Добавил:

dansnpa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт фундаментальной биологии и биотехнологии СФУ

Предмет:

Математические методы в биологии

Файл:

Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

.pdf

Скачиваний:

151

Добавлен:

17.01.2018

Размер:

5.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 5354 / 7054 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 > Следующая >>>

722

ЛЕКЦИЯ 5.7. ПРИЛОЖЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ, РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

5.7.1. Вычисление приближенных значений функций

Возможность разложения функций в степенные ряды, сравнительная простота выражений для коэффициентов ряда Тэйлора делают степенные ряды незаменимым средством приближенных вычислений.

Пример. Вычислить приближенные значения:

1. 3 150 с точностью до 0,001.

Решение. Представим 150=125+25=125								1	,	3 150			53 1	1
Решение. Представим 150=125+25=125						1		5	,	3 150			53 1	5
								5						5
Применим биноминальный ряд, полагаем							x 1				,m		1 .
		1							5				3
	1	1		1	1			5
	1	3		1	1			5
5 1			5 1									...
5 1	5		5 1	15	9 25		81 125					...
	5			15	9 25		81 125

5 1 0,0667 0,0044 ... 5 1,0623 5,3115

Взнакочередующемся ряде взято три первых члена, погрешность вы-

числения равнаR

0,001. Следовательно

3 150 5,3115 , с

81 125

2025

точностью до 0,001.

2. e с точностью 0,01.

Решение. Так как

ex 1

х2

...

хn

х2

...

хn

xn 1,

0 c x ,

n 1

x (–∞, ∞).

Остаточный член Rn записан в форме Лагранжа. Если x = 1

R 1

0,01. Это неравенство справедливо для n ≥ 5.

1 !

n 1 !

Если n 4, то

0,025 0,01,

4 1

5 !

если n 5 , то

0,01. Поэтому для достижения требуемой

5 1

6 !

240

точности достаточно взять n 5 . Итак, с точностью до 0,01 имеем

							723
e 1 1		1		1	1	1	2 0,500 0,167 0,042 0,008 2,717 ,
e 1 1		2 !	3 !		4 !	5 !	2 0,500 0,167 0,042 0,008 2,717 ,
		2 !	3 !		4 !	5 !
или e	2,72		0,01 .

5.7.2. Приближенное вычисление интегралов

Определенные интегралы, не выражающиеся в элементарных функциях, могут быть вычислены с помощью рядов.

Примеры. Вычислить следующие интегралы:

1. 3 e x2 dx с точностью 0,001.

	0
	Решение. Разложим подынтегральную функцию e x2 в степенной ряд
e x2	1	x2		x4		x6	..., этот ряд сходится на всей числовой оси, следова-

	1!		2!		3!

тельно, его можно почленно интегрировать на любом отрезке и, в частности,

на		1	:
на	0,	3	:
		3
	1							1																							1
	3			2				3				x2					x4				x6							x3	x5	x7	1
	e x				dx 1																		... dx				x				03 ...
	e x				dx 1						1!						2!			3!			... dx				x	3 1!	5 2!		03 ...
	0							0			1!						2!			3!								3 1!	5 2!	7 3!
		1					1				1									1					...
		3			3			3		5				5				7				7			...
		3						3						5								7
								3			2! 3									3! 3
	Искомый интеграл равен сумме знакочередующегося ряда. Так как
	1					1		0,001,									1							1		0,001, , то с точностью до 0,001.
3		3			81			0,001,					5						5			2430				0,001, , то с точностью до 0,001.
		3			81														5			2430
	1 ! 3														2 ! 3
		1
		3 e x2 dx							1				1			0,3333 0,0123 0,321.
		3 e x2 dx							3					3		0,3333 0,0123 0,321.
		0							3		3 3
		0

2 1 cos x

2. 2 dx с точностью 0,0001.

0 x

Решение. Заменим в подынтегральном выражении cos x его разложением в степенной ряд, получим

724

			1											1							x2				x4					x6								1
			2	1 cos x										2		1 1																	...					2	1				x2					x		4
			2	1 cos x										2		1 1					2!				4!				6!				...					2	1				x2					x		4
								2				dx																							dx																... dx
							x	2				dx												x	2										dx				2!				4!				6!				... dx
			0				x							0										x														0	2!				4!				6!
													x3			x5								1
						1		x					x3			x5								1				1					1								1
																				...				2																						...
						2!					4! 3					6! 5				...				2			2!		2																	...
						2!					4! 3					6! 5								0			2!		2							2	3						2	5
																																	4! 3			2			6! 5				2
			0,25 0,0017 0,2483.
					0,1 ln 1 x
			3.											dx с точностью 0,001.
			3.							x				dx с точностью 0,001.
						0				x
			Решение. Заменим в подынтегральном выражении ln 1 x его разло-
жением в степенной ряд, получим
0,1		ln 1		x									0,1 x			1		x	2		1	x		3		1		x	4		...					0,1				1					1							1
0,1													0,1 x			2		x			3	x				4		x			...					0,1													2					3


								dx																										dx				1				x					x						x		... dx
			x					dx														x												dx				1		2		x			3		x					4	x		... dx
			x																			x																		2					3							4
0													0																							0
	x 1 x2							1 x3							1		x4			...			0,1		0,1 1 0,01 1 0,001 0,098.
															1

				4					9					16																		4						9
																							0
																							0

5.7.3. Интегрирование дифференциальных уравнений

Решение дифференциального уравнения во многих случаях может быть получено в виде степенного ряда.

Пусть требуется найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка

y f x, y, y

(5.7.1)

удовлетворяющее начальным условиям y x x0 y0 , y x x0 y0 (решить зада-

чу Коши).

Допустим, что решение y y x данного уравнения можно предста-

вить в виде степенного ряда (ряда Тейлора):
y x y x0 y x0		x x0	y x0	x x0 2	y x0	x x0 3	...	(5.7.2)

	1 !		2 !			3 !
Для определения коэффициентов ряда поступим следующим образом.
Значения y x0 y0	, y x0 y0 нам известны по условию. Для нахождения
y (x0 ) подставим в правую часть уравнения (5.7.1) вместо y							и y	их значе-
ния при x x0 :		y x0 y0 f x0 , y0 , y0						(5.7.3)

725

Для определения y x0

дифференцируем обе части равенства (5.7.1)

при x x0 :

по x и подставляем значения y, y , y

y y

(5.7.4)

y y .

Находим y'''(x0).

Дифференцируя равенство (5.7.4) еще раз и подставляя значения x0 , y0 , y0 , y0 , y0 , найдем значение yIV x0 и т.д. Полученные значения про-

изводных подставляем в ряд Тейлора (5.7.2.), который дает искомое решение. Примеры. Найти четыре первых отличных от нуля члена разложения в

степенной ряд решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию.

1. y xy 2 0 при начальном условии y x 0 1 Решение. Ищем решение данного уравнения в виде ряда

y x y 0

...

1 !

3 !

2 !

y 2 xy,

y 0 2;

0 1;

y xy

0 4;

xy ,

..............................

..............

Решением данного дифференциального уравнения является функция,

представленная рядом y x 1 2x

2 x3 .

y xy2 0

при y

x 0

Найти четыре первых (отличных от нуля) члена разложения. Решение. Из уравнения и начальных условий находим y 0 0 12 0 .

Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем

0 1;

2xyy ,

2yy

2 yy

2xy

0 4

2xyy

Имеем

y x y

2 !

3 !

4 !

1 !

3 !

726

ЛЕКЦИЯ 5.8. ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ НА [–l ; l] И НА [–π ; π]. ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ. РЯД ФУРЬЕ НА ОТРЕЗКЕ [0 ; l]

5.8.1. Периодические функции

Многие процессы, происходящие в природе и технике, обладают свойством повторяться через определенные промежутки времени.

Такие процессы называют периодическими. Примерами периодических процессов могут служить движения шатуна и поршня в двигателях, явления, связанные с распространением электромагнитных колебаний и многие другие.

Изучение периодических процессов математически описывается периодическими функциями, которые представляют как сумму конечного или

бесконечного числа простых периодических функций: y Asin x 0 , где A, , 0 – постоянные. Эти функции называются гармониками, т.к. они

описывают простейшее колебательное движение, называемое гармоническим. Постоянная A 0 называется амплитудой колебания, – частотой колебания, x 0 – фазой колебания, 0 – начальной фазой.

Используя формулы сложения тригонометрических функций, простую гармонику можно представить в виде Asin x 0 acos x bsin x , где

a Asin 0 ,b Acos 0.

Напомним определение и свойства периодических функций. Функция
y f x называется периодической с периодом T , если равенство
f x T f x	(5.8.1)

выполняется при любых значениях независимого переменного x . Число T в этом случае называют периодом функции. Наименьшее из положительных чисел T называется основным периодом, или просто периодом функции. Если число T является периодом функции, то ее периодом будет также и число nT , где n – любое целое число, как положительное, так и отрицательное.

Таким образом, если выполняется равенство (5.8.1), то имеет место и равенство

f x nT f x

Постоянная величина есть периодическая функция, а ее периодом является любое число.

1. Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода T являются периодическими функциями периода T .

727

2. Если функция f x

имеет период T , то функция

y f ax a 0

имеет период

. Например,

y sin5x

имеет период T

а периодом

функции y sin nx будет T

3. Интеграл от периодической функции по периоду не зависит от по-

ложения интервала интегрирования, т.е.

если f x f x T ,

то интеграл

a T

b T

f x dx f x dx .

x с перио-

4. Определенный интеграл от периодической функции f

дом T , взятый в пределах, отличающихся на T , не зависит от выбора нижне-

c T

го предела интегрирования, т.е.

f x dx f x dx .

5.8.2. Ортогональные системы функций

Введём следующие определения.

Определение 1. Функция

f x называется кусочно-непрерывной на

отрезке а,b , если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, быть

может, конечного числа точек, где она имеет разрывы первого ряда.

Если функция f x кусочно-непрерывная на а,b , то в любой точке x0 a,b существуют односторонние пределы f x0 0 и она интегрируема вместе со своим квадратом, т.е. существуют определённые интегралы Рима-

b	b
на f x dx и	f 2	x dx . Функция	f x называется функцией с интегрируе-
a	a

мым квадратом.

На множестве кусочно-непрерывных функций определены линейные операции, удовлетворяющие аксиомам линейного пространства. Это множество образует линейное пространство. Введем на нем операцию скалярного произведения функции φ(x) и ψ(x).

Определение 2. Скалярным произведением функций x и x на

отрезке а,b называется число , x x dx .

Скалярное произведение функций обладает следующими свойствами:

1. , , ;

728

2.1 2 , 1, 2 , ;

3., , , R ;

4. , 0, , 0, только при

Множество всех кусочно-непрерывных на а,b функций со скалярным

произведением, определенным по формуле , x x dx , обозна-

чим L2 а,b .

Определение 3.

Неотрицательное число

2 x dx называется

нормой функции x

в L2 а,b . Учитывая, что 2 x dx , ,

норму

функции можно записать в виде

, .

Функция x называется

нормированной, если ее норма равна едини-

це.

L2 а,b

и x L2 а,b

Определение 4. Две функции x

назы-

ваются ортогональными на отрезке а,b , если их скалярное произведение

на а,b равно нулю, т. е. , x x dx 0 .

Определение 5. Система функций n x 1 x , 2 x ,..., n x ,... (конечная или бесконечная) называется ортогональной на отрезке а,b , если все функции этой системы попарно ортогональны на отрезке а,b , т.е.

m , n 0, m n;m,n N .

Определение 6. Ортогональная система функций n x на отрезке

а,b называется ортонормированной, если

x 2 n , n 2n x dx 1, n N .

Любую ортогональную на а,b	a	n x
Любую ортогональную на а,b	систему функций	n x	( n	0) ,

n N можно нормировать. Для этого достаточно разделить каждую функцию системы n x на её норму. В результате получим ортонормирован-

ную систему функций

729

n x		(5.8.1)
	n x

Пример. Доказать ортогональность бесконечной системы функций1,cos x,cos2x,...cos nx на отрезке , и пронормировать её.

Решение. Для любых n k,n,k N, скалярное произведение функций данной системы должно быть равно нулю.

n , k	cos nx cos kxdx	1	cos n k x cos n k x dx 0 следова-
		2

тельно, данная система функций ортогональна. Её норма для n N имеет вид

	n	2	cos2 nxdx				1			1 cos2nx dx ,				n	0 ,	1	2 .
	n	2	cos2 nxdx				1			1 cos2nx dx ,				n	0 ,	1	2 .
							2

		Получим ортонормированную на отрезке , систему функций
n x				1		cos x			cos2x			cos nx
	n x				,			,			,...,		,... .
				2	,			,			,...,		,... .
				2

Важнейшим примером ортогональной системы функций в промежутке

, является тригонометрическая система

1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,...,cos nx,sin nx,....

(5.8.2)

Её ортогональность следует из равенств для k n,k,n N .

sin kxdx 1 cos kx

cos k cos k 0,

1 sin kx

cos kxdx

0,k 0,

cos nx cos kxdx 1

cos n k x cos n k x dx 0

sin nx sin kxdx

cos n

k x cos n k x dx 0

sin nx cos kxdx

sin n

k x sin n k x dx 0

Норма любой функции системы отлична от нуля. Для любого n N

sin2 nxdx 1

1 cos2nx dx ;

730

cos2 nxdx 1

cos 2nx dx , следовательно

n N .

1 2 dx x

2 ,

2 .

Если разделить каждый член ортогональной на отрезке а,b системы

на норму, получим ортонормированную на , систему функций:

, cos x

, sin x ,

cos 2x , …,

cos nx

, sin nx

,…

Аналогично доказывается ортогональность основной тригонометриче-

ской системы

2 x

n x

,sin

,cos

,sin

...,cos

,sin

(5.8.3)

1,cos

,..

на отрезке l,l , причем норма первого члена равна

2l , а любого другого

l .

Примером ортогональной нетригонометрической системы функций яв-

ляется

система

многочленов

Лежандра,

определяемая:

(x)

d n (x2 1)n

, n = 1,2,3,… на отрезке [–1,1]. Запишем несколько

2n n!

dxn

(x) 1 (3x2 1) ,

членов

этой

системы:

P (x) 1,

P (x) x ,

(x) 1

(x) 1 (35x4

(5x3 3x), P

30x2

3) и т.д.

5.8.3. Ряды Фурье по ортогональным системам функций

Пусть n x – ортогональная система функций в L2 а,b . Выражение

c0 0 x c1 1 x c2 2 x ... cn n x ... cn n x называется обоб-

n 0

щенным рядом Фурье по ортогональной системе функций n x .

Если n x – основная тригонометрическая система функций (5.8.3),

то ряд cn n x называется тригонометрическим рядом Фурье.

n 0

Пусть на отрезке а,b дана ортогональная система n x . Выясним условия разложения f x L2 а,b по этой системе n x , т.е.

731
f x c0 0 x c1 1 x c2 2 x ... cn n x ...	(5.8.4)

Для определения коэффициентов cn разложения умножим обе части разложения (5.8.4) на n x и проинтегрируем его почленно на а,b :

b	b	b
f x n x dx c0	0	x n x dx c1 1	x n x dx ...
a	a	a

cn 2n x dx ...

В силу ортогональности системы функций n x все интегралы справа, кроме одного, 2n (x)dx будут равны нулю. Следовательно,

x dx,n 0,1. f , n cn

2 ,

f x n x dx cn

f , n ,n 0,1,...

(5.8.5)

f ,

f x cn n

n x

(5.8.6)

n 0

Коэффициенты cn называются коэффициентами Фурье функции f x относительно ортогональной системы n x . Обобщённый ряд Фурье, построенный для данной функции f x , связан с нею лишь формально и в общем случае связь между функцией f x и её обобщённым рядом Фурье обо-


значают так: f x cn n x . Сходимость этого ряда к функции	f x
n 0
подлежит исследованию.

5.8.4. Приближение функций в среднем. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье

Пусть функция f x задана на отрезке а,b , пробуем оценить погрешность при замене этой функции другой функцией x . При приближении (аппроксимации) функции f x функцией x за меру погрешности берут среднее квадратичное отклонение , которое определяется равенством

<<< < Предыдущая 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 5354 / 7054 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 > Следующая >>>