

a(M ) (x z)i (2y x) j zk , ( p) : x 2y 2z 4 .

Решение.

Вычисляем поток векторного поля с помощью поверхностного инте-

грала

П a,n d ,

q

где q - внешняя сторона поверхности пирамиды ABCO .

Вначале вычислим поток через каждую из четырех граней пирамиды. Грань AOC лежит в плоскости y 0 , единичная нормаль к этой грани

n1 j , d dxdz . Тогда поток векторного поля a(M ) через грань AOC

Грань BOC лежит в плоскости x 0 , единичная нормаль к данной гра-

ни n3 i , d dydz ,

783

3x 4y 3 x 3y 6 dxdy

2

ABC

3 x y 6 dxdy 1 0 dy2 y 4 3 x y 6 dx

2 2 2

2 0ABC

поверхность пирамиды, образуемую плоскостью ( p) и координатными плос-

костями с помощью теоремы Остроградского-Гаусса. Данные из примера 10. Решение. Вычислим поток векторного поля через поверхность пирами-

ды ABCO по формуле Остроградского-Гаусса:

786

отрезком li , а силу на нем считать постоянной и равной F (Рi)=const (рис.

6.4.2).

Тогда работа, совершаемая силовым полем на i-ом элементарном участке длиной l приближенно будет равна скалярному произведению векто-

ров

Аi ( F (Рi)) li .

Вся работа на пути L равна сумме элементарных работ

Переходя к пределу при max li 0, получим точное значение работы, совершаемой силовым полем на пути L:

где dl – предельное значение элементарного направленного отрезкаli . Очевидно, направление dl будет совпадать с направлением касательной к кривой L, а его модуль равен дифференциалу длины дуги – dl . Обозначим единичный вектор касательной – 0 , тогда dl dl 0 .

Определение 1. Работа силового поля на криволинейном пути L равна криволинейному интегралу по кривой L от скалярного произведения вектора

поля и dl – элемента касательной к кривой.

Выражение (F (P) , dl ) – называют векторной формой криволинейного

L

интеграла второго рода или линейным интегралом вектора F .

Скалярное произведение двух векторов F {P(x,y), Q(x,y)} и dl {dx, dy}

L

Правая часть равенства (6.4.2) представляет собой координатную форму криволинейного интеграла второго рода. Для пространственной кривой она имеет вид:

L

Следует особо подчеркнуть разницу между физическим смыслом инте-

грала

787

F dl – вектора F (второго рода) и интеграла первого рода

L

f (x, y, z) dl по длине дуги, который был рассмотрен ранее.

L

В последнем суммируются значения скалярной функции f(x,y,z), на-

пример, плотности массы или заряда, умноженные на dl – меры элементарных частей кривой L (дифференциалы длины дуги), на которые она дробится. Поэтому, криволинейный интеграл первого рода не зависит от того, в каком направлении проходится кривая L.

Под знаком криволинейного интеграла второго рода

(F,dl)

L

стоит скалярное произведение двух векторов, вектора поля F и эле-

мента касательной dl , при этом направление касательной должно совпадать с выбранным направлением обхода кривой L. Таким образом, в линейном ин-

теграле вектора F суммируются значения проекций векторной величины на касательную к кривой в различных ее точках. Поскольку скалярное произве-

дение F,dl зависит от угла между векторами F и dl знак интеграла

(F,dl) будет зависеть от выбранного обхода линии L. Криволинейный инте-

L

грал вектора F вычисляют так же, как криволинейный интеграл первого рода, т.е. путем сведения к линейному (определенному) интегралу. Для этого должно быть задано уравнение линии L и направление ее обхода (либо координаты начальной и конечной точек).

Если плоская линия L задана в декартовой системе координат уравнением у=у(х), то при сведении интеграла

(F,dl) (P(x, y)dx Q(x, y)dy)

LL

клинейному, переменную у и dy заменяют их выражением через х из

уравнения линии L:

y = y(x),

dy = yx' dx.

При параметрическом задании линии L: x=x(t); y=y(t), замену переменных, приводящую к линейному интегралу, осуществляют по формулам:

х=x(t); dx= xt' dt; y=y(t); dy= yt' dt.

Пример 1. Вычислить работу силового поля

F {cosy, siny}

на отрезке прямой, соединяющей точки А(2; –2), В(–2, 2). Решение. Работа силового поля равна интегралу

789

L: x=acost; y=bsint.

В этом случае вычисления будут значительно проще. Найдем значения параметра в точках начала и конца обхода: в точке А(– а; 0) t1 = , в точке

В(а; 0) t2 = 0.

Выразим дифференциалы dx и dy на данной линии через параметр t: dx=–asintdt; dy=bcostdt.

Заменяя в криволинейном интеграле переменные х и у параметрическим уравнением эллипса и дифференциалы dx и dy, найденными для них значениями на эллипсе, получим:

Таким образом, при обходе верхней части эллипса под действием силового поля F y2 , x2 , совершается положительная работа.

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл

x2 y2 dx ,

L

где L – дуга параболы от точки А(0;0) до точки В(2;4).

Решение. Векторное поле параллельно оси ox: F x2 y2 ,0 . Преобра-

зуем криволинейный интеграл в линейный, т.е. переменную y заменим уравнением параболы y x2 и расставим пределы изменения х при движении от

точки А до точки В:

параболы, отрицательна.

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл

xydx ( y x)dy,

L

где L – дуга параболы у=х2 от точки А(0;0) до точки В(1;1). Решение. Координаты вектора силового поля: F xy, ( y x) .

Уравнение линии L: у=х2. Дифференциал на этой линии dy=2xdx. Пределы изменения переменной х: 0; 1. Перейдем к линейному интегралу:

790

Вычисляя линейный интеграл, получим:

Данное поле на отрезке параболы совершает положительную работу.

6.4.2. Циркуляция и ротор векторного поля

Пусть векторное поле образовано вектором

F P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) .

Возьмем в этом поле замкнутую кривую L и выберем на ней определенное направление. Обычно положительным считают обход против часовой стрелки, отрицательным – по часовой стрелке (рис. 6.4.5).

L

dl

F

Рис. 6.4.5. Контур L (положительный обход)

Пусть r ix jy kz – радиус-вектор точки M на контуре L. Известно, что вектор dr i dx j dy k dz направлен по касательной к кривой в направлении ее обхода и dr dl , где dl – дифференциал дуги кривой

( dl dx 2 dy 2 dz 2 ).

Определение 2. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора F на вектор dr , касательный к контуру L,

L

Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как

F dr dr Прdr F F dl Pdx Qdy Rdz ,