Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

319

На основании данного свойства определенные интегралы от функции f (Р) 1 будут равны:

b

линейный 1dx b – длине интервала[α,b],

криволинейный 1dl l – длине дуги кривой L,

L

двойной 1ds S – площади плоской области D,

D

поверхностный 1d – площади куска поверхности q,

q

тройной 1dv V – объему пространственной области W.

W

Свойство 5. Если подынтегральная функция f(P) в области интегрирования (Ω) не меняет знак, то знак определенного интеграла совпадает со знаком функции, т.е.:

все слагаемые f (Pi ) i будут неотрицательны, поэтому

f (P)d 0.

( )

Из данного свойства следует, что если во всех точках фигуры (Ω) для двух функций выполняется неравенство:

f(P) (P) то

f (P)d (P)d .

иными словами, неравенства можно интегрировать. Доказательство. Перепишем неравенство двух функций в виде:

f (P) (P) 0 или

Свойство 6. Оценка величины определенного интеграла. Если непре-

рывная функция f(P) в области интегрирования (Ω) принимает наименьшее значение равное m, а наибольшее значение равное М, то величина определенного интеграла заключена в пределах:

m f (P)d M

( )

Доказательство. Поскольку m – наименьшее значение функции, а М – наибольшее, то все значения непрерывной функции заключены между чис-

лами:

m f (P) M

Так как неравенства можно интегрировать, имеем:

md f ( p)d Md

( ) ( ) ( )

Постоянные m и М вынесем за знак интегралов: m d f ( p)d M d

( ) ( ) ( )

Интегралы от мер элементарных частей dΩ равны мере области интегрирования. С учетом этого окончательно получим:

m f (P)d M

( )

На основании данного свойства, можно приближено оценить величину определенного интеграла любого типа, если известны наибольшее и наименьшее значения подынтегральной функции, а также размеры области ин-

тегрирования.

Для линейного интеграла это свойство выглядит так:

b

m(b ) f (x)dx M (b )

Ему можно дать геометрическую иллюстрацию. Для этого на интервале [α,b] построим два прямоугольника с высотами, равными m и М, и криволинейную трапецию, ограниченную сверху

графиком подынтегральной функции f(x) (рисунок 3.6.5а).

Площадь криволинейной трапеции (заштрихованная часть), равная интегралу

321

b

f (x)dx,

заключена между площадями двух прямоугольников с одним основанием длиной b – α, и разными высотами, равными числам m и М.

Пример 1. Найти числа, между которыми заключено значение линей-

Свойство 7. Среднее значение функции.

За среднее значение функции, заданной на фигуре (или в области) (Ω), принимают величину интеграла от функции по фигуре, деленную на меру фигуры т.е.

f (P)d

fср ( )

Доказательство. Если дано n чисел a1,a2 ,...,an , то их средним арифметическим называют число:

aср. a1 a2 ... an n

Возникает вопрос, что считать средним значением функции f(P), заданной на фигуре (Ω), которая, вообще говоря, принимает бесконечное число значений? Чтобы найти fср, поступим следующим образом. Разобьем об-

ласть(Ω)на n частей с равными мерами:

1 2 ... n n

Внутри каждой элементарной части ( i ) возьмем произвольную точ-

ку и вычислим в ней значение функции

f (P1), f (P2 ),..., f (Pn ) .

Среднее арифметическое этих значений будет равно:

Средариф. . f (P1) f (P2 ) ... f (Pn ) n

Поделим и умножим полученное выражение для среднего арифметического на размеры области (Ω) и перепишем его в виде:

322

Сред.ариф. 1 f (P1) f (P2 ) ... f (Pn ) n

За приближенное значение среднего функции в области (Ω) можно взять среднее арифметическое ее найденных значений. Заменяя n на ∆Ω в

последнем равенстве, получим:

fcр. 1 n f (Pi ) i

i 1

Очевидно, что чем больше взято значений функции, тем точнее будет ее среднее значение в области (Ω). Увеличивая число разбиений, т.е. переходя к пределу при i 0 , получим:

Таким образом, найденное среднее функции равно определенному интегралу по области (Ω), деленному на меру области.

Осталось выяснить еще один вопрос, связанный с fcр. Принимает ли

функция f(P) в какой либо точке фигуры (Ω) значение, равное ее среднему?

т.е. f ( ) fср., где ( )

В тех случаях, когда f(P) непрерывна в замкнутой области (Ω), ответ положителен.

Свойство 8. Теорема о среднем.

Если функция f(P) непрерывна в замкнутой области (Ω), то найдется точка ( ) , в которой функция принимает значение, равное среднему:

f (P)d

Доказательство. Так как функция f(P) непрерывна в замкнутой области (Ω), то хотя бы в одной точке фигуры (Ω) она принимает наибольшее значение, равное числу М, и хотя бы в одной точке – наименьшее значение, равное числу m. Тогда величина определенного интеграла от этой функции по фигуре (Ω), согласно его свойствам, будет заключена между числами:

m f (P)d M ,

( )

Поделим все части полученного неравенства на размеры фигуры (Ω):

f (P)d

323

Таким образом fcр. заключено между значениями функции в двух точках f (P1) m и f (P2 ) M . Но непрерывная функция между двумя своими значениями принимает все промежуточные, в том числе и fcр. . Поэтому, обязательно найдется точка ( ) , в которой выполняется равенство

Теорему о среднем можно переписать в виде:

f (P)d fср( ) ; ( )

( )

Это означает, что величина определенного интеграла от непрерывной функции f(P) по области (Ω) равна ее среднему значению, умноженному на размеры фигуры.

Для линейного интеграла теорема о среднем в последней форме записи выглядит так:

b

f (x)dx fср( )(b ), где b

Геометрически это означает, что площадь криволинейной трапеции, равная линейному ин-

b

тегралу f (x)dx, такая же как площадь прямо-

угольника, у которого основанием служит отрезок [α,b], а высотой – среднее значение функции fср( ) (рисунок 3.6.7а), причем, функция свое среднее зна-

чение принимает в точкеx [ ,b].

В случае разрывной функции может получится так, что во всех точках P [α,b] значения функции не равны ее среднему f (P) fср.

Пример 2. Функция одного переменного задана на отрезке [0,1] выражением:

324

Длина интервала b – α = 1. На первой его половине f (x) 1, на второй

– f (x) 2 .

Поэтому интервал интегрирования разобьем на две части, тогда

Применяя свойства определенных интегралов, получим: fср. (0,5 0) 2(1 0,5) 1,5

Ни в одной точке отрезка [0,1] данная функция не принимает значения, равного среднему: fср. 1,5 .

В заключении отметим, что в математической литературе замкнутый интервал [α,b] часто называют отрезком или сегментом, сохраняя термин “интервала” только для открытого (α,b).

325

Лекция 3.7. линейный интеграл, способы вычисления. формула ньютона–лейбница. интегрирование по частям и замена переменных. несобственные интегралы первого и второго рода. признаки сходимости

Определенные интегралы всех типов вычисляют путем сведения их к

b

линейному вида f (x)dx . В силу этого линейный интеграл занимает одно из

a

центральных мест. Непосредственное вычисление этого интеграла, как предела интегральной суммы, чрезвычайно громоздкая задача. В некоторых частных случаях линейный интеграл удается найти значительно проще через неопределенный. Попробуем выяснить связь между этими интегралами.

3.7.1. Производная от линейного интеграла по переменному верхнему пределу

Пусть дана функция y=f(x), непрерывная в замкнутом интервале [α,b], график, которой схематически изображен на рисунке 3.7.1.

b

Интеграл f (x)dx от этой функции –

a

есть число, равное площади криволинейной трапеции, построенной на интервале [α,b] и ограниченной сверху графиком данной функции y=f(x). Рассмотрим интеграл, у которого изменяется верхняя граница (это указано стрелкой)

x

f (x)dx .

a

Тогда площадь под кривой f(x) также будет изменяться, по какому то закону. Иными словами, площадь криволинейной трапеции будет функцией верхнего предела (Рис.3.7.1), обозначим ее:

x

Ф(х) f (x)dx .

Следует обратить особое внимание на то, что аргументом функции Ф(х) является верхний предел, при этом переменная, стоящая под знаком интеграла пробегает все значения от α до x, и ее лучше обозначить другой буквой

x

Ф(х) f (t)dt .

327

x

ленным числом и превращается в одну из первообразных f (t)dt для функ-

ции f(t). Значения этой первообразной равны изменяющейся площади криволинейной трапеции, расположенной под кривой f(t).

3.7.2. Формула Ньютона-Лейбница

Неопределенный интеграл, согласно определению – это множество первообразных:

f (x)dx F(x) C, (3.7.1)

где С – произвольная постоянная.

В этом множестве находится и та первообразная, которая измеряет площадь под кривой f(t). Чтобы найти эту первообразную, нужно определить для нее значение постоянной С. Предположим, что постоянная равна С = С1, тогда

x

Ф(х) f (t)dt F(x) C1. (3.7.2)

x

Для нахождения С1 воспользуемся тем, что первообразная f (t)dt пе-

ресекает ось Ох в точке х = α, так как ее значение в этой точке равно нулю:

Ф( ) f (t)dt F( ) C1; 0 F( ) C1. (3.7.3)

Из равенства (3.7.3) следует: С1= – F(α).

Подставим найденное значение постоянной в равенство (3.7.2), полу-

чим:

x

f (t)dt F(x) F( ). (3.7.4)

b

А теперь найдем величину линейного интеграла f (x)dx,которая равна

значению первообразной Ф(х) в точке х = b. Для этого в формуле (3.7.4) нужно положить верхний предел равным числу b:

b

f (x)dx F(b) F( ) (3.7.5)

Полученную формулу (3.7.5) называют формулой Ньютона-Лейбница. Она позволяет вычислять линейный интеграл с помощью неопределенного без непосредственного вычисления предела интегральных сумм. Число, ко-

328

торому равен линейный интеграл, есть приращение одной из первообразных на интервале интегрирования.

Поскольку, первообразные отличаются друг от друга на постоянную,

то определенный линейный интеграл равен приращению любой из первообразных на [a,b].

Разность значений функции F(x) часто записывают так:

b

f (x)dx F(x) b , (3.7.6)

где знак b – означает, что в функцию F(x) надо подставить вместо ар-

гумента сначала верхний предел, затем нижний и из первого результата вычесть второй.

Найдем несколько простых интегралов с помощью полученной форму-

лы.

До сих пор считалось, что нижний предел в линейном интеграле

b

f (x)dx меньше верхнего (α < b).

Для ряда случаев удобно распространить определение линейного интеграла, когда α > b. Если α > b, то будем считать, что

f (x)dx f (x)dx .

b

Тогда формула Ньютона-Лейбница будет верна и в этом случае: