Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

339

интеграл f (x)dx.

Несобственные интегралы первого и второго рода, для которых сходятся соответствующие интегралы от модуля подынтегральной функции, назы-

вают абсолютно сходящимися.

Пример 6. Определить сходимость интеграла sin3xdx.

1 x

Решение. Подынтегральная функция знакопеременна. Рассмотрим интеграл от ее модуля:

sin x

1 x3 dx

К последнему интегралу можно применить первый признак сходимости, так как подынтегральная функция не отрицательна. Сравним ее со степенной функцией:

расходится, а от самой функции сходится. Такие несобственные интегралы называют условно сходящимися. Примером может служить интеграл Дирихле:

sin x dx,

0 x

для которого интеграл от модуля подынтегральной функции на интервале [0,∞) расходится. Однако его величина, найденная специальными приемами (соответствующий неопределенный интеграл не берется), равна конечному числу:

340

Интеграл Дирихле сходится условно.

341

ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ, ТРАПЕЦИЙ, СИМПСОНА. ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ

Вычисление линейного интеграла с помощью неопределенного по формуле Ньютона-Лейбница на практике, как уже отмечалось, не всегда возможно. Во-первых, первообразная не всегда выражается через элементарные функции или через известные неэлементарные, т.е. не всегда её можно найти. Во-вторых, найденная первообразная может оказаться очень громоздкой. И наконец функция f(х), которую надо проинтегрировать, может быть задана не формулой, а , например, таблицей значений или графиком.

Во всех этих случаях линейный интеграл вычисляют приближенно с помощью численного интегрирования. Существует много различных способов и формул для приближенного вычисления линейного интеграла. Сущность большинства из них состоит в замене подынтегральной функции f(х) аппроксимирующей функцией φ(х), для которой можно легко найти первообразную, т.е.

b b

f (x)dx (x)dx R Jn R

a a

где Jn – приближенное значение интеграла, R – погрешность вычисления.

Мы рассмотрим некоторые простейшие методы класса Ньютона-Котеса исходя из геометрического смысла линейного интеграла. В этих методах подынтегральную функцию заменяют многочленом, от степени которого зависит количество узлов, где необходимо вычислить значение функции f(х). Алгоритмы этих методов просты и легко поддаются программной реализации.

3.8.1. Формула прямоугольников

Отметим, что при выводе этой формулы подынтегральную функцию заменяют многочленом нулевой степени, т.е. числом.

b

Требуется вычислить: f (x)dx , где f(х) – непрерывна в замкнутом ин-

a

b

тервале [а, b]. Будем исходить из того, что величина интеграла f (x)dx рав-

a

на площади криволинейной трапеции (рис.1). Вычислим эту площадь сле-

342

дующим образом. Разобьем интервал [а, b] на n равных частей, так что:

b a x h (Рис.3.8.1). n

Рис. 3.8.1

На всех частных интервалах построим прямоугольники, с высотами, равными значениям функции в начале каждого частного интервала:

у0, у1, …, уn-1.

Тогда за площадь криволинейной трапеции приближенно можно принять сумму площадей построенных прямоугольников, т.е.

Если на каждом частном интервале длиною х построить прямоугольники с высотами у1, у2, …, уn – равными значениям функции в конце каждого частичного интервала, то величина интеграла приближенно будет равна:

Формулы (3.8.1) и (3.8.2) называют формулами левых и правых прямоугольников. В случае возрастающей функции, как показано на рисунке 3.8.1, формула (3.8.1) дает значение интеграла с недостатком (нижняя сумма Дарбу), а формула (3.8.2) с избытком.

Обе формулы имеют сравнительно большую погрешность (первого порядка малости). Так для левых прямоугольников главный член погрешности на частичном интервале равен

Если учесть, что h b n a , то верхнюю границу абсолютной ошибки можно записать так

2n

При уменьшении в два раза числа разбиений интервала [а, b] абсолютная ошибка возрастает также в два раза.

По сравнению с формулами (3.8.1) и (3.8.2) более точным является метод средних прямоугольников, т.е. когда значения функции f(х) вычисляют в срединах каждого частного интервала:

Однако, если подынтегральная функция f(х) определяется из эксперимента в дискретном наборе узлов, то метод средних прямоугольников применить нельзя из-за отсутствия значений f(х) в средних точках xi . В этом

случае для интегрирования используют другие методы Ньютона-Котеса.

3.8.2. Формула трапеций

Вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком подынтегральной, другим способом. По-прежнему разобьем интервал интегрирования на n-равных частей с длинами:

Полученную формулу (3.8.4) называют формулой трапеции. Абсолютная ошибка, которая получается при вычислении интеграла по этой формуле, не превосходит величины:

12n2

Однако, она в два раза больше по сравнению с методом средних прямоугольников. В обоих случаях, чем больше n – тем меньше ошибка.

На практике обычно трудно определить mах f" (х), поэтому для оценки верхней границы погрешности пользуются другим выражением:

Формулу (3.8.6) получают следующим образом. Уменьшим число разбиений интервала [а, b] в два раза: n/2 и найдем, во сколько раз возрастет

где Jn – приближенное значение интеграла, полученное при разбиении интервала [а, b] на n частей Jn/2 – приближенное значение интеграла при разбиении

на n2 . Вычитая соответствующие части равенств (3.8.7) и (3.8.8), получим:

0= Jn – Jn/2 – 3δn.

Откуда следует, что

3.8.3. Формула парабол (формула Симпсона)

345

b

По-прежнему, требуется вычислить интеграл f (x)dx , значение кото-

a

рого равно площади криволинейной трапеции.

Разобьем интервал [а, b] на чётное число равных частей – n:

b a x h . n

Рис. 3.8.3.

На сдвоенных частичных интервалах: х2 – х0, х4 – х2, …, хn – хn-2 длиною 2h участки графика подынтегральной функции заменим параболами у = Ах2 + Вх + С или многочленом второй степени.

Значение интеграла приближенно будет равно сумме площадей частичных параболических трапеций (Рис. 3.8.3):

Итак, площадь первой параболической трапеции равна:

Формулу (3.8.11) называют формулой парабол или формулой Симпсона. Верхняя граница погрешности при вычислениях интеграла по этой формуле равна

Погрешность имеет четвертый порядок малости. Формула Симпсона позволяет получить высокую точность, если четвертая производная подынтегральной функции не слишком велика. На практике в случае формулы Симпсона для δn. Пользуется таким равенством:

Его получают аналогично равенству (3.8.6). При уменьшении числа разбиений интервала [а, b] в два раза, верхняя граница ошибки возрастает в

Пример. Вычислишь по формуле Ньютона-Лейбница и приближенно

3

линейный интеграл: x2dx полученные результаты сравнить

1

1. Найдем точное значение данного интеграла по формуле НьютонаЛейбница:

точках: х0 = 1; х1= 1,2; х2 = 1,4 и т.д., а также в срединах частичных интервалов. Результаты занесем в таблицу.

Результаты сильно отличаются от истинного значения, т.е. вычисления проведены с большой погрешностью. Найдем приближенное значение данного интеграла по формуле средних прямоугольников

Результат весьма близкий к истинному.

Для сравнения вычислим приближенное значение данного интеграла по формулам трапеций и Симпсона.

По формуле трапеций для n = 10 с шагом h = 0,2 находим

И, наконец, по формуле Симпсона для n = 10; h = 0,2