Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

a

f x и x из L2 а,b и ее называют метрикой или расстоянием в L2 . Она характеризует близость функций f x и x в среднем квадратичном. Через определение нормы функции среднее квадратичное отклонение x от f x можно записать f , f x x .

Рассмотрим вопрос о приближении функций с помощью обобщенных рядов Фурье.

n

Пусть ( x ) ортогональная система, Sn x ck k x – называется

k 0

многочленом Фурье.

Если в качестве ортогональной системы функций выбрана основная тригонометрическая система (5.8.3), то многочлен Фурье называют тригонометрическим и обозначают Tn x .

Теорема 1. (об экстремальном свойстве коэффициентов Фурье)

n

Среди всех обобщённых многочленов вида ak k x , ak ( , ) ,

k 0

наилучшей средней квадратичной аппроксимацией функции f x на отрезкеа,b является многочлен Фурье, т.е. такой многочлен коэффициенты кото-

2 ab f x Sn x dx ab Sn2 x dx

733

Здесь квадратичная аппроксимация будет наилучшей, когда ak ck , т.е.

когда аппроксимирующий многочлен является n – й частичной суммой обобщенного ряда Фурье.

n

Из этого неравенства следует сходимость ряда ck2 , так как в левой

k 0

n

части неравенства находятся n-е частичные суммы ряда ck2 , образующие

k 0

неубывающую и ограниченную сверху последовательность, а такая последовательность имеет предел.

Неравенство (5.8.7) называется неравенством Бесселя.

Поскольку ряд Фурье является функциональным, то его сходимость зависит от свойств функции.

Определение 7. Ряд Фурье называется равномерно сходящимся к

функции f x L2 а,b на отрезке а,b , если последовательность его частичных сумм сходится к функции f x равномерно, т.е. для любого > 0 можно указать такое натуральное число n0 n0 , что при всех n n0 будет

выполняться неравенство f x Sn x , x a,b .

Определение 8. Ряд Фурье называется сходящимся в среднем квадра-

тичном к функции f x L2 а,b на отрезке а,b , если последователь-

b

квадратичном, т.е. lim f x Sn x 2dx 0 .

n a

n

Теорема 2. Если обобщенный ряд Фурье ck k x функции сходится

k 0

на отрезке а,b равномерно к функции f x L2 а,b , то он сходится к f x на а,b и в среднем квадратичном.

Ортогональную систему функций k x , для которой выполняется равенство Парсеваля – Стеклова, называют замкнутой в L2 а,b , а само ра-

венство (5.8.8) – уравнением замкнутости.

Любая функция f x L2 а,b может быть разложена в сходящийся к ней в среднем квадратичном ряд Фурье по ортогональной на а,b системе функций k x , если эта система является замкнутой в L2 а,b .

Примеры замкнутых систем:

1.система степенных функций 1, x, x2, …, xn, … замкнута в пространстве непрерывных функций на некотором отрезке функции при любом выборе этого отрезка;

2.система полиномов Лежандра P0(x), P1(x), P2(x), …, Pn(x), замкнута в пространстве непрерывных функций на некотором отрезке функции при любом выборе этого отрезка;

3.тригонометрическая система функций 1, cosx, sinx, …, cosnx, sinnx,… замкнута в пространстве L2[–π, π].

5.8.5. Тригонометрические ряды Фурье для периодической функции с периодом T = 2l

Пусть функция f x L2 l,l .

Рассмотрим тригонометрическую систему функций (5.8.3).

f x cn n x c0 c1 cos lx c2 sin lx c3 cos 2l x c4 sin 2l x ...

n 0

Коэффициенты при косинусах принято обозначать буквой a, при синусах – буквой b, коэффициент c0 a20 . Тогда ряд Фурье примет вид

736

коэффициенты которого определяются по формулам (5.8.10) называется

тригонометрическим рядом Фурье для функции f x L2[–l, l].

Заметим, что если в (5.8.11) ряд сходится к f(x), то это разложение имеет место для всей числовой оси и для функции f(x) периодической с периодом

2l.

Преобразуем равенство Парсеваля – Стеклова (5.8.8) с учетом традиционных обозначений коэффициентов ряда Фурье:

Далее сформулируем достаточные условия различных видов сходимости тригонометрических радов Фурье к соответствующей периодической

функции, заданной на отрезке l,l .

5.8.6. Ряд Фурье для периодической функции с периодом T = 2 π

Пусть f x L2 , . Ряд Фурье для такой функции получится из ряда (5.8.11) при l .

где коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам:

5.8.7. Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье

Сходимость ряда Фурье к заданной функции имеет место для довольно широкого класса функций.

Определение 10. Функция f x называется кусочно-гладкой на отрезке а,b , если ее производная f x имеет конечное число точек разрыва

737

первого рода, причем в точке a существует правая, а в точке b – левая производная этой функции.

Теорема 4. Если f x L2 l,l – кусочно-непрерывная на отрезкеl,l функция, то ее тригонометрический ряд Фурье (5.8.11) сходится к функции f x в среднем квадратичном:

Определение 11. Функция f (x) называется кусочно-монотонной на отрезке а,b если она монотонна на всем отрезке либо этот отрезок можно

разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Теорема 5. (Дирихле). Если f x L2 l,l – кусочно-монотонная, кусочно-непрерывная на отрезке l,l функция, то ее тригонометрический

3. S l S l f l 0 f l 0 . 2

Теорема 6. Если функция f x L2 a,b – кусочно-гладкая и непрерывная на отрезке l,l функция, а на концах этого отрезка удовлетворяет условию f l f l , то её ряд Фурье на отрезке l,l сходится к функции f x равномерно.

Пример 1. Разложить в тригонометрический ряд периодические функ-

1 при x 0

ции с периодом 2π: f x

1 при 0 x

Решение. Построим график данной функции и продолжим на всю числовую ось (рис.5.8.1).

Рис. 5.8.1.

Эта функция удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье (условие Дирихле).

Применяя формулы (5.8.14), найдем коэффициенты Фурье. Так как функция задана двумя различными уравнениями, разбиваем , на два от

до 0 и от 0 до :

Следовательно, для рассматриваемой функции ряд Фурье имеет вид:

Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва 1-го рода x = 0, ±π, ±2π,…. Сумма ряда равна нулю (полусумме предельных зна-