Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

802

J a3 1 1 2a3 . 1 3 3 3

На линии L2: x2 z2 a2 , лежащей в плоскости xoy, z = 0, dz = 0, тогда

возьмем в параметрической форме: х=acost; у=asint; dx=–asintdt; dу=acostdt. Перейдем к линейному интегралу

Для этого нужно определить координаты ротора, т.е.

Вычисляя частные производные, получим

ЦL F 0 0 cos n, x 0 0 cos n, y 2x 2y cos n, x d ,

q

т.е. ротор данного поля во всех точках параллелен оси oz , поле является плоско-параллельным.

Поверхность q1 натянутая на контур L, однозначно проектируется на плоскость xoy, её проекцией является половина круга x2 z2 a2 . Циркуляция поля F равна двойному интегралу

803

ЦL F 2x 2 y dxdy .

qxoy

Так как областью интегрирования является полукруг, перейдем к полярным координатам

Циркуляция поля по данному контуру, найденная непосредственно и с помощью теоремы Стокса, имеет одно и тоже значение, при этом она отрицательна. Значит, вектор поля циркулирует в направлении, противоположном положительному обходу контура.

Вывод: мы вывели формулы связи между циркуляцией и ротором, сформулировали теоремы Грина и Стокса и дали их физическую интерпретацию.

804

ЛЕКЦИЯ 6.6. ВЕКТОРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ И ИХ СВОЙСТВА

6.6.1. Векторные дифференциальные операции первого порядка

Напомним, что со скалярным полем u связывается векторное поле его градиента

gradu ux i uy j uz k ,

где x, y, z – декартовы координаты. Впрочем, градиент может быть определен и независимо от выбора системы координат, на основе понятия производной по направлению; поэтому градиент, как и дальнейшие рассматриваемые нами «производные поля », связан с заданным полем инвариантно. С векторным полем F связываются скалярное поле его дивергенции

называемый набла (от греческого – арфа, форма которой напо-

минает значок ). Сам по себе этот символ представляет знак действия над полем, т.е. оператор. Этот оператор Гамильтона векторнодифференциальный и при своем действии обладает как свойствами вектора, так и свойствами оператора дифференцирования.

Применение символического вектора к скалярным и векторным полям получило название дифференциальных векторных операций первого порядка.

Рассмотрим эти операции. Пусть даны поля:

1.скалярное: u u (x, y, z),

2.векторное: F P (x, y, z),Q (x, y, z), R (x, y, z) .

1.Умножение вектора на скалярную функцию дает вектор, равный градиенту скалярного поля:

grad u(P) u (x, y, z).

div F P F .

3.Векторное произведение этих векторов дает ротор векторного поля

ij k

rot(P) F .

Таким образом, градиент, дивергенция и ротор являются результатом однократного применения оператора (набла) к скалярным и векторным

полям. В формулах, содержащих , этот оператор действует как дифференциальный только на расположенный за ним множитель; результат такого действия дальнейшие множители уже не дифференцирует. Поэтому следует

избегать записи вида uv , которую более естественно понимать какu v (gradu)v=vgrad u, но иногда ее понимают как uv grad uv , а это,

конечно, не одно и то же.

Если же в каком-либо выражении за наблой нет множителей, то оно представляет собой оператор; например,

это скалярный дифференциальный оператор, который может действовать на скалярное или векторное поле. На основании формулы для производ-

ной по направлению этот оператор можно записать также в виде F , где

lF

lF – направление вектора F. В частности, для скорости изменения скалярного или векторного поля вдоль траектории получим выражение

так как умножение на скаляр и дифференцирование обладают этим свойством линейности. В то же время в формуле ( ) нельзя было бы считатьзависящим от точки пространства, т.е. скалярным полем, так как тогда получилось бы, что мы вынесли переменную величину за знак производной. Чтобы охватить этот случай, заметим, что в обычной формуле для производной произведения

первое слагаемое получается, если в процессе дифференцирования считать v постоянным, а второе – если в этом процессе считать u постоянным. Поэтому дифференцирование ( ) можно выполнить так:

uv ucv uvc uc v u vc uv u v ,

где индекс с указывает, что при дифференцировании к данной величине надо относиться как к постоянной; конечно, если величина стоит вне знака дифференцирования, то индекс с у нее можно снять. Таким образом,

grad (uv) (uv) uc v uvc u v v u ugradv+vgradu.

Заметим, что выполняя действия с оператором «набла», удобно использовать так называемый символический метод, основанный на применении следующих правил:

1. Если оператор действует на какое-либо произведение, то вначале используются его дифференциальные, а потом векторные свойства.

2. Чтобы отметить тот факт, что не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину помечают ин-

дексом с (const).

3. Все величины, на которые оператор не действует, в окончательном варианте ставятся впереди него.

Пример 1. Используя символический метод, вычислить div a b . Решение. Воспользуемся свойствами векторного произведения:

div a b a b a bc ac b b a a b

b rot a a rotb .

Оператор (набла) к различным полям можно применять дважды. Результаты этого применения играют не менее важную роль, чем градиент, дивергенция, ротор.

807

6.6.2. Векторные дифференциальные операции второго порядка

Двукратное применение оператора (набла) к скалярным и векторным полям получило название векторных дифференциальных операций второго порядка.

Рассмотрим эти операции.

Нахождение градиента. Эту операцию можно применять только к ска-

лярным полям. После однократного применения оператора (набла), скалярной величиной является только дивергенция. Найдем градиент:

grad(div(F)) F .

Таким образом, двукратное применение оператора (набла) к векторному полю порождает новое векторное поле.

Следует отметить, что операция нахождения градиента от дивергенции на практике встречается крайне редко.

Вычисление дивергенции. Поскольку дивергенция является характеристикой векторных полей, то ее можно найти от градиента и ротора:

div(gradu) u u .

Двукратное применение оператора (набла) к скалярному полю порождает новое скалярное поле, называемое Лапласианом первоначального поля

u x, y, z . Оператор 2 , равный скалярному произведению символи-

ческого вектора (набла) самого на себя, называют оператором Лапласа (лапласианом), его обозначают:

Скалярный оператор Лапласа играет большую роль в математической физике. Найдем дивергенцию ротора:

Это простое свойство имеет важное следствие. Именно, для любого поля F можно наряду с векторными линиями рассматривать вихревые линии, т.е. векторные линии поля rot F. Однако дивергенция любого векторного поля равна плотности источников векторных линий этого поля. Поэтому формула говорит, что вихревые линии не могут иметь ни источников, ни стоков, т.е. они не могут ни начинаться, ни кончаться.

Вычисление ротора. Ротор так же, как и дивергенция, характеризует векторное поле. Следовательно, его можно найти от градиента и ротора:

rot(grad u)=[ grad u] u 0.

Векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулю. Следовательно, поле градиентов не имеет вихрей:

rot(rot(F)) F .

808

Раскрывая двойное векторное произведение, получим новое векторное поле вида

rot(rot(F)) F F ; rot(rot(F))=grad(divF) F .

Таким образом, двукратное применение оператора (набла) к скалярным и векторным полям дает пять дифференциальных операций, две из них div(rot(F)) и rot(grad u) тождественно равны нулю. Остальные порождают новые векторные и скалярные поля, среди которых особое значение имеет скалярное поле лапласиана div(grad u).

Дифференциальные операции второго порядка удобно свести в табли-

цу:

В данном случае нет зарядов и токов, а E , H – векторы напряженности электрического и магнитного полей; , – электрическая и магнитная

проницаемость; с – скорость света.

Если продифференцировать (6.6.1) по t и подставить Ht из (6.6.3), то получим

Преобразуем правую часть по формуле:

809

E , E E .

Итак, для векторного поля E имеем уравнение

Мы получили одно из основных уравнений математической физики, называемое волновым уравнением.

Вывод: мы ввели дифференциальные операции первого и второго порядка и рассмотрели принципы работы с этими операторами.

6.6.3. Простейшие векторные поля

6.6.3.1. Потенциальное поле

К простейшим векторным полям относят потенциальное, соленоидальное и гармоническое. Рассмотрим свойства этих полей.

Определение 1. Векторное поле называют потенциальным, если оно образовано градиентами скалярной функции:

F grad u(x, y, z) .

Почти все силовые поля являются потенциальными (поле сил тяжести, электростатическое поле, магнитное и т.д.). Функцию u x, y, z , градиент ко-

Поэтому потенциальное поле можно задать одной скалярной функцией u x, y, z . Потенциальное поле обладает двумя очень важными свойствами.

Во-первых, оно не имеет вихрей, поскольку

rot(grad u) u 0,

т.е. ротор во всех точках потенциального поля равен нулю. Во-вторых, в потенциальном поле криволинейный интеграл по любому

замкнутому контуру равен нулю. Это следует из теоремы Стокса:

Из второго свойства вытекает важное следствие: в безвихревом потенциальном поле величина криволинейного интеграла по незамкнутой линии L не зависит от ее формы, а зависит только от координат начальной и конечной точек.

Пример 1. Проверить, будет ли потенциальным поле

811

Если верхнюю границу взять переменной B x, y, z , а нижнюю зафиксировать A x0 , y0 , z0 , то искомая функция

A( x0 y0z0 )

или

A( x0 y0z0 )

От выбора точки A x0 y0 z0 зависит значение постоянной C u x0 y0 z0 . Возьмем за точку A начало координат: A 0,0,0 . В потенциальном поле кри-

волинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, поэтому его можно вычислить как сумму трех интегралов по прямым L1 , L2 , L3 , параллельным

координатным осям.

На прямой L1 : y 0; dy 0; z 0; dz 0.

ным, если во всех его точках дивергенция равна нулю: div F p 0.

Т.е. в области, где задано соленоидальное поле, нет источников поля. Соленоидальным полем является поле роторов, так как

div(rotF) F 0 ,

а также поле линейных скоростей точек вращающегося тела. Соленоидальное поле обладает следующим свойством: поток вектора поля F P,Q, R

через любое сечение векторной трубки, образованной векторными линиями, имеет одно и то же значение. Это свойство вытекает из теоремы ГауссаОстроградского: