Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

269

z cos( 2 k)

z sin( 2 k)

Подставляя значения α и β в алгебраическую форму комплексного числа, получим:

z i z cos( 2 k) i z sin( 2 k) z z cos( 2 k) i sin( 2 k)

Последняя формула является тригонометрической формой комплексного числа

3.1.3. Показательная форма записи комплексного числа

В математическом анализе в дальнейшем доказываются формулы, которые впервые были получены Эйлером. Доказательство этих формул основано на теории рядов, поэтому мы приводим их без доказательств.

По формулам Эйлера показательную функцию с мнимой единицей в показателе степени можно выразить через тригонометрические функции действительного аргумента следующим образом:

Запишем комплексное число в тригонометрической форме: z z cos( 2 k) isin( 2 k)

Выражение в скобках, согласно формуле Эйлера (3.1.1) представляет собой показательную функцию с мнимой единицей в показателе степени т.е.

z z ei( 2 k )

Последнюю запись называют показательной формой комплексного числа.

Итак, комплексное число можно представить в трех формах:

–алгебраической z i

–тригонометрической z z cos( 2 k) isin( 2 k)

–показательной z z ei( 2 k )

Пример 1. Представить в алгебраической форме комплексное число

i

z z e4 .

Решение. Комплексное число дано в показательной форме, его модуль z 1,

270

аргумент 4 . Найдем действительную и мнимую части:

Таким образом e4i 22 i 22 .

Пример 2. Перейти от алгебраической к показательной форме комплексного числа z = – i.

Решение. Для данного числа α =0; β = –1, найдем его модуль и аргумент:

z 2 2 02 ( 1)2 1

3.1.4. Действия над комплексными числами (сложение и вычита-

ние)

Операцию сложения и вычитания комплексных чисел можно рассматривать как операцию сложения и вычитания векторов

(Рис.3.1.3)

z1 1 i 1

z2 2 i 2

z1 z2 1 2 i( 1 2 )

z1 z2 1 2 i( 1 2 )

При сложении и вычитании комплексных чисел, их действительные и мнимые части складываются или вычитаются, при этом

z1 z2 (3 5) i(5 ( 3)) 2 8i

Сложение и вычитание комплексных чисел удобнее проводить, когда они записаны в алгебраической форме.

271

3.1.5. Умножение комплексных чисел

Рассмотрим умножение комплексных чисел в алгебраической форме. Даны два числа:

z1 1 i 1

z2 2 i 2

Нужно найти произведение z1 z2 ( 1 i 1)( 2 i 2 ) .

Перемножим двухчлены по правилам алгебры:

z1 z2 1 2 i 1 2 i 1 2 i2 1 2

если учесть, что i2 ( 1)2 1, то получим:

z1 z2 1 2 1 2 i( 1 2 1 2 )

Таким образом, умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по обычным алгебраическим правилам.

Следует отметить, что произведению сопряженных комплексных чисел является действительным числом, в самом деле

( i )( i ) 2 i2 2 2 2

Пусть комплексные числа даны в показательной форме

Складывая показатели степени у показательных функций с одинаковым основанием, получим:

По формулам Эйлера (3.1.1) результат перемножения двух комплексных чисел можно записать в тригонометрической форме:

z1 z2 z1 z2 cos( 1 2 ) isin( 1 2 )

Итак, при умножении комплексных чисел в показательной и тригонометрической формах модули перемножаются, а аргументы складываются.

3.1.6. Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел, так же как и умножение, удобнее вводить, когда они записаны в показательной или тригонометрической форме.

Найдем частное от деления двух комплексных чисел:

Таким образом, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Деление комплексных чисел можно проводить и в алгебраической форме. Найдем частное от деления:

Чтобы избавится от мнимой единицы в знаменателе, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателю:

z2 2 i 2 ,

а затем по обычным правилам алгебры перемножить двухчлены

Полученный результат также является комплексным числом в алгебраической форме.

Пример 4. Вычислить W 1 i

1 i

Решение. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателю 1 – i:

Такой же результат получается при переходе к показательной форме

e32 i cos270o isin 270o i

3.1.7. Возведение в степень

При возведении в целую положительную степень комплексного числа в показательной или тригонометрической форме его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на данную степень.

zn z n ei(n 2 k )

273

Запишем результат возведения в целую степень в тригонометрической форме

zn z n cos(n 2 k) isin(n 2 k)

3.1.8. Извлечение корня

Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа можно рассматривать как операцию возведения комплексного числа в дробную степень 1n

1

т.е. n z z n .

Если комплексное число в показательной форме, то

Придавая k – значения от 0 до n – 1 получим n – различных комплексных чисел, у которых модули одинаковые, а аргументы разные:

…………..

Последнее значение аргумента числа n z совпадает с первым при k = 0. Итак, корень n-ой степени из комплексного числа имеем n – различных

значений.

Пример 6. Найти все значения корня 4 1 .

Действительное число –1 можно рассматривать как комплексное, у которого действительная часть: α = –1, а мнимая β = 0, т.е.:

z 1 1 i 0

Запишем это число в тригонометрической форме. Для этого найдем его модуль и аргумент.

Так как tgφ = 0 при φ = 0 и φ = π, построим число «–1» на комплексной плоскости (Рис. 3.1.4), его аргумент равен

При k = 3

Все четыре значения корня 4 1 имеют одинаковы модули и отличаются друг от друга только значением аргумента (Рис.3.1.5).

276

Лекция 3.2. первобразная и неопределенный интеграл. геометрический смысл, свойства. таблица простейших интегралов. интегрирование подведением под знак дифференциала

3.2.1.Определение, геометрическая иллюстрация

Основной задачей дифференциального исчисления является задача нахождения дифференциала или производной данной функции, т.е. задача нахождения скорости изменения значений какой-нибудь функции, при изменении аргумента. На практике часто бывает важно решить обратную задачу: зная скорость изменения значений функции (по отношению к аргументу), найти эту функцию.

Так в механике по заданной скорости определяют закон движения материальной точки, а также закон изменения скорости (со временем) по заданному ее ускорению. Эти задачи приводят к проблеме отыскания функции по ее производной f(x). Неизвестная функция, обозначим ее F(x), получила название первообразной по отношению к своей производной.

Определение. Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на числовом промежутке Х, если в любой его точке х она дифференцируема и имеет производную F'(x), равную f(x), т.е.

F'(x) = f(x).

Числовым промежутком мы будем называть множество точек числовой оси заключенных между двумя точками, и определяемых неравенствами:

α < x < b, α ≤ x ≤ b, α ≤ x < b, α < x ≤ b, – ∞ < x < ∞.

f(x)= cosx на интервале (–∞; ∞), ибо в каждой его точке х справедливо равенство:

(sinx)' = cosx.

Если F(x) является первообразной для функции f(x) на числовом промежутке Х, то и функция F(x) + С, где С – любая постоянная, также является первообразной для f(x) на Х. Действительно:

(F(x) + C)' = F'(x) + (C)' = F'(x) = f(x).

Следовательно, данная функция имеет бесконечное множество первообразных. Связь между различными первообразными для одной и той же функции f(x) выражена следующей основной теоремой.

277

Теорема 1. Две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке Х, отличаются друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое.

Пример 3. Функция f(x) = sinx · cosx имеет первообразные:

Покажем, что разность между ними равна числу. Преобразуем функ-

цию F3(x):

F3 (x) 14 cos2x 14 (cos2 x sin2 x) 14 (1 2sin2 x) 14 12 sin2 x,

Таким образом, если F(x) – есть одна из первообразных для функции f(x) на числовом промежутке Х, то выражение F(x) + C, где С – произвольная постоянная, исчерпывает множество всех первообразных для f(x). (Предполагается, что рассматриваемые функции непрерывны на числовом промежутке

Х).

Определение. Отыскание первообразных называют неопределенным интегрированием, а выражение, охватывающее множество всех первообразных от данной функции f(x) – неопределенным интегралом от f(x) и обозначают:

f (x)dx

где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Согласно данного определения, неопределенный интеграл записывают

так:

f (x)dx F(x) C , (3.2.1)

где F(x) – одна из первообразных (F'(x) = f(x)), (F(x) + C) – множество всех первообразных.

График каждой из первообразных для функции y=f(x), называют интегральной кривой.

Если Y=F1(x) и Y=F2(x) – первообразные одной и той же функции f(x), то касательные к их графикам в точках с общей абсциссой х параллельны между собой:

tg F1 (x) F2 (x) f (x)

(рисунок 3.2.1).

Расстояние между этими кривыми, считая вдоль оси Oу, остается постоянным:

278

F2 (x) F1(x) C,

т.е. кривые в некотором смысле «параллельны» друг другу. Поэтому, неопределенный интеграл геометрически представляется множеством всех интегральных кривых, полученных при параллельном движении одной из них по направлению оси Oу.

3.2.2. Простейшие правила интегрирования

Простейшие правила нахождения первообразных основаны на следующих свойствах неопределенного интеграла.

Свойство 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

f (x)dx F(x) C F (x) f (x)

Свойство 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению. В самом деле:

d f (x)dx d F(x) C F(x) C dx f (x)dx

Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен самой функции плюс постоянная.

d f (x) f (x)dx f (x) C

Из второго и третьего свойств следует, что символы дифференциала и неопределенного интеграла уничтожают друг друга, будучи примененными последовательно (если отвлечься от постоянного слагаемого в последней формуле).

Свойство 4. Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций:

(u ... )dx udx dx K dx, (3.2.2)

где u, υ,…,ω – функции независимой переменной х.

Свойство 5. Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за знак интеграла, т.е.:

С f (x)dx C f (x)dx, (3.2.3)

где С – константа.

Пример 4. Вычислить интеграл (5cos x 3x2 )dx.

Применяя свойства интеграла, получим:

(5cos x 3x2 )dx 5 cos xdx 3 x2dx 5sin x x3 C.

Хотя каждое промежуточное интегрирование дает произвольное постоянное слагаемое, но их сумма снова будет произвольной постоянной.