Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

249

2)Проверить принадлежат ли критические точки отрезку a;b .

3)Найти значения функции в критических точках, принадлежащих интервалу a;b и на концах отрезка a;b .

4)Среди найденных значений выбрать наибольшее (наименьшее) зна-

чение.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии и других дисциплин.

Пример. Сечение горной выработки, закрепленной штанговой крепью, на прямолинейном участке обычно имеет прямоугольную форму (например,

просек или печь). Площадь поперечного сечения выработки S 5,12м2 . Оп-

ределить наименьший периметр крепежной рамы, если её длина не превышает 4м.

Решение: Пусть длина рамы a x м, по условию задачи 0 x 4. Так как рама прямоугольной формы, то S a h , где a – длина, h – высота. Тогда h Sa или h 5,12x . Выразим периметр рамы P , как функцию от x :

P a 2h P x x 10,24x .

Фактически, найти наименьший периметр рамы, означает найти наименьшее значение функции P x на интервале 0;4 .

Следовательно, наименьшее значение функции – P 6,4 достигается в точке x 3,2 .

Ответ: Наименьший периметр крепежной рамы, длина которой не

превышает 4м, а площадь поперечного сечения выработки равна 5,12м2 , равен 6,4м.

251

ЛЕКЦИЯ 2.15. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

2.15.1 Локальные экстремумы функции двух переменных

чением функции (соответственно максимальным или минимальным).

В силу определения, точка экстремума

zфункции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локаль-

Аналогично доказывается, что fy x0; y0 0 .

точке экстремума функции z f x; y касательная плоскость к поверхности,

изводная не существует, называются крити-

ческими точками.

В критических точках функция может иметь экстремум, а может не иметь.

Утверждение, обратное теореме 1 не всегда верно.

Пример. Функция z xy . Для неё точка O 0;0 является критической, так как zx y и zy x обращаются в ноль. Но экстремума в ней функция z xy не имеет, так как в достаточно малой окрестности точки O 0;0 най-

дутся точки, для которых z 0 (I и III четверти) и z 0 (точки II и IV четвертей).

Теорема 2. (Достаточное условие экстремума)

Пусть в стационарной точке M0 x0; y0 и некоторой её окрестности функция f x; y имеет непрерывные частные производные до второго по-

Тогда:

–если 0 , то функция z f x; y в точке M0 x0; y0 не имеет экстремума;

–если 0 , то экстремум может быть, а может и не быть. Т.е. требуются дополнительные исследования.

Теорему 2 примем без доказательства.

Используя теоремы 1,2, рассмотрим алгоритм исследования функции

двух переменных на экстремум.

1) Найти область определения функции.

2) Найти стационарные точки, решая систему уравнений zx 0,

zy 0.

3)Убедиться в том, что полученные точки принадлежат области определения функции, если это не так, то точка не является точкой экстремума.

4)Найти частные производные второго порядка заданной функции.

5)Для каждой стационарной точки найти и сделать вывод

A C B2 0 6 2 36 0 . Таким образом, в точке M1 0;0 функция экстремума не имеет.

255

2)Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах об-

ласти.

3)Сравнить все найденные значения и сделать вывод.

– на участке AB : x y 3 y 3 x

zx2 3 x 2 x 3 x x 3 x

x2 9 6x x2 3x x2 x 3 x 3x2 9x 6, zx 6x 9 0 x 32 y 3 x 3 32 32 ,

иB 0;3 z 6 .

3)Сравнивая значения функции в стационарной точке и в точках, в которых функция достигает наименьшего и наибольшего значений на границах области, сделаем вывод.

Наибольшее значение функции z 6 достигается в точках A 3;0 и

B 0;3 .

Наименьшее значение функции z 1 достигается в стационарной точке M1 1;1 .

Ответ: наибольшее значение z 6 в A 3;0 и B 0;3 , наименьшее значение z 1 в M1 1;1 .

2.15.3 Условные экстремумы

При отыскании экстремумов функций нескольких переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом.

Рассмотрим функцию

при условии, что её аргументы являются независимыми переменными, а связаны между собой k соотношениями k m :

Определение. Функция (2.15.1) имеет в точке M 0 условный минимум (максимум) при условиях связи (2.15.2), если существует такая окрестность точки M0 , что для любой точки M x1 , x2 ,..., xm M M0 этой окрестности,

257

координаты которой удовлетворяют уравнениям (2.15.2), выполняется неравенство f M f M0 f M f M0 .

Другими словами, условный максимум (минимум) – это наибольшее (наименьшее) значение функции в точке M0 по отношению не ко всем точ-

кам из некоторой окрестности точки M0 , а только к тем из них, которые свя-

заны между собой условиями связи.

Рассмотрим более подробно понятие условного экстремума на примере функции двух переменных.

Пусть задана функция z f x; y и линия L на плоскости XOY . Задача состоит в том, чтобы на линии L найти такую точку M x, y , в

которой значение функции z f x; y является наибольшим или наимень-

шим по сравнению со значениями этой функции в точках линии L , находящихся вблизи точки M x, y . В отличии от обычной точки экстремума, зна-

чение функции в точке условного экстремума сравнивается со значениями функции не во всех точках некоторой её окрестности, а только в тех, которые лежат на линии L .

Совершенно ясно, что точка обычного экстремума является и точкой условного экстремума для любой линии, проходящей через эту точку. Обратное утверждение не всегда верно, т.е. точка условного экстремума может

2.15.5.видно, что ни о каком обычном экстремуме здесь не может быть речи.

Взаключительной части задачи об отыскании наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области (см. п. 2.15.2) нам приходится находить экстремальные значения функции на границе этой области, т. е. на какой-то линии, а следовательно, решать задачу на условный экстремум.

258

На практике для отыскания условных экстремумов удобно использовать метод множителей Лагранжа, алгоритм которого состоит в следующем:

1. Составить функцию Лагранжа L x; y f x; y x; y , где –

неопределенный постоянный множитель.

2. Найти экстремум функции Лагранжа, сведя необходимые условия

вестными x, y, и определив эти неизвестные, тем самым найти стационар-

ные точки.

3. Найти определитель матрицы Гессе

4.Сделать выводы на основании следующих заключений:

–если G 0 , то функция z f x; y имеет условный экстремум при усло-

виях связи (2.15.2), а именно:

при Lxx 0 – условный минимум, при Lxx 0 – условный максимум;

–если G 0 , то условного экстремума нет;

–если G 0 , то требуются дополнительные исследования.

Пример. Найти экстремум функции z 6 4x 3y при условии, что

переменные x и y удовлетворяют уравнению x2 y2 1.

Решение:

1)Составим функцию Лагранжа L x; y 6 4x 3y x2 y2 1 .

2)Найдем Lx и Ly и найдем стационарные точки (точки подозритель-