Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

852

4. Пространство lp . Для доказательства полноты пространства lp будем считать, что некоторая последовательность точек xk фундаментальна и докажем, что она сходится, т. е. что в пространстве lp существует точка x0 , для

каждая из них сходится к действительным пределам. Обозначим lim xki x0i

k

и рассмотрим последовательность x0 x01 , x02 , . Докажем, что эта последовательность является элементом пространства lp .

что и доказывает принадлежность последовательности x0 x01 , x02 , к пространству lp .

Полнота пространства l2 следует из доказанного как частный случай.

для любого i. Отсюда следует, что последовательность действительных чисел

i k фундаментальна, то есть существует предел lim i k i .

k

853

Заставив n стремиться к бесконечности в неравенстве (7.2.2), получим

т.е. последовательность 1 , 2 , lim x n ограничена и, значит, она принад-

n

лежит пространству m.

6. Рассмотрим метрическое пространство функций, определенных и ограниченных на множестве E, расстояние между которыми задается формулой

, sup x x .

x E

В этом пространстве последовательность функций n , n 1,2,3, явля-

ется фундаментальной, если для любого числа 0 существует такой номер N( ) , что для всех номеров n N( ) и m M ( ) выполняется неравенство

n , m sup n x m x ,

E

т.е. последовательность n удовлетворяет критерию Коши равномерной

сходимости последовательности на множестве E. В силу этого критерия последовательность n равномерно на множестве E сходится к некоторой

функции , т.е.

Покажем, что эта функция также ограничена и, следовательно, принадлежит рассматриваемому пространству. Действительно, в силу (7.2.3) для

доказали, что рассматриваемое пространство является полным. Приведем примеры неполных пространств.

1. Рассмотрим множествоLp1 , непрерывных функций x t , в котором расстояние определяется формулой

Это пространство будет неполным. Действительно, легко проверить, что последовательность xn t arctg nt Lp , предел же этой последовательно-

сти x0 t Lp1 , так как он является разрывной функцией:

стояние в котором определяется формулой

x, y max x t y t .

x a,b

Это пространство также будет неполным. Присоединяя к множеству C1 множество непрерывных функций, мы получим полное пространство.

Замечание. Заметим, что в метрических пространствах полнота может быть обеспечена также изменением метрики. Так, например, для обеспечения полноты пространства C1 определим формулу расстояния следующим образом:

x, y max 1 x k t y k t .

x a,b k 0

Определение 8. Множество M называется ограниченным, если все его элементы могут быть заключены сферу Sr a радиуса r с центром в точке a,

т.е. если существует такая точка a и радиус r, что a, x r для любого

x M .

Теорема 5. Фундаментальные последовательности ограничены.

7.2.5. Принцип сжатых отображений

Теорема 6 (принцип вложенных шаров). Метрическое пространство

X является полным тогда и только тогда, когда любая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, диаметры которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение.

Замечание. В формулировке теоремы все условия (замкнутость шаров, полнота пространства, вложенность шаров, стремление к нулю) являются существенными.

Определение 9. Отображение f : X X называется непрерывным, если из того, что последовательность xn x следует, что f xn f x .

Определение 10. Отображение f : X X называется сжимающим, если существует число 0 q 1 такое, что x, y X выполнено

f (X ), F(Y ) q (x, y) ,

при этом коэффициент q называется коэффициентом сжатия отображения. Определение 11. Точка x называется неподвижной точкой отображе-

ния f : X X , если f X X .

855

Теорема 7 (о сжимающем отображении). Всякое сжимающее отобра-

жение F полного метрического пространства в себя обладает единственной неподвижной точкой x, при этом, для любого x0 X последовательность

итераций

x0 , F x0 , F F x0 ,…, xn F xn 1

сходится к точке x, причем имеет место следующая оценка скорости сходимости:

Полнота пространства может оказаться необходимой при решении уравнений y u x .

Действительно, если решать эти уравнения методом последовательных приближений, в случае неполноты пространства при переходе к переделу, мы можем получить элемент, не удовлетворяющий нашему уравнению. Так, например, при решении дифференциального уравнения в пространстве C1 методом последовательных приближений, предельный элемент может оказаться недифференцируемой функцией и, следовательно, не будет удовлетворять нашему дифференциальному уравнению.

Сделаем некоторые замечания о пополнении метрических пространств. Полнота вещественной прямой играет большую роль в математическом анализе. При этом множество вещественных чисел является пополнением множества рациональных чисел, причем таким, что расстояние между элементами при пополнении сохраняются. Поэтому становится естественной постановка задачи аналогичного пополнения неполных метрических пространств. Для более точной формулировки этой задачи введем некоторые оп-

ределения.

Определение 12. Метрические пространства X и Y называются изометрическими, если между ними можно установить такое взаимно – однозначное соответствие, что расстояние между прообразами x1 и x2 в X равно

расстоянию между образами y1 и y2 в Y, т. е.

x1 , x2 Y y1 , y2 .

Определение 13. Множество M называется плотным в множестве G,

если его замыкание M содержит G, т.е. M G .

Определение 14. Множество M всюду плотно в пространстве X , если

M X .

Имеет место утверждение о пополнении метрических пространств: Теорема 8. Пусть X 0 - неполное метрическое пространство. Тогда су-

ществует такое полное метрическое пространство X , в котором содержится подпространство X1 , всюду плотное в X и изометричное пространству X 0 .

Пространство X называется пополнением пространства X 0 .

856

Пример 2. Покажем, что пространство P заданных на отрезке 1;1 алгебраических полиномов

n 0,1,

Предел этой последовательности, функция ex , не принадлежит P. Из теоремы Вейерштрасса следует, что пространство P всюду плотное в пространстве непрерывных функций C 1,1 , а это означает, что пространство

C 1,1 можно рассматривать как пополнение пространства P.

Теорема 9 (о пополнении). Любое метрическое пространство допускает пополнение, единственное с точностью до изометрии.

Большое применение в математическом анализе, теорий дифференциальных и интегральных уравнений, а также в линейной алгебре имеет принцип сжатых отображений, сущность которого рассмотрим на примерах.

Пример 3. На числовой прямой дан отрезок. Проведем его сжатие. Это значит, что его концы переместятся в новые точки a a1 ,b b1.

Точки, ранее занимавшие положение a1 , b1 , переместятся в точки a1 a2 ,b1 b2 . и т. д. Интуитивно можно предположить, что на отрезкеa,b существует точка С, которая при его сжатии останется неподвижной. Точнее говоря, отрезок a,b лежит на числовой прямой. Каждой точке х, принадлежащей отрезку a,b , поставим в соответствие некоторую точку

f x a,b , которая является отображением точки х. Неподвижная точка, если она существует, удовлетворяет равенству x f x .

Пример 4. Пусть на отрезке a,b задано множество Е функций (x) таких, что x M , где x a,b , M - некоторое заданное положительное

число. Функцию E будем называть «точкой» множества Е.

Если каждой точке E поставлена в соответствие некоторая точка A того же множества, то считается, что задано отображение множества Е на себя. Например, пусть на отрезке 0;1 задано множество Е функций (x) :

1, x, x2 ,...Поставим функции xk в соответствие функциюxk 2 . Тогда A x2 .

Заметим, что для доказательства существования решений алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений и систем таких уравнений, а также для отыскания решений этих уравнений применяется метод последовательных приближений. Принцип сжатых отображений представляет

857

такое обобщение метода последовательных приближений, с помощью кото-

и изучается общее уравнение метрического пространства, и, таким образом, изучение уравнений различного класса укладывается в единую общую схему. Для уравнения x u x , взяв любой элемент x0 X , строим последователь-

ность приближенных решений уравнения xn 1 u xn . Если существует пре-

дел этой последовательности x lim xn , этот предел удовлетворяет уравне-

n

нию (7.2.4) и x u x сходится к решению этого уравнения.

7.2.6. Применение принципа сжатых отображений

Рассмотрим приложение принципа сжатых отображений к решению уравнений.

Заметим, что этот принцип находит большое применение при построении итерационных процессов для решения функциональных и дифференциальных уравнений.

Пусть в пространстве С a,b , составленном из непрерывных функций y y x , задано отображение

x

Ay y0 f x, y dx ,

x0

где f x, y - непрерывная функция, удовлетворяющая в области G условию Липшица (G x, y : a x b, M y N , где a, b, M, N - заданные числа), т.е. для любых двух точек x1 , y1 , x2 , y2 области G выполняется условие

f x, y1 f x, y2 L y1 y2 ,

где L - некоторое неотрицательное число, определяемое областью G и не зависящее от положения точек x, y1 , x, y2 G . Покажем, что рассмотренное

применим принцип сжатых отображений.

Пусть S H - замкнутый шар в C a,b , т.е. множество функций из C a,b таких, что S H , и пусть

b

ux K s,t, x t dt ,

a

тогда справедливо неравенство

b

ux K s,t, x t dt max K s,t, x b a .

a

В силу вышеуказанных ограничений на величину , отсюда получим оценку

ux H , из которой заключаем, что оператор u отображает множество S H в

себя. Далее, опираясь на условие

K s,t, x1 t K s,t, x2 t M x1 t x2 t ,

можно вывести соотношение ux ux

которое можно записать в виде

ux ux M c x, x b a q x, x ,

где в силу ограниченности для величины q справедлива оценка q M b a 1.

Это означает, что для решения рассматриваемого интегрального уравнения применим принцип сжатых отображений.

Рассмотрим применение принципа сжатых отображений в алгебре. Пусть дано алгебраическое или трансцендентное уравнение

Предположим, что функция f x непрерывна, дифференцируема в промежутке a,b и удовлетворяет в этом промежутке условиям

861

то система уравнений имеет единственное решение, которое можно определить методом последовательных приближений.

Заметим, что если число уравнений m системы меньше числа неизвестных n akj 0,k m 1, ,n , то Ckj 1 при k m 1, ,n , а потому q 1 и

принцип сжатых отображений не применим.

Если рассматривать множество n-мерных векторов в пространстве En с

n

q1 max Ckj 1,

1 k n j 1

то для решения системы применим принцип сжатых отображений. Принцип сжатых отображений можно применить и том случае, когда

замкнутый шар S a, r полного метрического пространства X отображается

оператором A в себя, т.е., когда AS S .

Из многочисленных приложений метода сжатых отображений в математическом анализе укажем только одно. Пусть функция f x, y определена

в области G : a x b, y , непрерывна по x и имеет ограниченную