Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

763

Если мы имеем поле скоростей текущей жидкости (рис. 6.2.4), то векторные линии такого поля являются траекториями движения частиц или линиями тока жидкости.

Определение 2. Векторной трубкой называют поверхность, образованную векторными линиями, проходящими через точки некоторой замкнутой кривой, расположенной в данном поле и не совпадающей ни с одной из векторных линий.

В любой точке поверхности векторной трубки вектор поля направлен по касательной к поверхности (рис. 6.2.5).

a

Рис. 6.2.5. Векторная трубка

F

dl

Рис.6.2.6. Схематическое изображение векторной линии

Выведем дифференциальное уравнение для семейства векторных линий в декартовой системе координат. Пусть силовое поле задано тремя скалярными функциями

F P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k .

Одна из векторных линий этого поля изображена на рис. 6.2.6. Вектор касательной к этой линии имеет координаты

dl dx,dy,dz .

По определению, вектор поля F в каждой точке векторной линии совпадает с направлением касательной, т.е. dl || F .

Условие коллинеарности двух векторов дает систему дифференциаль-

Решая эту систему, можно найти уравнение линий в пространстве или

764

Решение. Система дифференциальных уравнений векторных линий имеет вид:

dx1 dy1 dz1

x y z

или

интегрируя левую и правую части последних равенств, получим общее решение системы в виде

x2 y2 C1y2 z2 C2 .

Уравнение x2 y2 C1 представляет собой семейство гиперболических

цилиндров с образующими, параллельными оси Oz . Второе уравнение дает семейство цилиндрических поверхностей, с образующими, параллельными оси Ox . Таким образом, векторные линии задаются пересечением гиперболических цилиндров.

Пример 2. Дано однородное векторное поле, т.е. F const, или

P(x, y, z) P , Q(x, y, z) Q , R(x, y, z) R ,

P , Q и R – постоянные. Найти уравнение векторных линий.

Решение. Запишем систему дифференциальных уравнений в виде dxP dyQ dzR dt

где t – параметр. Откуда следует

dx Pdt ; dy Qdt ; dz Rdt .

Интегрируя обе части последних равенств, получим общее решение системы:

x Pt C1 ;

y Qt C2 ;

z Rt C3 ,

где C1 , C2 , C3 – произвольные постоянные.

Нетрудно заметить, что общее решение является параметрическим уравнением семейства прямых в пространстве, проходящих через точки с координатами (C1 , C2 , C3 ), и имеющих одинаковый направляющий вектор

s (P,Q, R) . Таким образом, векторные линии однородного векторного поля –

это семейство прямых, параллельных вектору поля F . Пример 3. Найти векторные линии поля F( y, x,b).

765

Решение. Составим систему дифференциальных уравнений для данного векторного поля

dx dy dz .y dx b

Интегрирование уравнения dxy dydx дает семейство круговых цилинд-

ров, параллельных оси Oz , с радиусами C1 :

x2 y2 C1 , где C1 0.

Чтобы решить второе дифференциальное уравнение dydx dzb ,

введем параметр t . Семейство найденных цилиндров x2 y2 C1 в параметрической форме:

x C1 cos t , y C1 sin t .

Подставим x и dy , выраженные через параметр t , во второе дифференциальное уравнение

Интегрируя последнее равенство, получим z bt C2 .

Векторные линии задаются параметрически следующей системой уравнений:

x C1 cos t;y C1 sin t;

z bt C2 .

Они представляют собой семейство винтовых линий.

Вывод: мы ввели определение векторного поля, привели примеры векторных полей и ввели геометрическую характеристику векторного поля – векторные линии.

766

ЛЕКЦИЯ 6.3. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ, ВЫЧИСЛЕНИЕ, СВОЙСТВА. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГОГАУССА

6.3.1. Поток векторного поля

Во многих физических и технических задачах приходится находить потоки векторных полей через различные поверхности, например, поток жидкости через определенное поперечное сечение, поток воздуха и т. д. Это привело к необходимости различать двусторонние и односторонние поверхности.

6.3.1.1. Односторонние и двусторонние поверхности

Определение 1. Поверхность называют двусторонней, если нормаль к поверхности при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на этой поверхности и не имеющему общих точек с ее границей, возвращается в первоначальное положение.

Проще говоря, поверхность называют двусторонней, если у нее можно различить две стороны. У таких поверхностей с одной стороны на другую можно перейти только через край (рис. 6.3.1).

Однако существуют поверхности, у которых нельзя различить две стороны. Они получили название односторонних. Примером односторонней поверхности является лист Мебиуса. Модель его легко сделать из полоски бумаги, если склеить края этой полоски предварительно перекрутив ее.

Выйдя из какой-нибудь точки лиса Мебиуса с определенным направлением нормали, можно, двигаясь непрерывно и нигде не пересекая границы листа, прийти в ту же точку с противоположным направлением нормали. Это значит, что при закрашивании одной поверхности листа Мебиуса мы закрасим его целиком, не оставив места для другого цвета.

В дальнейшем мы будем рассматривать только двусторонние поверхности.

Определение 2. Гладкая поверхность q в трехмерном пространстве на-

зывается двусторонней, если нормаль к поверхности при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности q и не имеющему общих то-

чек с ее границей, возвращается в первоначальное положение. Двусторонняя поверхность считается ориентированной, если на ней

задано (в зависимости от условий физической задачи) положительное направление единичного вектора нормали или выбрана положительная сторона поверхности.

767

n

Рис.6.3.1. Двусторонняя поверхность, n – нормаль к поверхности

Итак, пусть векторное поле образовано вектором. Для наглядности будем считать F(M ) вектором скорости некоторого потока жидкости, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность q находится в

этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность q .

Выберем определенную сторону поверхности q . Пусть

n cos ,cos ,cos –

единичный вектор нормали к рассматриваемой стороне поверхности q . Разобьем поверхность на элементарные площадки q1 , q2 ,..., qn . Выберем в каждой площадке точку M i , i 1,2,...,n и вычислим значения вектора скорости

F(M ) в каждой точке F(M1 ), F(M 2 ),..., F(M n ) .

F(M i ) Hi

ni

M i

q qi

Рис. 6.3.2. Иллюстрация к вычислению потока векторного поля

Будем приближенно считать каждую площадку плоской, а вектор F постоянным по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через qi протекает количество жидкости, при-

F(M i ) на нормаль ni : Hi Прni F(M i ) F(M i ) ni , где ni – единичный вектор нормали к поверхности в точке M i . Следовательно, общее количество

769

Заметим, что под знаком поверхностного интеграла второго рода стоит скалярное произведение двух векторов, величина которого зависит от угла между вектором поля и нормалью к поверхности. Следовательно, для выбранного направления нормали поверхностный интеграл второго рода зависит от того, по какой стороне поверхности он вычисляется.

Если угол между нормалью и вектором поля в каждой точке поверхности острый, то поток векторного поля через такую поверхность положителен, если этот угол во всех точках поверхности тупой, то поток отрицателен.

Отметим, что поток вектора F есть скалярная величина. Величина П равна объему жидкости, которая протекает через поверхность q за единицу

времени. В этом состоит физический смысл потока (независимо от физического смысла поля).

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объем V . Тогда поток вектора записывается в виде

П F n d .

q

В этом случае за направление вектора n обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности q.

Если векторное поле F(M ) есть поле скоростей текущей жидкости, то

величина потока П через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидкости, вытекающей из области V и втекающей в нее за единицу времени.

Из физических соображений ясно, что если П 0 , то из области V вытекает больше жидкости, чем втекает. Это означает, что внутри области имеются дополнительные источники.

Если П 0 , то внутри области V имеются стоки, поглощающие избыток жидкости.

Можно сказать, что источники – точки, откуда векторные линии начинаются, а стоки – точки, где векторные линии заканчиваются. Так, в электростатическом поле источником является положительный заряд, стоком – отрицательный заряд магнита.

Если П 0 , то из области V вытекает столько же жидкости, сколько в нее втекает в единицу времени; внутри области либо нет ни источников, ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется.

6.3.2. Вычисление потока векторного поля путем сведения к трем двойным интегралам

Существует несколько способов вычисления потока векторного поля через поверхность.

770

Способ сведения поверхностного интеграла второго рода к трем двойным интегралам равносилен разложению потока на три составляющие в направлении координатных осей Ox, Oy, Oz через соответствующие плоские

области qyoz , qxoz , qyox , которые являются проекциями поверхности q на координатные плоскости yOz, xOz, yOx соответственно.

q

При этом считаем, что векторное поле и уравнение поверхности q за-

даны, а также задано положительное направление нормали к поверхности. Спроектируем поверхность q и элемент поверхности q , размером

на плоскость xOy (рис. 6.3.3, рис. 6.3.4).

y

x

dxdy

qxoy

Рис.6.3.3. Проекция поверхности q и элемента поверхности q на координатную плоскость xOy

q

z

dxdy

n, z

Рис. 6.3.4. Проекция элемента q на координатную плоскость xOy