Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

Оба интеграла приводятся к табличным путем выделения полного квадрата. Поясним сказанное на примерах.

в числителе выделяют производную квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, и представляют в виде суммы двух интегралов сводимых к табличным.

Производная квадратного трехчлена (х2 + 6х + 10)' = 2х + 6. Выделяя ее, получим:

второй интеграл табличный (см. таблицу №17), в первом интеграле обозначим t = x2 + 6x +10, dt = (2x + 6)dx, тогда он примет вид

Вывод. В настоящей лекции были рассмотрены два основных метода нахождения первообразной – это метод замены переменной интегрирования и интегрирования по частям. Если студенты по виду подынтегрального выражения сумеют определить, какой из двух методов следует применить, то цель настоящей лекции можно считать достигнутой.

291

Лекция 3.4. рациональные функции, их разложение на простейшие дроби. Интегрирование рациональных функций и простейших дробей. интегрирование некоторых иррациональностей

3.4.1. Интегрирование рациональных функций

Интеграл от элементарной функции не всегда сам оказывается элементарной функцией. Важным классом элементарных функций, интегрирование которых снова приводит к элементарным функциям, является класс рацио-

нальных функций, т.е. дробей вида Pm (x) , где Pm (x) и Qn (x) – целые много-

Qn (x)

члены соответственно степени m и n.

В частности при Qn (x) 1 к этому

интегрировании рациональной дроби Pm (x) возможны два случая.

Qn (x)

1. Если m ≥ n (такая дробь называется неправильной) выделяют целую часть, разделив Pm (x) на Qn (x) . В частном получим некоторый много-

член N(x) и в остатке многочлен R(x) степени не выше (n – 1). Следовательно

Pm (x) N (x) R(x) .

Qn (x) Qn (x)

Интегрирование многочлена N(x) не доставит особых трудностей, весь вопрос сводится к умению интегрирования рациональной функции, когда m < n (такую дробь называют правильной) – это второй случай.

QPmn ((xx))dx стоит правильная, несократимая

дробь.

В высшей алгебре доказывается, что такую дробь можно представить в виде суммы простейших дробей разных видов в зависимости от того, какие корни имеет многочлен знаменателя Qn (x) . Рассмотрим суть этого доказа-

тельства. Запишем многочленQn (x) в развернутом виде

Qn (x) b0 xn b1xn 1 ... bn (3.4.1)

где b0 ,b1,...bn действительные (или комплексные) коэффициенты. При деленииQn (x) на двучлен (х – α), где α – любое число, в остатке

получают многочлен нулевой степени, т.е. число R(x) = R. В результатеQn (x)

можно представить так:

Qn (x) (x )Qn 1(x) R (3.4.2)

Французским математиком Э.Безу доказана теорема: число R, получающееся в остатке, при делении многочлена на двучлен (х – α) равно значению этого многочлена при х = α, т.е. R Qn ( ) . Если α – корень многочлена,

292

то при х = α он обращается в ноль. Следовательно остаток также будет равен нулю R Qn ( ) 0 и равенство (3.4.2) примет вид:

Qn (x) (x )Qn 1(x), (3.4.3)

где Qn 1(х) – многочлен, степень которого на единицу меньше.

«Основная теорема» высшей алгебры, доказанная немецким математиком Гауссом утверждает, что любой многочлен степени n > 0 имеет хотя бы один корень, действительный или комплексный.

Пусть z1 – корень многочлена Qn (x) . На основании тождества (3.4.3.)

Qn (x) (x z1)Qn 1(x) (3.4.4.)

Если многочлен Qn 1(x) степени выше нулевой, к нему снова применима «Основная теорема». Пусть z2 – корень многочлена Qn 1(x) , тогда

Qn (x) (x z1)(x z2 )Qn 2 (x).

Повторяя этот процесс n раз, мы придем к разложению многочлена Qn (x) на линейные множители:

Qn (x) (x z1)(x z2 ) ... (x zn ), (3.4.5)

(b0 можно принять равным единицы, разделив на него все члены мно-

гочлена (3.4.1)).

Среди корней z1,z2,…,zn может оказаться часть действительных, а часть

комплексных. В случае действительных и различных корней α1,α2,…,αn многочлен Qn (x) разлагается на n – линейных множителей с действительными

коэффициентами вида:

Qn (x) (x 1)(x 2 ) ... (x n ),

некоторые действительные корни могут быть равными. Если их «k», то все такие сомножители можно объединить в одну скобку и записать как

(x )k . Корень х = α называют корнем кратности «k».

Если в разложении (3.4.5) есть комплексный корень z i, то сопряженное ему комплексное число z i также будет корнем многочлена Qn (x) . Поэтому в разложении многочлена на линейные множители ком-

плексные корни входят попарно сопряженными.

Произведение таких двух сомножителей дает квадратный трехчлен с действительными коэффициентами.

(x i) (x i) x2 x xi x 2 i xi i 2i2

титься множители только двух типов (x )k и (x2 px q)t , т.е.

293

Qn (x) (x )k ... (x2 px q)t ... (3.4.6)

Доказано, что если удалось знаменатель рациональной функции

Qn (x) представить в виде (3.4.6), то в разложении дроби Pm (x) на простей-

Qn (x)

шие дроби каждому множителю (x )k соответствует сумма k дробей вида

Где А1,…, Аk; В1,…, Вt; С1,…, Сt неизвестные коэффициенты, которые нужно найти.

Интеграл от всякой рациональной функции сводится к интегралам от простейших рациональных дробей первого и второго вида, которые легко на-

теля m = 5 больше степени старшего члена знаменателя n = 3. Выделяя целую часть, получим

Первый интеграл легко вычисляется.

Освободимся от знаменателей

A(x2 1)2 Bx2 (x2 1) Cx(x2 1) Dx2 Ex x2 x 1

Раскроем скобки и соберем слагаемые с одинаковыми показателями степеней

(А D)x4 Ex3 (2A B D)x2 (C E)x A x2 x 1.

Многочлены равны, поэтому должны быть равны числовые коэффици-