Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

.pdf
Скачиваний:
151
Добавлен:
17.01.2018
Размер:
5.08 Mб
Скачать

359

Точное значение объема получают в пределе, который дает линейный интеграл от функции S(x) на интервале [α,b]

 

n

b

V lim

S(xi ) xi S(x)dx

max xi

0 i 1

 

Таким образом, объем тела произвольной формы можно найти с помощью линейного интеграла, если известен закон изменения площади его поперечного сечения, т.е. известна функция S(x).

3.9.4. Вычисление двойного интеграла путем сведения к линейному

Требуется вычислить двойной интеграл от функции z = f(x,y) по правильной плоской области D :

f (x, y)ds (3.9.1)

D

Область D называют правильной, если прямые, параллельные координатным осям, пересекают ее границу не более чем в двух точках (Рис. 3.9.2а). Неправильную область можно разбить на части и представить как объединение правильных областей, например D1 и D2 (Рис.3.9.2б).

Плоскую область D правильной формы считают заданной, если из-

вестны уравнения ограничивающих ее линий.

Напомним, что элементарные части (элементарные области), на которые разбивают область D при составлении интегральной суммы, были обозначены в круглых скобках:

( S1),( S2 ),...,( Si ),...,( Sn ),

а их меры (площади) тем же символом без круглых скобок:

S1, S2 ,..., Si ,..., Sn .

Найдем удобное выражение для меры элемента области – ds.

Для этого разобьем D на элементарные части прямыми, параллельными координатным осям (Рис.3.9.2а). Тогда мера элементарной части будет равна площади прямоугольника:

360

ds dxdy

идвойной интеграл (3.9.1) можно записать так:

f (x, y)dxdy (3.9.2)

D

Известно, что двойному интегралу дают геометрическую интерпретацию: он равен объему цилиндрического тела, основанием которого является область D, а сверху это тело ограничено графиком подынтегральной функции z = f(x,y) (Рис. 3.9.3). Следовательно, задачу о вычислении двойного интеграла можно свести к задаче вычисления объема тела с известным поперечным сечением. Найдем объем цилиндрического тела, изображенного на рисунке 3.9.3, по формуле:

b

V S(x)dx (3.9.3)

Для этого, спроектируем крайние точки А и В основания цилиндра (области D) на ось Ох, в результате получим отрезок [α,b], в пределах которого изменяется переменная х. При этом точки А и В делят границу области D на две линии. Пусть уравнения этих линий соответственно равны: y1(x); y2(x), тогда переменная y внутри D будет изменятся от своих значений на линии y1(x) до значений на y2(x).

Рассечем тело плоскостью х = х0, перпендикулярной оси Ох. В сечении получим криволинейную трапецию, ограниченную сверху линией пересечения графика подынтегральной функции z = f(x,y) и плоскости х = х0. Уравнением этой линии является функция одного аргумента

z = f(x0,y)

где х0 = const, y – независимая переменная.

Площадь полученной криволинейной трапеции равна линейному интегралу:

361

y2 (x0 )

S(x0 ) f (x0 , y)dy, (3.9.4)

y1(x0 )

у которого нижний предел y1(x0) – есть точка входа прямой х = х0 в область D, а верхний предел y2(x0) – точка ее выхода. Очевидно, что при изменении х0 внутри отрезка [α,b] будет изменятся площадь соответствующего ему поперечного сечения, вычисляемая по формуле (3.9.4). Иными словами, площадь поперечного сечения цилиндрического тела есть функция от x (индекс 0 можно опустить) вида:

y2 (x)

S(x) f (x, y)dy

y1(x)

и поэтому объем этого тела, можно найти по формуле (3.9.3) т.е.:

b

V

b y2 (x)

S(x)dx

y1(x)

f (x, y)dy dx

Так как найденный объем равен двойному интегралу, то окончательно получим:

 

b

y2 (x)

f (x, y)dxdy dx

f (x, y)dy (3.9.5)

D

 

y1(x)

Из формулы (3.9.5) следует, что вычисление двойного интеграла свелось к последовательному вычислению двух линейных интегралов. Внутренний интеграл берут по переменной y, при этом x – считают постоянной. После нахождения первообразной и подстановки пределов во внутреннем интеграле остается одна переменная x, по которой вычисляют внешний интеграл.

Порядок интегрирования в выражении (3.9.5) можно менять местами. Чтобы внешний интеграл вычислялся не по x, как следует из формулы (3.9.5), а по переменной y, нужно область D спроектировать на ось Оy. Тогда проекции ее крайних точек дадут постоянные пределы во внешнем интеграле для y. Внутренний же интеграл следует вычислять по переменной x, при этом пределы у этой переменной будут зависеть от у.

Таким образом, у внешнего интеграла в обоих случаях пределы постоянны, они равны проекциям крайних точек области на соответствующую координатную ось.

Последовательное вычисление двух линейных интегралов называют двукратным интегрированием.

Следует отметить, что основная трудность при сведении двойного интеграла к двукратному заключается в расстановке пределов во внутреннем интеграле, которые в большинстве случаев переменные. Поэтому сначала строят область D и выбирают координатную ось, на которую проектируют

362

область. Затем находят проекции (α,b) крайних точек области на эту ось и по чертежу определяют переменные пределы для внутреннего интеграла.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл от функции f(x,y) = x – y по области D, ограниченной линиями: y = x2, y = x.

Решение. Спроектируем построенную область на ось (Рис. 3.9.4). Точки пересечения графиков функций y = x2 и y = x – есть крайние точки области.

Найдем их проекции:

x2 = x; x1 = 0; x2 = 1

Таким образом, внутри области D переменная x изменяется от 0 до 1. Пределы изменения второй переменной y будут зависеть от x. Чтобы найти их, проведем прямые параллельные оси Оy, пересекающие область D. Эти прямые для различных значений

x входят в область на линии y = x2 и выходят из области на линии y = x (Рис.3.9.4). Следовательно, переменная y внутри области изменяется от значений на линии y = x2 до значений на линии y = x.

 

1

x

1

 

y2

x

(x y)dxdy dx

(x y)dy dx xy

 

.

2

D

0

x2

0

 

x2

Подставляя вместо y верхний и нижний пределы, получим:

 

1

 

x2

 

 

 

 

x4

 

 

x3

 

x4

 

 

x5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x y)dxdy x2

 

x3

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

2

 

 

2

 

6

 

 

4

10

D

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x y)dxdy

1

 

1

 

 

1

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

4

10

60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как отмечалось выше, чтобы внешний интеграл вычислялся по переменной y, нужно область D спроектировать на ось Oy. Найдем проекции крайних точек области на эту ось:

y y; y1 0; y2 1 (Рис. 3.9.4).

Тогда значения переменной x в области D будут изменятся от ее значений на уравнении прямой x = y до ее значений на уравнении параболы, ре-

шенной относительно x: x

y, следовательно:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

y

 

 

 

 

 

1

x2

 

 

 

y

1

 

y

 

 

 

3

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x y)dxdy dy (x y)dx

dy

 

 

yx

 

 

 

 

 

y

 

2

 

 

y2

dy

 

2

 

2

 

 

2

D

0

y

 

 

 

 

 

0

 

 

 

y

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

y2

 

3

 

 

y

 

 

 

y3

 

2 y5 2

 

 

y2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x y)dxdy

 

y

 

2

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

6

 

 

5

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

363

(x y)dxdy

1

 

2

 

1

 

1

6

5

4

60

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В обоих случаях результат вычислений один и тот же.

Когда область D является прямоугольником со сторонами, параллельными координатным осям (Рис.3.9.5), пределы становятся постоянными не только внешнего, но и внутреннего интегралов. В этом случае формулы приведения двойного интеграла к двукратному интегрированию становятся очень простыми:

b

d

d

b

f (x, y)dxdy dx f (x, y)dy dy f (x, y)dx

D

c

c

т.е. порядок интегрирования можно брать любой.

3.9.5. Сведение тройного интеграла к трехкратному интегрирова-

нию

Нужно найти значение тройного интеграла от функции трех переменных u = f(x,y,z) по пространственной области W с объемом V:

f (x, y, z)dv (3.9.6)

W

где dv – мера элемента области (элементарный объем).

Будем считать, что пространственная область (тело) W ограничена одной замкнутой поверхностью, уравнение которой известно

z = z(x,y)

Как и в случае двойного интеграла найдем удобное выражение для меры элемента тела – dv. Для этого разобьем область W на элементарные части плоскостями, параллельными координатным

плоскостям (Рис. 3.9.6).

Тогда за dv можно принять объем параллелепипеда dv = dxdydz и тройной интеграл примет вид:

f (x, y, z)dxdydz (3.9.7)

W

364

Вычисление тройного интеграла (3.9.6), подобно двойному, сводят к последовательному вычислению трех линейных интегралов по переменным x, y, z или к трехкратному интегрированию. Найдем пределы изменения переменных x, y, z в заданной пространственной области W (мы уже говорили, что область W считают заданной, если известно уравнение ограничивающей ее поверхности).

Спроектируем тело W на координатную плоскость xOy, в результате получим плоскую область D (Рис.3.9.7). При этом точки касания, проектирующего цилиндра и тела W образуют линию, которая делит поверхность z(x,y), ограничивающую тело W, на две части. Обозначим уравнения этих частей: z1(x,y) и z2(x,y) –соответственно.

Очевидно, что переменная z в пределах пространственной области W изменяется от своих значений на поверхности z1(x,y) до значений на поверхности z2(x,y). Если проводить прямые, параллельные оси Oz, то они будут входить в данную область на поверхности z1(x,y) и выходить из нее на поверхности z2(x,y).

Далее, спроектируем крайние точки А и В плоской области D на ось , получим отрезок [α,b], в пределах которого изменяется переменная x внутри W. И наконец, заметим, что точки А и В делят на две линию, ограничивающую область D. Пусть уравнения этих линий: y1(x) и y2(x).

Следовательно, переменная y в пространственной области W изменяется от своих значений на линии y1(x) до значений на линии y2(x).

Таким образом, тройной интеграл будет равен трехкратному линейному интегралу вида:

 

b y2 (x)

f (x, y, z)dxdydz dx

 

W

 

y1(x)

z2 (x,y)

dy f (x, y, z)dz (3.9.8)

z1(x,y)

365

В формуле (3.9.8) внутренний интеграл берут по переменной z, при этом x и y считают постоянными. После его вычисления и подстановки пределов остаются две переменные x и y. Следующий интеграл вычисляют по переменной y – при условии, что х = const. После его вычисления остается одна переменная x, по которой берут последний внешний интеграл. Пределы внешнего интеграла постоянны. Рассмотрим несколько примеров связанных с вычислением тройных интегралов.

Пример 2. Вычислить тройной интеграл

dxdydz

 

, где область

(x y z 1)

2

W

 

 

 

 

 

W ограничена координатными плоскостями: х = 0; y = 0; z = 0, и плоскостью x + y + z = 1.

Решение. Область W представляет собой тетраэдр, ограниченный сверху плоскость x + y + z = 1, которая пересекается с осями координат в точках х = 1; y = 1; z = 1 (Рис.3.9.8). Чтобы найти пределы изменения переменной z в области W, проведем пересекающие тетраэдр прямые, параллельные оси Oz. Эти прямые будут входить в тетраэдр на координатной плоскости z = 0, а выходить из него на плоскости x + y + z = 1.

Следовательно, значения переменной z внутри области W будут изменяться от 0 до z = 1 – x – y. Таким образом, верхний предел для z непостоянен и зависит от (x,y), т.е. от координат точки на плоскости xОy, через которую проходит пересекающая тетраэдр прямая (Рис 3.9.8). Проекцией области W на плоскость xOy является треугольник, ограниченный осями координат Ox, Oy и прямой x + y = 1 (Рис.3.9.8). Если его спроектировать на ось Ox, то переменная x внутри треугольника будет изменятся от 0 до 1, а переменная y – от 0 до ее значений на прямой x + y = 1; y = 1 – x. В результате тройной интеграл сводится к трехкратному линейному вида:

 

dxdydz

1

1 x

1 x y

dz

 

 

 

dx

dy

 

(x y z 1)

2

(x y z 1)

2

W

0

0

0

 

 

 

 

Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной z, считая x и y постоянными

 

dxdydz

1

1 x

 

1

1 x y

 

 

dx

dy

 

 

(x y z 1)

2

(x y z 1)

W

0

0

 

 

0

366

11 x

dx

00

 

1

 

 

1

 

1

1 x

dy

 

dy

 

dy

 

 

 

dx

 

 

x y 1 x y 1

 

 

 

 

 

x y 1

0

0

x y 1

2

 

Аналогично найдем средний интеграл по y, считая постоянной x:

 

dxdydz

1

 

 

 

y 1 x

 

 

 

dx ln(x

y

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x y z 1)

2

 

2

W

0

 

 

 

 

 

0

 

1

 

 

 

1 x

 

 

1

 

 

x 1

 

 

dx ln(x 1

x 1)

 

 

ln(x 1)

 

 

ln 2

 

 

 

ln(x 1)

dx

2

2

 

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

После вычисления среднего интеграла и подстановки пределов оста-

лась одна переменная x. Последний внешний интеграл возьмем по этой переменной, при этом интеграл от логарифма найдем по частям:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dxdydz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

ln(x 1)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x y z

1)

2

4

2

 

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u ln(x 1);

d dx

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

1 xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

dx

 

 

x

 

 

ln 2

4

 

 

2 xln(x 1)

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ln 2

 

1

x 1

 

 

 

 

1

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 2

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

0

 

x 1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляя последние два интеграла, окончательно получим:

 

 

 

 

 

dxdydz

 

 

1

x ln(x 1) 10 1

1 ln 2

3

ln 2

 

 

 

(x y z 1)

2

4

 

 

W

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

В данном примере верхние пределы у внутреннего и среднего интегралов были переменными. Поэтому изменение порядка интегрирования привело бы к изменению пределов по каждой переменной.

Если область интегрирования W представляет собой параллелепипед с гранями, параллельными координатным плоскостям, то пределы интегрирования будут постоянными во всех трех интегралах. В этом случае интегрирование можно проводить в любом порядке, при этом пределы сохраняются.

367

ЛЕКЦИЯ 3.10. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛАХ. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ И СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

В силу того, что вычисление двойных и тройных интегралов сводят к двукратному и трехкратному интегрированию, эти интегралы получили название кратных.

Замена переменных в кратных интегралах, так же как в линейном интеграле, часто существенно упрощает их вычисление.

3.10.1. Общий случай замены переменных в двойном интеграле

Рассмотрим двойной интеграл f (x, y)dxdy, где dxdy = ds мера элемен-

D

та плоской области D в декартовой системе координат, f(x,y) – интегрируемая функция, заданная на точках области D.

Пусть с помощью функций:

x x(u, ) (3.10.1) y y(u, )

осуществляют переход от старых координат x, y к новым u, υ.

Эти функции должны быть непрерывными вместе со своими частными производными и однозначно решаться относительно u и υ. При этих условиях каждой точке М на плоскости xOy соответствует единственная точка М* в криволинейной системе координат u и υ, и область D будет однозначно отображаться в область D* (Рис. 3.10.1).

При переходе от декартовых к криволинейным координатам элемент площади dxdy преобразуется в элемент площади dudυ при этом они связаны соотношением:

368

dxdy J dud (3.10.2)

где J – функциональный определитель Якоби, или Якобиан, он равен:

 

 

 

x

 

x

 

x y

 

x y

J

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

y

 

u

 

u

 

 

 

 

 

u

Таким образом, замену переменных интегрирования в двойном интеграле осуществляют по формуле:

f (x, y)dxdy f x(u, ), y(u, ) J dud (3.10.3)

D D*

Из выражения (3.10.3) следует, что для того чтобы в двойном интеграле перейти к новым переменным интегрирования, нужно: переменные x и y заменить функциями (3.10.1), вместо элемента площади ds = dxdy подставить выражение J dudυ и область D заменить ее отображением D*. Затем, вычис-

ление двойного интеграла (3.10.3) сводят к последовательному вычислению двух линейных интегралов по новым переменным u и υ.

3.10.2. Двойной интеграл в полярных координатах

Перейдем в двойном интеграле от декартовых к полярным координатам по формуле (3.9.3), при этом за u примем полярный радиус r, а за υ – угол φ:

f (x, y)dxdy f x(r, ), y(r, ) J drd

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

D*

 

Функции x(r,φ) и y(r, φ) известны, они равны:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x r cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y r sin

Найдем определитель Якоби:

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

cos r sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

r

 

 

 

 

 

 

r cos2 r sin2 r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

y

 

 

 

 

 

 

 

sin r cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

dxdy

 

J

 

drd rdrd

(3.10.4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и двойной интеграл в полярной системе координат примет вид:

f (x, y)dxdy f r cos ,r sin rdrd (3.10.5)

D D*