Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

309

x1, x2 ,... xi ,... xn .

Изогнутый стержень L – на частичные линии ( l i ) с длинами l i , i =

1,2,…n.

Плоскую и изогнутую пластины D и q – на элементарные части ( Si ) и ( i ) площадью Si и i соответственно, i = 1,2,…n; и наконец, тело W – на элементарные части( Vi ) с объемами Vi .

На прямом стержне (b – α) внутри каждого частичного интервала ( x1),( x2 ),...( xn ) произвольным образом возьмем точку (рисунок 3.6.1.а).

В выбранных точках найдем значение плотности массы:

(P1), (P2 ),..., (Pi ),..., (Pn ).

Аналогичную операцию проделаем для всех остальных тел (рисунок 3.6.1). Если плотность массы ρ(Р) – непрерывная функция и все тела разбиты на достаточно малые кусочки, то в пределах одной элементарной части всех тел плотность массы будет меняться незначительно и ее приближенно можно считать постоянной, равной значению в выбранной точке.

Поэтому массу i-ой части каждого тела можно найти приближенно, как произведение плотности ρ(Рi) на размеры части:

Для прямого стержня [α,b]: mi (Pi ) xi

Масса каждого из пяти тел будет равна сумме масс элементарных частей, на которые они были разбиты. Заменяя элементарные массы mi их

приближенными значениями, получим:

310

Назовем диаметром элементарной части максимальное из расстояний между двумя ее точками. Очевидно, что массы тел, вычисленные с помощью найденных сумм, будут тем точнее, чем мельче их разбиение на отдельные части. При n → ∞, или при стремлении к нулю наибольшего из диаметров элементарных кусочков, т.е. при переходе к пределу, мы получим точное значение для масс всех тел:

n

M[ ,b] lim (Pi ) xi ,

max xi 0 i 1 n

M[L] maxliml i 0 (Pi ) l i ,

i 1 n

M[D] lim (Pi ) Si ,

max d ( Si ) 0 i 1 n

M[q] max lim( i ) 0 (Pi ) i ,

d i 1 n

M[W ] max lim( i ) 0 (Pi ) Vi .

d V i 1

Из приведенного примера следует, что когда распределение значений различных физических величин неравномерное, решение довольно широкого класса задач сводится к одинаковым математическим операциям, а именно к составлению суммы одного и того же вида и вычислению ее предела.

3.6.2. Интергальная сумма, определенный интеграл

Отвлечемся теперь от физического смысла рассмотренной задачи. Выясним, что было в ней задано, и какие математические операции привели к её решению.

При этом будем называть фигурами: линии в пространстве и на плоскости (в частности это может быть отрезок оси), плоские области, поверхности в пространстве и наконец пространственные тела.

Рассматривая фигуры различных типов, будем говорить об их мере. В случае линий под мерой будем понимать их длину, для тонких поверхностей и плоских областей – их площадь, в случае пространственных тел мерами будут служить объемы.

В свете сказанного в данной задаче были заданы меры фигур: длины материальных линий (прямой и изогнутой), обладающих массами, размеры пластин и тела.

Обозначим фигуру (безразлично какую именно) символом – (Ω), а ее меру – Ω (таким же символом только без круглых скобок). Далее, на точках

311

каждой фигуры была задана функция – f(P). Она являлась плотностью массы ρ(P). В других задачах эта функция может быть любой другой физической величиной, например, плотностью заряда, температурой и т.д.

При решении данной задачи было проделано пять операций:

1.Фигура (Ω) или область размером Ω разбивалась произвольным образом на конечное число (областей):

( 1),( 2 ),...,( n ) с мерами 1, 2 ,..., n

2.В каждой части с номером i выбиралась произвольная точка Pi и в ней вычислялось значение функции: f (Pi )

3.Найденное значение f (Pi ) умножалось на меру соответствующей

элементарной части:

f(Pi ) i

4.Полученные произведения складывались по всем частям фигуры:

n

f (P1) 1 f (P2 ) 2 ... f (Pn ) n f (Pi ) i

i 1

5. И наконец, находился предел составленной суммы при увеличении числа разбиений так, что наибольший из диаметров элементарных частей стремился к нулю.

Сумму, полученную в результате первых четырех операций, называют интегральной суммой. Ее величина при заданном числе разбиений определяется двумя факторами.

Во-первых, способом разбиения фигуры на элементарные части, поскольку это разбиение произвольно. Например, плоскую пластину можно разбить на n одинаковых квадратов или n треугольников, либо на n прямоугольников разных размеров.

Во-вторых, значение интегральной суммы зависит от выбора точки внутри каждой элементарной части, так как этот выбор также произволен.

Поэтому, для данного n можно составить бесчисленное множество интегральных сумм, которые будут иметь различные числовые значения. Однако, при увеличении числа разбиений все суммы стремятся к одному и тому же пределу ( числу) . В приведенной выше задаче значения составленных интегральных сумм стремились к массе конкретных тел. Иными словами, предел не зависит от способов составления интеграль-

ных сумм. Этот предел, равный числу, получил название определенного интеграла.

Определение. Определенным интегралом по фигуре (Ω) от заданной на ней функции f(P) называют предел, к которому стремится n-ая интегральная сумма при стремлении к нулю наибольшего из диаметров элементарных частей, на которые дробится фигура. Обозначают:

312

Знак интеграла ∫ – есть вытянутая первая буква латинского слова Summa, он должен напоминать о той сумме, которая при предельном переходе дала величину определенного интеграла.

(Ω) – фигура, или область, расположенная определенным образом относительно выбранной системы отсчета.

f(P) – подынтегральная функция, f(P)dΩ – подынтегральное выражение, напоминающее вид слагаемых в интегральной сумме.

Индекс i – в подынтегральном выражении опущен, чем подчеркивается, что в процессе суммирования, который завершается предельным переходом, значения функции вычисляются во всех точках области (Ω).

В зависимости от вида фигуры, на точках которой задана функция, существует несколько типов определенного интеграла.

Если фигура (Ω) – прямая линия, расположенная на числовой оси между точками х = α и х = b, то интеграл получил название просто «определенного» или «линейного», его записывают:

Так как точка на прямой имеет одну координату, под знаком линейного интеграла стоит функция одного переменного. Интервал от α до b называют интервалом интегрирования.

Если фигура (Ω)– кривая линия L – интеграл криволинейный, его обозначают:

При этом линия L может быть задана как на плоскости, так и в пространстве. Для плоской кривой под знаком криволинейного интеграла стоит функция двух переменных

f (P)dl f (x, y)dl .

L L

Для пространственных линий криволинейный интеграл находят от функции трех переменных

f (P)dl f (x, y, z)dl .

L L

Областью интегрирования является множество точек линии L, на которых задана функция.

Для плоских фигур (Ω)= D интеграл называют двойным, обозначают:

Область интегрирования – множество точек плоской области D. Если фигура (Ω) – часть поверхности q, интеграл поверхностный:

И, наконец, для пространственных фигур, (Ω) = W, интеграл называют тройным, записывают:

Двойной интеграл вычисляют от функций двух переменных, поверхностный и тройной – от функций трех переменных, так как точки на поверхности и в пространстве имеют три координаты.

У интегралов всех типов областью интегрирования является множество точек той фигуры, на которой задана подынтегральная функция.

3.6.3. Теорема о существовании определенного интеграла

Согласно определению, определенный интеграл – это число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма при увеличении числа разбиений фигуры на элементарные части. В тех случаях, когда предела нет или он бесконечен, определенный интеграл не существует.

Сформулируем теорему существования определенного интеграла, т.е. теорему существования конечного предела интегральной суммы. Теорема справедлива для интегралов всех типов. Поэтому, мы сформулируем ее в общем случае для определенного интеграла вида

f (P)d .

( )

Теорема. Если размеры фигуры (Ω) (отрезка прямой, плоской или объемной области) конечны, а функция заданная на ней, непрерывна во всех внутренних точках и на ее границе, то на данной фигуре существует определенный интеграл от заданной на ней функции.

Теорему легко переложить для конкретного интеграла любого типа, например, для линейного её формулируют так:

Если отрезок прямой [α,b] – конечен и функция f(x) непрерывна в замкнутом интервале [α,b], то на этом интервале существует линейный интеграл от заданной на нем функции f(x).

Примечание. Формулировка теоремы о существовании определенного интеграла приведена с усиленным ограничением на подынтегральную функ-

314

цию (требование ее непрерывности). В таком виде эта теорема приводится в ряде учебников (Пискунов, Бермант и Араманович, Хавинсон). Однако, следует отметить, что определенный интеграл по конечной фигуре (Ω) или области существует и от разрывных функций, если эти функции в области (Ω) терпят разрывы первого рода (Смирнов, Мышкис, Липман Бер, Бугров и Никольский).

3.6.4. Геометрический смысл определенных интегралов

Начнем с линейного интеграла. Как уже отмечалось, этот интеграл представляет собой предел интегральной суммы составленной для функции одного переменного, заданной на конечном интервале [α,b]

Построим график подынтегральной функции и проведем прямые х = α и х = b до пересечения с этим графиком (рисунок 3.6.1 а). Фигуру, ограниченную снизу отрезку [α,b], сверху – графиком функции y = f(x), (которая предполагается положительной), а с боков прямыми х = α, х = b, называют криволинейной трапецией. Покажем, что линейный интеграл равен площади построенной криволинейной трапеции. Для этого, разобьем отрезок [α,b] на n

частей: ( x1),( x2 ),...( xn ) , с мерами x1, x2 ,... xn , при этом мера i-го отрезка равна разности координат конечной и начальной точек xi xi 1 xi .

Внутри каждой части возьмем произвольные точки P1, P2 ,..., Pn и построим прямоугольники с высотами: f (P1), f (P2 ),..., f (Pn ) на соответствую-

щих элементарных отрезках (рисунок 3.6.1 а). Площадь i-го прямоугольника будет равна i-му слагаемому интегральной суммы:

Si f (Pi ) xi

315

Следовательно, интегральная сумма линейного интеграла представляет собой сумму площадей прямоугольников, построенных на частичных интер-

валах с длинами x1, x2 ,... xn , и с высотами f (P1), f (P2 ),..., f (Pn ) . Сумма этих площадей дает площадь фигуры, ограниченной сверху ступенчатой ли-

нией, с боков прямыми х = α, х = b, а снизу отрезком [α,b].

В пределе, при стремлении к нулю наибольшей длины частичного интервала (max xi 0) , ступенчатая линия приближается к графику подынте-

гральной функции.

Таким образом, если интегрируемая функция f(x) не отрицательна, то

b

линейный интеграл f (x)dx равен площади соответствующей криволиней-

ной трапеции. В общем случае, когда f(x) может принимать как положительные, так и отрицательные значения, линейный интеграл дает алгебраическую сумму площадей получающихся криволинейных трапеций. В эту сумму площади криволинейных трапеций, лежащих над осью Ох, войдут со знаком «плюс», а площади криволинейных трапеций, расположенных под осью Ох – со знаком «минус».

Рассмотрим криволинейный интеграл по плоской кривой. Он равен пределу интегральной суммы вида:

Пусть плоская линия L часть графика некоторой функции одного переменного y (x), расположенной между точками α(х1,y1) и b(х2,y2) на плоско-

сти xOy (рисунок 3.6.2 а). На точках этой линии задана функция двух переменных z f (x, y) . Предположим, что она положительна и является линей-

ной плотностью массы.

Функцию z f (x, y) называют подынтегральной, ее графиком является

поверхность в пространстве (рисунок 3.6.2.а).

Подынтегральную функцию z f (x, y) не следует путать с уравнением линии L : y (x) .

Построим на кривой L часть цилиндрической поверхности с образующей, параллельной оси Оz, и отсеченной сверху графиком подынтегральной функции.

316

Покажем, что площадь этой поверхности будет равна криволинейному интегралу.

Для этого, разобьем линию L на n частей ( l 1),( l 2 ),...( l n ) с длинамиl 1, l 2 ,... l n , а цилиндрическую поверхность соответственно на n узких

полосок. Каждую полоску можно принять за прямоугольник с основаниемl i и высотой, равной значению подынтегральной функции в точке Pi (ри-

сунок 3.6.2 а). Площадь i-го прямоугольника будет равна i-му слагаемому в интегральной сумме

Si f (Pi ) l i

Следовательно, интегральная сумма криволинейного интеграла, равная сумме площадей всех полосок, дает площадь части цилиндрической поверхности, отрезанной сверху пространственной ломаной линией. В пределе при max l i 0 ступенчатая линия приближается к линии пересечения цилинд-

рической поверхности и графика подынтегральной функции f(x,y). В результате, криволинейный интеграл, равный пределу интегральной суммы, дает площадь части цилиндрической поверхности с направляющей линией L и образующей, параллельной оси Oz, срезанной сверху графиком подынтегральной функции.

Перейдем к двойному интегралу по плоской области D. Он также равен пределу интегральной сумы вида:

где Si – мера элементарной части, на которые разбита область D.

Чтобы выяснить геометрический смысл двойного интеграла, построим область D и цилиндрическую поверхность с направляющей, которая является границей области D, и образующей, параллельной

оси Oz.

Будем считать, что подынтегральная функция z f (x, y) неотрицательна во всех точках об-

ласти D, тогда ее график отсечет цилиндрическую поверхность сверху.

В результате получится цилиндрическое тело, ограниченное снизу областью D, с боков – цилиндрической поверхностью, а сверху – графиком подынтегральной функции (рисунок 3.6.3 а).

От обычного цилиндра оно будет отличаться тем, что сверху ограничено не плоскостью, параллельной плоскости xOy, а поверхностью. Покажем, что двойной

интеграл по области D равен объему полученного тела. Для этого разобьем область D на n частей:

317

( S1),( S2 ),...( Sn )

с мерами S1, S2 ,... Sn . В результате тело разобьется на узкие цилиндрические тела. В каждой элементарной части ( Si ) возьмем произвольную точку Pi и вычислим в ней значение подынтегральной функции f (Pi ) .

Рассмотрим произведение f (Pi ) Si – оно равно объему цилиндра с основанием Si и высотой f (Pi ) (рисунок 3.6.3 а).

Объем i-го кусочка тела Vi можно приближенно взять за объем ци-

линдра, т.е.:

Vi f (Pi ) Si

Тогда объем всего цилиндрического тела приближенно будет равен

n

сумме Vцил.тела f (Pi ) Si . i 1

Чтобы получить точное значение объема, нужно перейти к пределу

Таким образом, двойной интеграл – это число, равное объему цилиндрического тела, ограниченного снизу областью D, с боков цилиндрической поверхностью, сверху графиком подынтегральной функции.

В заключении следует отметить, что тройной и поверхностный интеграл для произвольной интегрируемой функции f(P) не имеют простого геометрического смысла. Если функцию f(P) считать плотностью массы, то тройному и поверхностному интегралам можно дать интерпритацию как массы фигур.

3.6.5. Свойства определенных интегралов

Так как свойства определенных интегралов всех типов одинаковы, то мы сформулируем и докажем их в общем случае для определенного интеграла в виде

где (Ω)– фигура или область интегрирования; f(P) – функция, заданная на точках этой фигуры;

dΩ – мера элемента фигуры, который в пределе стягивается к точке.

Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.:

318

сf (P)d с f (P)d

Свойство 2. Аддитивность по функции.

Интеграл от сумы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций.

Оба свойства доказываются с помощью свойств сумм и пределов. Свойство 3. Аддитивность по фигуре.

Если область интегрирования (Ω) разбить на несколько частей, например ( ) ( 1) ( 2 ) ( 3 ) , то определенный интеграл будет равен сумме

интегралов по этим частям:

Доказательство. Докажем это свойство для линейного интеграла, исходя из его геометрического смысла.

Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком [α,b] разобьется на три части. Каждая часть этой площади также является криволинейной трапецией и поэтому равна линейному интегралу т.е.

Аналогичное доказательство можно привести для криволинейного и двойного интегралов.

Свойство 4. Если подынтегральная функция тождественно равна единице f (P) 1 в области (Ω), то определенный интеграл равен мере фигуры:

f (P)d d

( ) ( )

Доказательство. В этом случае определенный интеграл есть предел интегральной суммы, состоящей только из мер элементарных частей, на которые разбита фигура. Складывая эти меры, получим меру фигуры: