Добавил:

dansnpa Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Институт фундаментальной биологии и биотехнологии СФУ

Предмет:

Математические методы в биологии

Файл:

Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

.pdf

Скачиваний:

151

Добавлен:

17.01.2018

Размер:

5.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5253 / 7053 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 > Следующая >>>

712

ЛЕКЦИЯ 5.6. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА. РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В РЯД ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА

5.6.1. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена

В теории бесконечных рядов центральное место занимает раздел, посвященный разложению функций в ряд. Замена функции степенным рядом оказывается очень удобной при вычислении интегралов, решении дифференциальных уравнений, приближенных вычислениях значений функций и т.д.

Рассмотрим следующую задачу. Известно, что в окрестности точки x0 некоторый степенной ряд по степеням x x0 сходится к бесконечно дифференцируемой функции f x , т.е.

f x a	a	x x	a	x x	2	... a	n	x x	n ...	x 0 x	(5.6.1)
0	1	0	2	0			n	0		0

Как определяются коэффициенты an в ряде (5.6.1)? После последовательного почленного дифференцирования степенного ряда (5.6.1), что допустимо согласно теореме о дифференцируемости степенного рядя и следствия из нее, имеем

f x a1 2a2 x x0 ... nan x x0 n 1 ...,

f x 0 2a2 3 2a3 x x0 ... n n 1 an x x0 n 2 ..., f n x n!an ... n 1 n...2an 1 x x0 ...

При x x0 получаем:

a0 f x0 , a1 f x0 ,

a2 f x0 , 2!

……………,

an f nn!x0 ,

…………….

Подставляя найденные значения в ряд (5.6.1) получим,

f x f x0 f

x0 x x0

f x0

x x0

2 ...

(5.6.2)

f n x

x x0

...

x x0

n 0

Он называется рядом Тейлора функции f

в точке x0 . Если x0 0 ,

то ряд Тейлора имеет вид

713

f x f 0 f 0 x

...

xn ...

(5.6.3)

n 0

и называется рядом Маклорена

Радиус сходимости R степенного ряда (5.6.2) может быть как равным нулю, так и отличным от него, причем сумма S x ряда Тейлора может не

совпадать с f x . Необходимо определить, когда в формуле (5.6.2) допустим

знак равенства, т.е. когда ряд Тейлора сходится к функции f x , для которой

он составлен.

Если S x f x на x0 R, x0 R , то говорят, что функция f x разложена в ряд Тейлора в окрестностях точки x0 .

Легко видеть, что частичные суммы ряда (5.6.2)

Sn x f x0 f x0 x x0	f x0	x x0 2	...	f n x0	x x0 n
	2!			n!

представляют собой многочлены Pn x . Если ряд сходится к функции						f x ,

справедливо равенство f x Pn x Rn x Sn x Rn x . является формулой Тейлора.

Теорема 1. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в окрестности точки x0 функция f x разлагалась в ряд Тейлора в окрестности этой

точки, необходимо и достаточно, чтобы

nlim Rn x 0 x x0 R, x0 R

Пусть ряд Тейлора сходится к функции f(x) в некоторой окрестности точки x0,

	т.е f(x) =		lim Sn (x) , т.к. Sn(x) = Pn(x), то
			n	R (x) lim ( f (x) P (x)) lim ( f (x) S							(x))
			lim	R (x) lim ( f (x) P (x)) lim ( f (x) S						n	(x))
			n	n	n	n	n			n	.
			f (x) lim Sn (x) f (x) f (x) 0								.
			f (x) lim Sn (x) f (x) f (x) 0
				n
	Обратно, пусть lim R (x) 0 . Тогда
				n	n	(x)) f (x) lim R
lim S	n	(x) = lim P (x) = lim ( f (x) R				(x)) f (x) lim R			(x) f (x) 0 f (x) .
n	n	n	n	n	n		n	n

Напомним, что остаток Rn x формулы Тейлора может быть представлен в одном из следующих видов:

R	(x)	f (n 1) (c)	(x x	)n 1, c (x	, x)	форма Лагранжа;

n		(n 1) !	0	0

Находим производные функции f x :

714

R x

f (n 1) ( x)

(1 )n xn 1, (0,1) , форма Коши.

На практике часто используется следующий достаточный признак раз-

ложимости функции в ряд Тейлора.

Теорема 2. Если для любых х x0 R, x0 R , модули всех производ-

ных функции f

f (n) (x)

M ,

ограничены одной и той же константой М

то ряд Тейлора (5.6.2) сходится к функции f(x) в интервале

x x0

R .

Доказательство.

Согласно

теореме 1. достаточно показать, что

lim R x 0 . По условию теоремы 2. для любого n имеет место неравенство

n n

f (n) (x)

M и формула остаточного члена в форме Лагранжа

R x

f n 1 c

x x

n 1

Rn 1

, x x R, x R .

n 1

n 1 !

n 1

Числовой ряд

сходится по признаку Даламбера. Тогда на

n 1

n 0

Rn 1

основании необходимого признака сходимости ряда lim

0 , а сле-

n 1

довательно, lim R x 0 , x x

R, x R .

Теорема 3. Если степенной ряд по степеням x x0 сходится к функции

f x в окрестности точки x0 ,

то он является рядом Тейлора функции f x в

окрестности этой точки.

Итак, разложим функцию f x в ряд Тейлора в окрестности точки x0 .

f x , f x , f x ,..., f n x ,...

Вычисляем частные значения функции и ее производных в точке x x0 : f x0 , f x0 , f x0 ,..., f n x0 ,...

Составляем ряд Тейлора для функции f x .

Находим интервал сходимости составленного ряда Тейлора, т.е. устанавливаем, для каких значений x остаточный член ряда Rn x будет стре-

миться к нулю при n .

Пример. Разложить в ряд Тейлора функции:

y 1x при x0 3 .

Решение. Вычисляем значение функции и ее производных при х0 3 .

715

f x x 1 ,

f 3

1 ;

f x 1 x 2 ,

f 3

;

f x 1 2 x 3 ,

f 3

;

f x 1 2 3x 4 ,

f 3

;

………………….,……………….;

f n x 1 n n!x n 1,

f n 3

;

n 1

………………….,………………….

Подставляем эти значения в ряд Тейлора

f n (х0 )

f x f x

f x0

x x

f x0

x x 2 ...

x x n ...

получаем

1 x 3

2! x 3 2

3! x 3 3

n! x 3 n

...

33 2!

34 3!

3n 1 n!

x 3

...

Исследуем сходимость полученного ряда по признаку Коши:

lim n

x 3 n

x 3

3 , 3 x 3 3, ряд сходится в 6 x 0 .

Границы этого интервала исследуем особо. Подставляя в ряд x 6 ,

затем x 0 , получим числовые ряды 1 1 1 1 ... и 1 1 1 1 ..., которые расходятся, т.к. у них не выполняется необходимое условие сходимости ряда

lim un 0 . Следовательно, интервал сходимости полученного ряда Тейлора

для данной функции есть ( 6,0) .

Если значение x0 = –3 подставить в полученный ряд, то получим

13 13 . В области сходимости функция будет равна сумме ряда.

5.6.2.Разложение показательной функции в ряд Маклорена

716

Разложим в ряд Маклорена функцию f(x) = ex . Производные всех порядков этой функции равны ex , а их значения в точке x = 0 равны единице

f 0 f 0 f 0 ... f n 0 ... 1
Ряд Маклорена будет иметь вид 1 x	x2		x3	...	xn	R	x

2!		3!			n!	n

Покажем, что этот формально составленный ряд сходится к ex на всей числовой оси. Рассмотрим интервал N, N , где N – любое фиксированное

число. Для всех x N, N ex eN . Следовательно, все производные в этом

интервале ограничены одним и тем же числом M eN . На основании теоремы, x N, N и т.к. N – произвольное число, то функция ex разлагается в ряд Маклорена при всех значениях x, т.е. на всей числовой оси.

Итак, ex 1 x x2 x3 ... xn ... ,

2! 3! n!

Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию f x ex2 . Решение. Для этого в разложении функции f x ex заменим x на x2 .

ex2 1 x2	x4		x6	...	x2n	... ,
					n!
2!		3!

Это разложение справедливо на всей числовой оси.

5.6.3. Разложение гиперболических функций в ряд Маклорена

Требуется разложить в ряд Маклорена функции chx, shx .

chx

ex e x

, shx

e x

Ряд Маклорена для ex имеет вид

ex 1 x

...

...,

заменяя x на x , получаем

e x 1 x

... 1 n

...

По правилу сложения и вычитания сходящихся рядов получим разло-

жения:

ex e x

x2n

chx

x R

...

2n !

shx

ex e x

x2n 1

x R

...

2n 1 !

717

5.6.4. Разложение тригонометрических функций в ряд Маклорена

Разложить в ряд Маклорена функцию f x sin x . Для этого найдем ее

производные в точке x 0 :
f (x) sin x			f (0) sin 0 0
f			f
f	(x) cos x		f	(0) 1
f			f		0
f	(x) sin x		f	(0)	0
f			f		1
f	(x) cos x		f	(0)	1
f IV (x) sin x			f IV (0) 0
	…	n			…	n
f		n	f	(n) (0) sin		n
f	(n) (x) sin x		f	(n) (0) sin		2
		2				2

Любая производная функции sin x по абсолютной величине не превосходит единицы, т.е. ограничена одним и тем же числом. Следовательно, ряд

Маклорена для sin x сходится к f x sin x на всей числовой оси

sin x x	x3		x5	... 1 n 1	x2n 1		..., интервал сходимости
					2n 1	!
3!		5!
, .

Полученный ряд продифференцируем в области его сходимости:

cos x 1		x2		x4	... 1 n	x2n		...,
						2n	!
	2!		4!

он имеет тот же интервал сходимости, что и ряд для sin x , т.е. , .

(Нечетная функция sin x разлагается в ряд только по нечетным степеням x , а четная функция cos x – по четным).

Пример. Разложить следующие функции в ряд Маклорена: y sin2 x

Решение.

Представим

sin2 x 1 cos 2x

cos 2x

. В

разложении

функции cos x заменим x на 2x :

22n

cos2x 1

... ( 1)

...

(2n)!

sin

2 x 1 1

... ( 1)n

22n

x2n ...

(2n)!

... ( 1)

n 1 22n 1

... .

(2n)!

718

Полученный ряд, как и ряд для sin x сходится при всех значениях x .

5.6.5. Разложение бинома в ряд Маклорена

	Биномом называется функция вида					f x 1 x m , где m – любое
действительное число, отличное от нуля f 0						1.
	Найдем значение производных в точке x 0 :
	f x m 1 x m 1					f ' 0 m
	f x m m 1 1 x m 2					f 0 m m 1
	f x m m 1 m 2 1 x m 3					f 0 m m 1 m 2
	……………………………….				……………….
	f (n) x m m 1 m 2 ... m n 1 1 x m n ,
	f n 0 m m 1 m 2 ... m n 1
	Подставляя в ряд Маклорена найденные значения производных, полу-
чим биноминальный ряд
1	x m 1 m x	m m 1	x2	m m 1 m 2			x3
		2!
	1!				3!

... m m 1 m 2 ... m n 1 xn ...

Найдем интервал сходимости этого ряда. Применяя признак Даламбера, получим

m m 1 m 2 ... m n 1 m n

n 1

lim

иn 1

lim

n 1 !

m m 1 m 2 ... m n 1 xn

иn

m n

lim

n 1

1, т.е. в интервале 1 x 1.

Ряд сходится при

Rn x для

Можно показать, что в данном случае остаточный член

при n стремится

к нулю. Согласно теореме

1 в

интервале

719

1 x 1 имеет место разложение

х)

m(m 1)

m(m 1)(m 2)

...

m(m 1)(m 2)...(m n 1)

...

При

1 ряд расходится.

Пример. Разложить функцию f x

в ряд Маклорена.

x 1 2

Решение. Подставляя в биноминальный ряд m 2 , получим

1 x 2 1 2x 3x2

4x3 ... 1 n 1 nxn 1

...

Умножая почленно этот ряд на x, получим искомый ряд для данной

функции:

x 2x2 .3х3 4х4 ... 1 n 1 nxn ...,

который сходится к дан-

x 1 2

ной функции в интервале (–1, 1).

Рассмотрим следующее тождество: ln 1 x

. Разложим подын-

тегральную

функцию

степенной

ряд,

получим

1 t

t t2

t3 ... ( 1)n

tn ..., который сходится при всех значениях

1 t

1 t 1. Так как в интервале сходимости степенной ряд можно почленно

интегрировать, то для всех															x		1 имеем
интегрировать, то для всех															x		1 имеем
									x				dt								x								n
	ln(1 x)																			1 t t2						t3 ... 1				tn ... dt
	ln(1 x)											1 t								1 t t2						t3 ... 1				tn ... dt
									0											0
	t	x				t2		x						t3		x					t4		x			( 1)n tn 1		x


		0				2								3							4		...			n 1		...
		0						0								0							0					0

																								( 1)n xn 1
	x				x2					x3								x4				...		( 1)n xn 1			...
	x			2							3								4			...			n	1	...	1 х 1,
				2							3								4						n	1
Таким						образом,																			если						то
ln(1 x) x	x2		x3					x4													( 1)n xn 1
													...									n			....
	2			3			4						...											1	....
	2			3			4																	1

Можно показать, что это равенство справедливо и для x = 1, т.е. ряд сходится на (–1, 1].

720

Если

заменить в

полученном

ряде

на

x ,

то

ln(1 x) x

...

... область его

сходимости

1 x 1.

По-

членное

вычитание

последнего

ряда

из

предыдущего

дает

ln 1 x 2

2n 1

...

с областью сходимости 1 x 1.

1 x

2n 1

5.6.6. Разложение обратных тригонометрических функций в ряд Маклорена

Разложим в ряд Маклорена следующие функции:

1. y arctgx .

одном

из

примереров

лекции

5.5

было

получено

2n 1

arctgx 1

, интервалом сходимости является

1,1 . На концах

2n 1

n 0

интервала сходимости ряд сходится. Разложение справедливо на 1,1 .

y arcsin x

Рассмотрим тождество arcsin x

. Запишем подынтегральную

1 t2

функцию

2 , разложим ее в биноминальный ряд,

полагая в

1 t2

нем x t2 ,

m 1

1 t2 12

1 3 ... 2n 1

1 t2

1 3

1 3 5

t6 ...

t2n

...

2 4

2 4 6

2 4 ...2n

и интегрируя

его

пределах

от

до

x, получим

искомый ряд

1 3

1 3 5 x

1 3 ...

2n 1

arcsin x x

...

2 4

2 4 6

2 4 ...2n

2n 1

Область сходимости x 1.

При разложении функции в степенной ряд можно использовать следующие приемы:

1)готовые разложения элементарных функций;

2)правила сложения, вычитания, умножения рядов;

3)теоремы дифференцирования и интегрирования рядов.

Пример. Разложить в ряд функцию y arctgx2 x2 . 2x

																				721
Решение.				x3						x5				x7
arctgx x				x3						x5				x7
																	...
				3					5						7		...
				3					5						7
arctgx2 x2					x6							x10					x14		...
arctgx2 x2																			...
						3					5					7
arctgx2 x2								x6					x10					x14			...
arctgx2 x2																					...
									3					5		7
y	x5		x9				x13				... 1 n										x4n 1		...
y											... 1 n										2 2n	1	...
6		10				14															2 2n	1

<<< < Предыдущая 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 5253 / 7053 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 > Следующая >>>