Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

279

Теорема 2. (Об инвариантности формул интегрирования). Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е. если

f (x)dx F(x) C, то и f (t)dt F(t) C,

где t = φ(x) – любая дифференцируемая функция от х.

Доказательство. Пусть f (x)dx F(x) C, где F'(x) = f(x).

Возьмем теперь сложную функцию F[φ(x)] = F(t), у которой промежуточным аргументом является дифференцируемая функция t = φ(x). В силу теоремы об инвариантности (неизменности) формы первого дифференциала функции имеем:

dF(t) = F'(t)dt = f(t)dt Отсюда f (t)dt dF(t) F(t) C.

Таким образом, переменной интегрирования может быть любая функция от х. Теорема доказана.

В силу этого правила таблица интегралов оказывается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой дифференцируемой функцией от нее.

3.2.3. Таблица интегралов

1. dt t C;

tn 1

2. tndt n 1 C,n 1;

5.еt dt et C;

6.costdt sin t C;

7.sin tdt cost C;

8.cosdt2 t tgt C;

281

Все три интеграла табличные.

Пример 6.

При нахождении первообразных использованы свойства неопределенного интеграла и алгебраические преобразования подынтегральной функции, в результате все интегралы свелись к табличным.

3.2.4. Интегрирование подведение под знак дифференциала

Применение теоремы 2 об инвариантности формул интегрирования к нахождению первообразной называют методом подведения под знак дифференциала. Рассмотрим это на примерах.

Пример 10. Вычислить интеграл I x2 5 x3 2dx .

Выражение, стоящее под знаком радикала выберем в качестве новой переменной интегрирования t = x3 + 2, тогда dt = 3x2dx. В результате интеграл сведется к табличному от степенной функции:

I 13 (x3 2) 15 (3x2dx) 13 t 15 dt 13 56 t65 C 185 (x3 2)65 C.

283

Лекция 3.3. итегрирование заменой переменных. интегрирование по частям. многочлены и их свойства. разложение на линейные квадратные множители

3.3.1. Замена переменной (метод подстановки)

При отыскании некоторых интегралов мы уже пользовались методом подстановки, применяя теорему 2 об инвариантности формул интегрирования. Если подынтегральное выражение удавалось записать в виде

f (x) (x)dx f (t)dt,

где t = φ(x) и интеграл от выражения справа известен, т.е.:

f (t)dt F(t) C,

то исходный интеграл был равен

f (x) (x)dx F (x) C.

Спомощью этого приема можно найти следующие интегралы.

Пример 1. Найти xex2 dx.Так как d(x2)=2xdx, положим t = x2; dt = 2xdx, тогда

sin x arctg sin x C.

Если подынтегральная функция такова, что трудно выделить производную от какого либо промежуточного аргумента или его просто нет, то в этом случае переменную интегрирования лучше заменить некоторой другой

функцией, полагая х = (t); dx = '(t)dt, (предполагается, что (t) и '(t) непрерывны). Тогда

f (x)dx f (t) (t)dt.

Если последний интеграл в результате такой замены свелся к табличному и равен F(t) + C, то заданный интеграл определяют путем возвращения

284

к переменной х, т.е. из уравнения х = (t) надо найти обратную функцию t = φ(х), и заменить t на φ(х).

С помощью подстановок такого рода удается избавится от корня, упростить подынтегральную функцию и свести интеграл к табличному. Однако,

общего рецепта для выбора функции (t) нет. В каждом конкретном случае её подбирают индивидуально по виду подынтегрального выражения. Все дальнейшее изложение темы «Неопределенный интеграл» будет состоять в основном из рассмотрения различных подстановок. Приведем несколько примеров.

(можно было сделать подстановку х = tgt).

Пример 6. Вычислить 11 xx dx. В данном интеграле также нужно из-

Интеграл примет вид:

Приведенные примеры показывают, что успех интегрирования зависит от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменной интегрирования, которая упростила бы данный интеграл.

3.3.2. Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям следует из дифференцирования произведения двух функций. Известно, что

d(u ) u d du, откуда u d d (u ) du.

Выражение (3.3.1) является формулой интегрирования по частям.

Данный метод состоит в том, что подынтегральное выражение f(x)·dx представляется каким-либо образом в виде произведения двух множителей u и dυ. Множитель u, стоящий в левом интеграле, при переходе к правому интегралу заменяется на du, т.е. дифференцируется. Другой сомножитель dυ из левого интеграла заменяется на υ, т.е. интегрируется. Надо так подынтегральное выражение представить в виде произведения двух сомножителей, чтобы обе операции составили в совокупности задачу более простую, чем

непосредственное вычисление интеграла u d . На практике чаще упроще-

ние обусловлено дифференцированием множителя u.

Если в составе подынтегрального выражения имеется множитель, упрощающийся от дифференцирования, то его следует взять за «u», а все остальное (включая dx!) за «dυ».

Когда применяют интегрирование по частям и по dυ находят υ, то произвольной постоянной не вводят, присоединяя ее к произвольной постоянной второго, незавершенного интегрирования в правой части равенства (3.3.1).

тогда dυ =dx. Составим таблицу:

I xex exdx xex ex C.

Иногда интегрирование по частям приходиться применять несколько

раз.

Пример 10. Вычислить I x2 cos xdx. Разобьем подынтегральное выражение на части

В последнем равенстве интеграл I1 x sin xdx – проще исходного (то,

что cosx заменился на sinx не изменяет сути решения, а вместо х2 появился более простой множитель х).

Это дает I1 xcos x cos xdx xcos x sin x C.

287

Заменяя I1 найденным выражением, окончательно получим

I x2 sin x 2xcos x 2sin x C.

Практика показывает, что многократным интегрированием по частям можно найти интегралы следующих двух групп.

где Р(х) – многочлен некоторой степени, который и берется за функцию u. При многократном дифференцировании он «исчезает».

Ко второй группе относятся следующие интегралы:

Здесь нужно избавится от трансцендентных функций arcsinx, arccosx, arctgx и lnx, поэтому они принимаются за «u».

Повторное интегрирование по частям иногда приводит к первоначальному интегралу, и тогда получается или ничего не дающее тождество (был сделан неправильный выбор множителей u и dυ) или такое равенство, из которого удается найти выражение для искомого интеграла.

Пример 13. Вычислить интеграл I cosln x dx. Подынтегральное выражение содержит единственную функцию coslnx, поэтому

гралу еще раз применим интегрирование по частям

Двойное интегрирование по частям привело к исходному интегралу т.е.

I = x(coslnx + sinlnx) – I

Перенесем его в левую часть последнего равенства

2I = x(coslnx + sinlnx),

отсюда исходный интеграл будет равен

e x cosbxdx, e x sin bxdx и некоторые другие, они получили название цик-

лических. Последние два интеграла можно занести в таблицу интегралов. Для них найдены следующие формулы.

Пример 14. Найти e 2x sin3xdx. Здесь α = –2; b = 3, по формуле (3.3.1) получим

e 2x

e 2x sin3xdx 13 ( 2sin3x 3cos3x) C.

В процессе интегрирования очень важно правильно выбрать один из изложенных приемов, который привел бы заданный интеграл к табличному или уже знакомому.

3.3.3. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трех-

член

Рассмотрим интегралы вида: