Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

420

dydx = −x2 .

Это решение – частное, ибо в каждой точке его выполныется единственность решения задачи Коши.

4.2.2. Уравнение, не содержащее независимой переменной

Рассмотрим уравнение

правая часть которого не содержит независимой переменной x. Предположим, что функция f(y) определена и непрерывна в интервале (c,d).

Обратимся к перевернутому уравнению

Это уравнение не содержит искомой функции x и, следовательно, к нему применимо все сказанное в предыдущем пункте.

Можно и непосредственно получить результат без обращения к перевернутому уравнению (4.2.4′). Нужно только следить за тем, чтобы в процессе интегрирования не терять решений.

Разделим обе части уравнения (4.2.4) на функцию f(y):

В скобках мы указываем для памяти то уравнение, которое следует рассмотреть после интегрирования уравнения (4.2.5), ибо , деля о бе части уравнения (4.2.4) на f(y), мы могли потерять те решения этого уравнения, которые обращают делитель f(y) в нуль.

Интегрируя уравнение (4.2.5), получим общий интеграл

Рассмотрим теперь уравнение f(y) = 0. Если оно имеет вещественное решение (одно или несколько) вида y = η, то прямая y = η всегда будет решением уравнения (4.2.4). Остается только проверить, каким будет это решение, частным или особым.

Пример. Пусть дано уравнение

dydx = 21y .

Правая часть этого уравнения определена и непрерывна при всех значениях y, кроме y=0,и не обращается в нуль. Приy =0 она обращается в бесконечность. Поэтому через каждую точку плоскости (x,y) проходит

421

единственная интегральная кривая, но в точках оси Ox касательные к интегральным кривым параллельны оси Oy. Действительно, интегрируя

уравнение, имеем:

2ydy=dx, y2=x+C.

Найденный общий интеграл представляет собою семейство парабол, для которых осью симметрии является ось Ox. Касательные в вершинах параллельны оси Ox.

4.2.3 Уравнение с разделяющимися переменными

Определение 1. Уравнение

X(x)dx+Y(y)dy=0 (4.2.7)

в котором коэффициент при dx зависит только от x, а коэффициент при dy – только от y называется уравнением с разделенными переменными.

Будем предполагать, что функции X(x) и Y(y) непрерывны при всех рассматриваемых значениях x и y. Тогда уравнение (4.2.7) можно переписать так

Это есть общий интеграл уравнения (4.2.7). Особых решений нет. Определение 2. Уравнение вида

m(x) n(y)dx + m1(x) n1(y)dy = 0, (4.2.10)

в котором коэффициенты при dx и dy представляют собою произведения функции от x на функцию от y называется уравнением с разделяющимися переменными.

Относительно функций m(x), n(y), m1(x) и n1(y) будем предполагать, что они непрерывны при всех рассматриваемых значениях x и y.

Умножая обе части уравнения (4.2.10) на

получим уравнение с разделенными переменными:

Его общим интегралом, а следовательно, и общим интегралом уравнения (4.2.10) будет

422

Разделяя переменные, мы делили обе части уравнения (4.2.10) на n(y) m1(x). При этом мы могли потерять решения, определяемые уравнениями n(y) = 0 и m1(x) = 0, отмеченными в формуле (4.2.11) в скобках. В самом деле, если b есть (вещественный) корень уравнения n(y) = 0, то, полагая в (4.2.10) y

убеждаемся, что x = a, где a – корень уравнения m1(x) = 0 тоже является решением уравнения (4.2.10). Если эти решения не получаются из ( 4.2.12) при частных числовых значениях C, то они представляют собой особые решения уравнения (4.2.10).

Пример. Проинтегрировать уравнение

x1 − y2 dx + y1 − x2 dy = 0.

Разделяя переменные имеем:

Отсюда следует, что

1 − y2С+ С1 − x2 = ( > 0)

есть общий интеграл. Все решения

y =1 ( −1 < x <1), y = −1 ( −1 < x <1), x =1 ( −1 < y <1),

x = −1 ( −1 < y <1),

примыкающие соответственно к точкам (−1,1), (1,1); (−1,−1), (1,−1);

(1,−1), (1,1); (−1,−1), (−1,1) являются особыми, так как они не получаются из формулы общего интеграла ни при каких числовых значениях произвольной постоянной и на каждом из них нарушается единственность решения задачи Коши.

В заключение отметим, что рассмотренные выше уравнения вида y′ = f(x), y′ = f(y), X(x)dx + Y(y)dy = 0 можно считать частными случаями уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение с разделяющимися переменными является одним из основных типов уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной и допускающих интегрирование в квадратурах.

Многие дифференциальные уравнения приводятся к уравнению с разделяющимися переменными при помощи соответствующей замены искомой функции и независимой переменной. Далее мы рассматриваем два наиболее важных типа таких уравнений.

в котором M (x, y) и N (x, y) однородные функции,одно и и той же степени m, причем m может быть любым вещественным числом, называется

однородным.

Определение 4. Функция f(x, y) называется однородной функцией

Чтобы проинтегрировать однородное уравнение (4.2.14), сделаем

424

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим:

ψ(z) = −∫ N(1, z)dz .

M (1, z) + N(1, z)z

Заменяя в (4.2.28) z на xy , получим общий интеграл уравнения (4.2.14) в виде:

решения однородного уравнения. Эти решения могут содержаться в формуле общего интеграла, но могут быть и особыми. Особыми решениями могут быть также полуоси оси Оу: x = 0 (y≠0). Других особых решений быть не может.

Пример. Рассмотрим уравнение

dydx = xy .

Заметим, прежде всего, что интегральными кривыми могут быть только кривые, расположенные в первом и третьем квадрантах, и полуоси осей координат, ибо x и y не могут иметь противоположных знаков.

Положим y=zx. Получим:

Интегрируя, найдем:

2 ln z −1 + ln x = ln C1

Введя здесь вместо y новую неизвестную функцию z по формуле z=ax+by, мы придем к уравнению, не содержащему независимой

427

ЛЕКЦИЯ 4.3. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПОСТОЯННОЙ (МЕТОД ЛАГРАНЖА). УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

4.3.1. Линейное уравнение

Определение 1. Уравнение вида

называется линейным. Оно содержит искомую функцию y и ее производную y′ только в первой степени. Если записать его в виде, разрешенном относительно производной, то получим уравнение

правая часть которого есть линейная функция от y с коэффициентами, зависящими от x (которые, в частности, могут быть и постоянными).

Относительно функций p(x) и q(x) будем предполагать, что они

непрерывны в интервале (a, b) (a≥−∞, b≤ +∞).

Определение 2. Если в уравнении (4.3.1) функция q(x) тождественно равна нулю во всем интервале (a, b), то это уравнение принимает вид

и называется однородным. Его левая часть есть однородная линейная функция от y и y′. Уравнение (4.3.1), в котором q(x) ≠ 0 , называется

неоднородным.

Уравнение вида

в котором коэффициент при y′ не равен единице, также называется линейным. Если p0(x), p1(x) и q(x) непрерывны в интервале (a, b), причем p0(x) не обращается (в этом интервале)в нуль, то уравнение (4.3.4), делением обеих частей его на p0(x), приводится к уравнению вида (4.3.1), в котором коэффициент при искомой функции и правая часть непрерывны в интервале

(a, b).

Из теоремы Пикара о достаточном условии существования и единственности решения задачи Коши, сформулированной ранее, следует, что при сделанных предположениях относительно p(x) и q(x) уравнение (4.3.1) имеет единственное решение

428

где в качестве x0 можно брать любое число из интервала (a, b), а y0 можно выбирать произвольно, т. е. через любую точку M0(x0,y0) полосы

a< x <b, −∞<y< +∞ (4.3.7)

проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (4.3.1). В самом деле, если записать уравнение (4.3.1) в виде:

dx

то ясно, что можно построить такой прямоугольник

R: x − x0 ≤ a1, y − y0 ≤ b1

с центром в точке (x0,y0), целиком содержащийся внутри полосы (4.3.7), что внутри него правая часть уравнения (4.3.8) будет удовлетворять обоим условиям теоремы Пикара, ибо в этом прямоугольнике f(x,y)

ограничена. А тогда уравнение (4.3.8) или, что то же, уравнение (4.3.1) имеет одно и только одно решение с начальными данными x0, y0. Это решение непрерывно дифференцируемо. Всякое решение линейного уравнения (4.3.1) есть частное решение, так как во всей области задания этого уравнения, т. е. во всей полосе (4.3.7), имеет место существование и единственность решения задачи Коши. Линейное уравнение (4.3.1) при сделанных предположениях не имеет особых решений.

Прежде чем перейти к интегрированию линейного уравнения, отметим два общих свойства этого уравнения.

1. Линейное уравнение сохраняет свой вид (т. е. остается линейным) при любой замене независимой переменной

x=ϕ(t), (4.3.9)

где ϕ(t) – любая функция от t, определенная и непрерывно дифференцируемая в интервале (t0, t1), причем a=ϕ(t0), b=ϕ(t1). ϕ′(t) ≠ 0 во всем интервале (t0,t1). В самом деле, мы имеем:

dt

Поэтому, подставляя x = ϕ(t) в (4.3.1), получим линейное уравнение

причем его коэффициент при y и правая часть непрерывны в интервале

(t0,t1).2. Линейное уравнение сохраняет свой вид при любой линейной замене искомой функции

y = α(x) z + β(x),