Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

Поэтому уравнение (4.5.15) примет вид:

решениям уравнения (4.5.15) в силу подстановки (4.5.16). Далее особые решения могут возникнуть вследствие интегрирования уравнения (4.5.20).

Наконец, мы могли потерять решения вида y = const, принимая y за независимую переменную. Поэтому нужно положить в уравнении (4.5.15) y =

Если полученное уравнение имеет вещественные корни b = bi, то уравнение (4.5.15) допускает решения вида y = bi.

Пример. Дано уравнение

(1+y2)yy′′=(3y2−1)y′2.

Полагая y′=z и принимая y за независимую переменную, имеем: y′′ = dydz z , так что данное уравнение примет вид:

(1 + y2 )y dydz z = (3y2 −1)z2 .

Разделяя переменные, получим:

Отсюда, интегрируя, найдем:

ln z = 2 ln(1+ y2 ) −ln y + ln C1

или

450

(1 +zy2 )2 = C1. y

Возвращаясь к функции y, получим:

(1 +yy′y2 )2 = C1.

Интегрируя еще раз, найдем общий интеграл

1 +1y2 = −2C1x + C2 ,

или

1 +1y2 = Ax + B ,

где A= −2C1, B=C2. Положим теперь в исходном уравнении y=b.

Получим

(1+b2)b 0=(3b2−1) 0.

Так как любое b удовлетворяет этому уравнению, то уравнение допускает семейство решений y=C, где C – произвольное постоянное число.

451

ЛЕКЦИЯ 4.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКА

4.6.1. Основные понятия и определения

Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением,

называется уравнение вида:

y(n)+p1(x) y(n−1)+ p2(x) y(n−2)+…+ pn−1 (x) y′+ pn(x)y=f(x). (4.6.1)

или уравнение более общего вида:

p0(x) y(n)+p1(x) y(n−1)+ p2(x) y(n−2)+…+ pn−1 (x) y′+ pn(x)y=f(x). (4.6.1′)

Если в уравнении (4.6.1′) p0(x) ≠ 0, то поделив на него, приходим к уравнению (4.6.1).

Предположим, что коэффициенты уравнения (4.6.1) p1(x),…, pn(x) и правая часть f(x) заданы и непрерывны в интервале (a,b). При этом предположении уравнение (4.6.1) имеет, единственное решение y = y(x), удовлетворяющее начальным условиям:

y = y0, y′ = y′0,…, y(n−1) = y0(n−1) , при x = x0.

где x = x0 – любая точка из интервала (a,b), a y0, y′0,…, y0(n−1) , – любые

заданные числа. Это решение определено и n раз дифференцируемо во всем интервале (a,b).

Особых решений линейное уравнение (4.6.1) не имеет. Всякое решение этого уравнения является частным решением.

Все сказанное относится, очевидно, и к линейному, уравнению вида

(4.6.1′).

Задачей настоящей лекции является выяснение специфических общих свойств решении линейных уравнений и структуры общего решения, а также

Если же f(x) 0 в интервале (a,b), то уравнение (4.6.1) или (4.6.1′)

называется неоднородным.

В дальнейшем мы для сокращения записи введем в рассмотрение следующий линейный дифференциальный оператор:

L(y)≡ y(n)+p1(x) y(n−1)+ p2(x) y(n−2)+…+ pn−1 (x) y′+ pn(x)y. (4.6.3)

Нетрудно убедиться, что оператор L(y) обладает следующими основными свойствами:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак оператора:

L(ky)=kL(y). (4.6.4)

452

2. Оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций:

Определение 2. Функция y = y(x) называется решением неоднородного уравнения (4.6.1) в интервале (a,b), если оператор (4.6.3) от этой функции,

1.Инвариантность линейного уравнения относительно любого преобразования независимой переменной.

2.Инвариантность линейного уравнения относительно линейного преобразования искомой функции.

Об этих свойствах подробнее говорилось при рассмотрении линейного уравнения первого порядка.

где u(x) и v(x) – вещественные функции от вещественной переменной x,

а i= −1 , называется комплексной функцией от вещественной переменной x.

Функции u(x) и v(x) называются соответственно вещественной и мнимой частями комплексной функции z(x). Примером такой функции является

или функция более общего вида eαx, где α=a+ib, причем a и b –

вещественные:

eαx = e(a+ib)x = eaxeibx = eax(cos bx+isin bx) = eaxcosbx+ieaxsinbx, (4.6.12)

Производная n-го порядка от функции z(x) no вещественной переменной x, в предположении, что u(n)(x) и v(n)(x) существуют, определяется

Опеределение 5. Комплексная функция от вещественной переменной x

называется комплексным решением однородного линейного уравнения (4.6.2) в интервале (a, b), если подстановка ее в уравнение (4.6.2) обращает это уравнение в тождество, т. е. если

Можно доказать, что всякое комплексное решение уравнения (4.6.2) порождает два вещественных решения этого уравнения, а именно: если комплексная функция y(x) является решением уравнения (4.6.2), то ее вещественная и мнимая части являются вещественными решениями этого уравнения.

Установим теперь три замечательных свойства решений однородного

решение уравнения (4.6.2)? Чтобы ответить на этот вопрос, введем понятие о линейной независимости функций.

Определение 6. Функции y1,y2,…yn называются линейно независимыми в интервале (a, b), если между ними не существует

где α1,α2,…,αn – постоянные числа, не равные нулю одновременно. В противном случае функции y1,y2,…yn называются линейно зависимыми в интервале (a, b).

454

Для случая двух функций y1 и y2 понятие линейной независимости в интервале (a, b) сводится, очевидно, к тому, чтобы отношение этих функций

y1 не было постоянным в интервале (a, b). y2

Пример 1. Функции y1=1, y2=x, …,yn=xn−1 линейно независимы в интервале (−∞,+∞) и вообще в любом онтервале.

Действительно, соотношение

α1+α2x+…+αnxn−1=0,

в котором не все α равны нулю, не может выполняться тождественно, ибо оно представляет собою уравнение (n−1)-й степени, а как известно уравнение (n−1)-й степени не может иметь больше (n−1) различных корней.

Дадим необходимое условие линейной зависимости n функций. Предположим, что функции y1,y2,…yn имеют производные порядка n−1,

и рассмотрим определитель:

Этот определитель называется определителем Вронского для функций y1,y2,…yn или вронскианом этих функций.

Теорема. Если функции y1,y2,…yn линейно зависимы в интервале (a, b), то их вронскиан W(x) тождественно равен нулю в этом интервале.

Заметим, что это необходимое условие линейной зависимости n функций y1,y2,…yn, но не достаточное.

Дадим необходимое и достаточное условие линейной независимости n решений однородного линейного уравнения n-го порядка. Пусть теперь каждая из функций y1,y2,…yn есть решения уравнения (4.6.2). Тогда относительно вронскиана этих функций имеет место следующая теорема.

Теорема. Если функции y1,y2,…yn линейно независимые решения уравнения (4.6.2), все коэффициенты которого непрерывны в интервале (a, b), то вронскиан этих решений W(x) не р авен нулю ни в о дной точке интервала (a,b).

Из этого следует, что для того, чтобы n решений уравнения (4.6.2) были линейно независимы в интервале (a, b), необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан не обращался в нуль ни в одной точке этого интервала.

Однако оказывается, что для установления линейной независимости n решений уравнения (4.6.2) достаточно убедиться, что W(x) не обращается в нуль хоть в одной точке интервала (a, b).

455

Определение 7. Совокупность n решений однородного уравнения (4.6.2), определенных и линейно независимых в интервале (a, b), называется

фундаментальной системой решений в этом интервале.

Из предыдущего следует, что для того, чтобы система n решений была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы вронскиан этих решений был отличен от нуля хоть в одной точке интервала непрерывности коэффициентов уравнения (4.6.2). Все решения, входящие в фундаментальную систему, очевидно, ненулевые.

Значение n линейно независимых решений, т. е. фундаментальной системы решений, дает возможность построить решение уравнения (4.6.2), содержащее n произвольных постоянных, причем это решение будет общим решением. А именно, имеет место следующая теорема.

Основная теорема. Если y1, y2,...,yn – фундаментальная система решений уравнения (4.6.2), то формула

y=C1y1+C2y2+…+Cnyn, (4.6.23)

где C1, C2,..., Cn – произвольные постоянные числа, дает общее решение уравнения (4.6.2) в области

т. е. во всей области задания уравнения (4.6.2).

Уравнение (4.6.2) не может иметь более чем n линейно независимых частных решений. Действительно, пусть мы имеем n+1 частных решений. Рассмотрим первые n решений. Если они линейно зависимы, то и все наши n+1 решений линейно зависимы, ибо мы имеем соотношение

α1y1+α2y2+…+αnyn+0 yn+1=0 (a<x<b), (4.6.25)

где не все α равны нулю. Если же решения линейно независимы, то, согласно основной теореме, всякое решение, в том числе и yn+1, выражается линейно через:

зависимыми.

4.6.3. Неоднородные линейные уравнения

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение

L(y)≡y(n)+p1(x) y(n−1)+ p2(x) y(n−2)+…+ pn−1 (x) y′+ pn(x)y=f(x). (4.6.27)

Относительно коэффициентов p1(x),…,pn(x) и правой части f(x), мы предполагаем, что они непрерывны в интервале (a, b).

Предположим, что для уравнения (4.6.27) нам удалось найти частное решение y1, так что мы имеем тождество

Это уравнение называется однородным линейным уравнением n-го порядка, соответствующим неоднородному уравнению (4.6.27).

Общее решение однородного уравнения (4.6.31), как было установлено,

Все решения уравнения (4.6.27) содержатся в формуле (4.6.33). Эта формула представляет собою общее решение уравнения (4.6.27) в области

т. е. во всей области задания уравнения (4.6.27).

Таким образом, для нахождения общего решения неоднородного уравнения (4.6.27) достаточно найти одно какое-нибудь частное решение этого уравнения и прибавить к нему общее решение соответствующего однородного уравнения (4.6.31).

4.6.4. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Покажем, что общее решение неоднородного уравнения (4.6.27) можно найти в квадратурах, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (4.6.31).

Будем искать общее решение уравнения (4.6.27) в таком же виде, как и общее решение соответствующего однородного уравнения (4.6.31), заменяя произвольные постоянные некоторыми непрерывно дифференцируемыми функциями от x, т. е. положим:

y=C1(x)z1+C2(x)z2+…+Cn(x)zn, (4.6.35)

457

где z1,z2,...,zn – некоторая фундаментальная система решений уравнения

(4.6.31).

Выберем функции C1(x),C2(x),...,Cn(x) так, что ыбфункция y, определяемая формулой (4.6.35), была общим решением уравнения (4.6.27).

Искомые функции C1(x),C2(x),...,Cn(x) обязательно должны быть подчинены только одному соотношению, которое получается в результате подстановки функции (4.6.35) в уравнение (4.6.27). Остальные (n – 1) условий необходимых для определения этих функций мы можем выбрать по своему усмотрению.

Чтобы получить систему для определения Ci(x) наиболее простой, мы будем, вычисляя последовательные производные y′,...,y(n−1) от выражения (4.6.35), всякий раз полагать равной нулю совокупность членов, содержащих C′i(x). Таким образом, мы придем к следующим равенствам:

2(x),…,p1(x), 1 сложим почленно и приравняем правую часть полученного равенства правой части уравнения (4.6.27):

С1 (x)L(z1 ) + C2 (x)L(z2 ) + . .+.Cn (x)L(zn ) +

+С1′(x)z1(n−1) + C2′(x)z2(n−1) + . .+.Cn′ (x)zn(n−1) = f (x)

Так как L(zl)=L(z2)= ... =L(zn) ≡ 0, то последнее равенство перепишется

так:

С1′(x)z1(n−1) + C2′(x)z2(n−1) + . .+.Cn′ (x)zn(n−1) = f (x) .

Таким образом, для определения Ci (x) получаем следующую систему дифференциальных уравнений: