Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи (число которых должно быть меньше числа переменных). Здесь приходится вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множителей, сколько имеется уравнений связей.

260

Контрольные вопросы и задания для самопроверки

1.Что называют множеством, подмножеством множества? Какие множества называются равными? Приведите примеры. Укажите способы задания множеств, приведите примеры. Какие множества называются конечными, бесконечными?

2.Назовите основные операции над множествами и дайте определение для каждой из них? Сформулируйте свойства операций объединения и пересечения.

3.Что называют отображением множества A в B ? Какие отображения называются взаимно однозначными, эквивалентными (равномощными)? Что называют мощностью множества? Какие множества называются счетными?

4.Какие числа образуют множество действительных чисел? Что называется числовой осью, интервалом, координатной плоскостью?

5.Что называют переменной величиной? Какая величина называется постоянной, заданной? Что называют областью изменения переменной величины? Какие классы переменных величин вы знаете? Привести примеры. Какая переменная величина называется упорядоченной, монотонной, ограниченной?

6.Что называется функцией одной, двух и n независимых переменных? Привести примеры. Что называется областью определения, областью значений функции? Привести примеры. Что называется графиком функции в системе декартовых координат?

7.Что значит задать функцию? Табличный и графический способы задания функции. Приведите достоинства и недостатки каждого из этих способов. Аналитический способ задания функции. Что значит задать функцию явно, неявно, параметрически? Приведите примеры и укажите преимущества аналитического способа задания функции.

8.Что называют нулем функции? Какие функции называются четными, нечетными, периодическими? Приведите примеры. Какие функции называются возрастающими, убывающими? Что называют интервалом монотонности функции? Какой график функции называется выпуклым (вогнутым)? Приведите примеры. Какая функция называется ограниченной? Что называют наибольшим (наименьшим) значением функции?

9.Какая функция называется обратной, сложной? Привести примеры. Какая функция называется элементарной? Перечислить основные элементарные функции и их свойства.

10.Дать определение предела переменной величины, предела последо-

вательности, -окрестности точки. Что такое предел функции y f x при x x0 ? Привести геометрическую иллюстрацию. Что такое предел функции

261

y f x при x , x . Привести геометрическую иллюстрацию. Что называется пределом функции z f x; y при x x0 и y y0 ?

11. Дать определение односторонних пределов. Сформулировать тео-

вести геометрические иллюстрации.

13.Сформулировать свойства бесконечно малой функции и доказать некоторые из них. Какова простейшая связь между функцией, имеющей предел, и бесконечно малой величиной? Доказать соответствующую теорему.

14.Сформулировать основные теоремы о пределах и следствия из них. Доказать теорему о пределе произведения конечного числа функций.

ния двух многочленов.

16.Сформулировать и доказать признак существования предела (о пределе промежуточной функции). Сформулировать и разъяснить признак существования предела монотонной последовательности (теорема Вейерштрасса).

17.Сформулировать и доказать первый замечательный предел.

18.Сформулировать и доказать второй замечательный предел.

19.Дать определение эквивалентных бесконечно малых функций. Записать таблицу эквивалентностей. Привести примеры.

20.Что называют приращением функции y f x , частным прираще-

нием функции z f x; y ? Показать геометрически.

21.Дать определение непрерывности функции в точке и на интервале. Что называется точкой разрыва функции? Дать определение точек разрыва первого и второго рода, точек устранимого разрыва. Привести примеры. свойства функции, непрерывной на замкнутом интервале.

22.Сформулировать теоремы об арифметических действиях над непрерывными функциями и теорему о непрерывности сложной функции, составленной из непрерывных функций.

23.Сформулировать и решить задачи, приводящие к понятию производной. Как определяется скорость движения, линейная плотность, сила тока, скорость химической реакции? Что называют скоростью изменения функции?

24.Дать определение производной функции одной переменной и указать её геометрический смысл. Дать определение частных производных функции двух независимых переменных по одной из них. Распространить на

262

функции многих независимых переменных. Какой геометрический смысл частных производных функции z f x; y в системе декартовых координат.

25. Записать уравнение касательной и нормали к графику функции y f x . Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхно-

сти.

26.Какой физический, механический смысл производной функции одной переменной?

27.Сформулировать правила дифференцирования результатов арифметических действий над функциями. Привести примеры. В чем заключаются правила дифференцирования сложной и обратной функций?

28.Вывести формулы для производных степенной, логарифмической и одной из тригонометрических функций. Вывести формулы для производных показательной и одной из обратнотригонометрических функций.

29.Как дифференцируют неявно заданные функции одной и двух переменных? Привести примеры. Указать способ дифференцирования параметрически заданных функций. В чем состоит прием логарифмического дифференцирования? В каких случаях он применяется? Привести примеры.

30.Что называется полным дифференциалом функции одной и нескольких переменных? Как выражается дифференциал функции через её производную? Каков геометрический смысл дифференциала функции одной

идвух переменных? Перечислить основные свойства дифференциала функции. В чем состоит свойство инвариантности вида дифференциала функции?

31.Какая функция называется дифференцируемой? В чем состоит необходимое и достаточное условия дифференцируемости функции одной и нескольких переменных?

32.Как применить дифференциал в приближенных вычислениях?

33.Что называется производной n –го порядка данной функции? Привести пример. Что называется частной производной n –го порядка функции двух независимых переменных?

35.Как находятся производные высших порядков от функций, заданных явно, неявно, параметрически?

36.Зависят ли частные производные высших порядков отпорядка дифференцирования. Сформулировать теорему.

37.Что называется дифференциалом n –го порядка функции одной и нескольких переменных? Указать формулы для их отыскания.

38.Сформулировать и доказать теорему Ролля. В чем состоит её геометрический смысл?

39.Сформулировать и доказать теорему Коши.

40.Сформулировать теорему Лагранжа, объяснить её геометрический смысл и привести аналитическое доказательство.

41.Сформулировать и доказать теорему Лопиталя.

43.Сформулировать и доказать теорему о разложении функции по формуле Тейлора с остаточным членом, записанным в форме Лагранжа.

44.Что называется асимптотой данной линии? Вывести их аналитические признаки. Какие бывают асимптоты.

45.Как зависит монотонность функции одной переменной на интервале от знака производной функции на нем. Сформулировать и доказать теорему о

связи между ростом функции y f x на интервале и знаком ее производной на нем.

46.Какие точки называются точками минимума и максимума функции одной переменной? Что такое экстремумы функции одной переменной? Сформулировать и доказать необходимый признак существования экстремума. Привести примеры того, что он не является достаточным.

47.Сформулировать первый и второй достаточные признаки существования экстремума. Доказать первый признак.

48.Каковы основные этапы исследования функции на монотонность и экстремумы?

49.Сформулировать и доказать теорему о связи между характером изо-

гнутости графика функции y f x на интервале и знаком ее производно на нем.

50.Какие точки называются точками перегиба. Какие значения принимает вторая производная функции в точке перегиба? Всегда ли верно обратное утверждение? Приведите пример. Сформулируйте и докажите теорему об условии существования точки перегиба графика функции.

51.Каковы основные этапы исследования функции на выпуклость, вогнутость ее графика и на наличие точек перегиба?

52.Укажите основные этапы исследования функции.

53.Дать определение точки экстремума (максимума и минимума) функции двух переменных. В чем состоит необходимый признак экстремума функции независимых переменных? Доказать этот признак. Сформулировать достаточные условия экстремума для функции двух переменных.

54.Описать способ отыскания наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в заданной замкнутой области.

55.Дать определение точки условного экстремума функции z f x; y

на линии L . Изложить метод множителей Лагранжа для отыскания точек условного экстремума.

3.1.1.Алгебраическая форма комплексного числа, основные

3.1.4.Действия над комплексными числами (сложение и

3.3.3.Интегрирование выражений, содержащих квадратный

265

Лекция 3.7. линейный интеграл, способы вычисления. формула ньютона–лейбница. интегрирование по частям и замена переменных. несобственные интегралы первого и второго рода. признаки

3.7.1. Производная от линейного интеграла по переменному

3.7.5.1.Линейные интегралы с бесконечными пределами

3.7.5.2 Линейные интегралы от разрывных функций (несобственные

ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ, ТРАПЕЦИЙ, СИМПСОНА. ФОРМУЛЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ

......................................................................................................................... 341

ЛЕКЦИЯ 3.9. ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО, ДВОЙНОГО И ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛОВ ПУТЕМ СВЕДЕНИЯ К ЛИНЕЙНОМУ

......................................................................................................................... 350

3.9.4. Вычисление двойного интеграла путем сведения к линейному

...................................................................................................................... 359

3.9.5.Сведение тройного интеграла к трехкратному

266

ЛЕКЦИЯ 3.11. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ГЕОМЕТРИИ: ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ДУГ, ПЛОЩАДЕЙ,

3.11.6. Общая схема применение линейного интеграла к физическим

3.11.10.Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг

267

РАЗДЕЛ 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ЛЕКЦИЯ 3.1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМЫ ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

3.1.1. Алгебраическая форма комплексного числа, основные определения

Как известно, к действительным числам относятся: Рациональные (целые 1, 2, 3, … и дробные qp );

Иррациональные числа, например 2 , 3 и т.д.

Геометрически действительные числа изображаются точками на число-

единица, при этом i2 1.

α – действительная часть комплексного числа z. Ее обозначают: α =

ReZ;

β – количество мнимых единиц, или мнимая часть комплексного числа:

β = ImZ

Два комплексных числа считаются равными, если равны в отдельности их действительные и мнимые части, т.е.

z1 1 i 1; z2 2 i 2

z1 z2 , если 1 2 и 1 2

Комплексное число будет равным нулю тогда и только тогда, когда α = 0 и β = 0.

Комплексные числа z i и z i ,отличающиеся только зна-

ком мнимой части, называют сопряженными.

Запись комплексного числа в виде z i при-

нято считать его алгебраической формой. Комплексные числа геометрически также изобра-

жаются точками, только не на оси Ox , а на плоскости. Отложим на оси Ox отрезок, равный действитель-

ной части комплексного числа – α. На оси Oy - отрезок,

равный числу мнимых единиц β. Точка на плоскости xOy с координатами (α,β) является геометрическим изо-

268

бражением комплексного числа z i (Рис.3.1.1).

При этом ось Ox называют действительной осью, так как точки, лежащие на ней, соответствуют действительным числам. Последние можно рассматривать как часть комплексных, у которых β = 0.

Точки, лежащие на оси Oy , соответствуют чисто мнимым числам

z i у которых α = 0. Поэтому ось Oy получила название мнимой оси.

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют комплексной плоскостью. Ее мы будем обозначать так (z). Очевидно, что каждому комплексному числу можно поставить в соответствие и притом единственным образом точку на плоскости (z) и наоборот, каждой точке на плоскости (z) можно поставить в соответствие только одно комплексное число.

Таким образом, между множеством всех комплексных чисел и множеством точек плоскости (z) существует взаимно-однозначное соответствие.

3.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа

z i называют модулем комплексного числа. Он равен:

z 2 2

Модуль комплексного числа является действительным числом.

Угол на который нужно повернуть ось Ox в положительном направле-

нии (против часовой стрелки) до совпадения с радиус-вектором Oz , называ-

ют аргументом комплексного числа, обозначают: arg z

Очевидно, что у одного и того же комплексного числа будет бесчисленное множество аргументов. В самом деле, если к углу φ прибавить целое число оборотов, то положение точки на комплексной плоскости не изменится. Угол φ получил название главного значения аргумента комплексного числа. Его обозначают с маленькой буквы:

arg z arctg

Все значения аргумента комплексного числа обозначают с большой бу-

квы:

Argz 2 k, где k = 0, 1, 2…

Выразим действительную и мнимую часть числа z i через нго модуль и аргумент