![](/user_photo/_userpic.png)
Конспект лекций Высшая математика (Басканова)
.pdf752
РАЗДЕЛ 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
ЛЕКЦИЯ 6.1. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ПОНЯТИЕ ЛИНИЙ И ПОВЕРХНОСТЕЙ УРОВНЯ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ
6.1.1 Основные понятия
Теория поля – крупный раздел физики, механики, математики, в котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.
К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи физики, электротехники, математики, механики и других технических дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электрические силы
– все они изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по законам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью и т. д.
В практической деятельности инженеру приходится решать разнообразные реальные задачи, связанные с построением моделей изучаемого процесса, с исследованием динамики процесса по известной модели. При этом он должен решать как стационарные (не зависящие от времени), так и нестационарные задачи. Например, процесс остывания отливки в литейном производстве можно рассматривать как процесс изменения теплового состояния тела под действием внутренней теплопроводности при отсутствии источников тепла (уравнение теплопроводности, полученное с помощью аппарата теории поля). Термин «поток» в векторном анализе связан с гидромеханической задачей, в результате решения которой оценивается количество жидкости, протекающей через поверхность в определенную сторону в некоторый промежуток времени. Широкий круг задач металлургии и обогащения полезных ископаемых (процесс флотации) допускает сходные с вышеизложенными формулировки, а, следовательно, и методы решения.
Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция.
Определение 1. Полем называется область V пространства, в каждой точке которой определено значение некоторой величины.
6.1.2 Скалярное поле
Определение 2. Если каждой точке M пространства ставится в соответствие некоторая скалярная величина u , то таким образом задается ска-
753
лярное поле u(M ) . Если каждой точке пространства M ставится в соответствие вектор F , то говорят, что задано векторное поле F(M ) .
Согласно определению, скалярное поле – это функция точки u u(P) .
Примерами скалярных полей могут быть поля температуры, атмосферного давления, плотности, электрического потенциала. Примерами векторных полей являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости, магнитное поле и т. д.
Определение 3. Если функция u(M ) ( F(M ) ) не зависит от времени, то
скалярное (векторное) поле называется стационарным; поле, которое меняется с течением времени, называется нестационарным.
Далее мы будем рассматривать только стационарные поля.
Если V – область трехмерного пространства, то скалярное поле u можно рассматривать как функцию трех переменных x , y , z :
u u(x, y, z) .
Если скалярная функция u зависит только от двух переменных, например x и y , то соответствующее скалярное поле называют плоским. Напри-
мер, температура вокруг бесконечного, равномерно нагретого цилиндра будет изменяться только в направлениях, перпендикулярных к цилиндру. Вдоль линий, параллельных цилиндру, температура будет одинаковой. В таких случаях говорят, что поле задано на плоскости или поле является плоскопараллельным, а функция u(P) является функцией двух переменных
u u(x, y).
Аналогично: вектор F = F(M ) , определяющий векторное поле, можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов x , y и z : F = F(x, y, z) .
Вектор F = F(M ) можно представить в виде
F P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
где P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) – проекции вектора F(M ) на оси координат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора F = F(M ) равна нулю, а две другие зависят только от двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например,
F P(x, y, z)i Q(x, y, z) j .
6.1.3. Характеристики скалярного поля
6.1.3.1. Поверхности и линии уровня
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE563x1.jpg)
754
Скалярное поле имеет геометрическую, числовую и векторную характеристики.
Геометрической характеристикой скалярного поля F = F(x, y, z) явля-
ется поверхность уровня.
Определение 4. Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек, в каждой из которых скалярная функция поля
принимает одно и то же постоянное значение, т.е. u(x, y, z) c .
(Поверхность уровня еще называют эквипотенциальной поверхностью.)
Взависимости от физического смысла поля линии уровня могут называться изотермическими, изобарическими и т. п. поверхностями. Например, для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурного поля (изотермические) представляют собой круговые цилиндры, общей осью которых служит нить.
Вслучае плоского поля u u(x, y) равенство u(x, y) c представляет
собой уравнение линии уровня поля. Совокупность линий уровня, соответствующих различным значениям функции u(x, y) , называют сетью линий
уровня. Если взять довольно близкие значения с1 , с2 , с3 и т. д. и построить
для них линии уровня, то сеть этих линий очень наглядно характеризует поведение скалярного поля: где сети сгущаются, там поле изменяется очень быстро, где сеть разряжается, там поле изменяется медленно.
Пример 1. Определить вид поверхности уровня скалярного поля u x y z
и построить ее.
Решение. Поверхности уровня по определению задаются уравнением x y z c , где c – некоторая константа. Например, при c 1 получаем
плоскость x y z 1, при c 2 – плоскость x y z 2 (или 2x 2y 2z 1
– уравнение плоскости в отрезках) и т.д. (Рис. 6.1.1.)
z
y
x
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE564x1.jpg)
755
Рис. 6.1.1. Схематическое изображение поверхностей уровня скалярного поля u x y z
Пример 2. Определить вид поверхности уровня скалярного поля и построить ее u x2 y2 z2 .
Решение. Поверхности уровня в неявном виде задаются уравнением x2 y2 z2 с,
где с – произвольная постоянная. Для положительных значений поля, т.е. при с 0, получается семейство однополостных гиперболоидов вращения:
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
z2 |
|
1. |
|
|||||||
|
|
с |
|
|
с |
|
|||||||||||
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|||||||||
Если c 0 , поверхностями уровня будут двуполостные гиперболоиды |
|
||||||||||||||||
вращения |
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
z2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|||||||||
|
с |
|
с |
с |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
И при c 0 поверхность уровня есть круговой конус с вершиной в на- |
|
||||||||||||||||
чале координат |
|
|
x2 z2 |
y2 . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
|||
|
C>0 |
|
|
|
|
|
|
C<0 |
|
C=0 |
|
||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y |
|||
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.1.2. Схематическое изображение поверхностей уровня скалярного поля u x2 y2 z2
В зависимости от знака произвольной постоянной с поверхностями уровня могут быть одно- и двуполостные гиперболоиды. Если c 0, то по-
верхность уровня есть конус x2 z2 y2 . (Рис. 6.1.2.)
Вся область V может быть заполнена поверхностями уровня, которые в совокупности как бы расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня.
6.1.3.2. Производная по направлению
Числовой характеристикой скалярного поля является производная по направлению.
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE565x1.jpg)
756
Известно, что скорость изменения значений функции u(x, y, z) в точке P0 (x0 , y0 , z0 ) в направлении координатных осей равна частным производным по соответствующим переменным. Следовательно, чтобы найти скорость из-
менения поля в точке в направлении r , нужно взять производную от функции u в этой точке по данному направлению.
Определение 5. Производная скалярного поля u(M ) по направлению r , заданному вектором a axi ay j az k , вычисляется по формуле
|
|
|
|
|
|
u |
u(x0 , y0 , z0 ) cos u(x0 , y0 , z0 ) cos |
u(x0 , y0 , z0 ) cos , (6.1.1) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
||||||
|
|
|
|
|
|
где cos |
a |
x |
|
|
, cos |
ay |
|
, cos |
a |
z |
|
|
– направляющие косинусы вектора |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
, |
|
a |
|
ax2 |
ay2 az2 – модуль вектора |
|
. |
|
||||||||||||||||
a |
a |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
В случае плоского поля u u(x, y) |
имеем: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos cos |
|
|
sin , cos 0, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и формула (6.1.1) принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
u(x0 , y0 ) cos u(x0 , y0 ) sin . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
Замечание. Понятие производной по направлению является обобщением понятия частных производных ux , uy , uz . Их можно рассматривать как
производные от функции u по направлению координатных осей Ox , Oy и Oz . Так, если направление r совпадает с положительным направлением оси Ox , то, положив в формуле (6.1.1) 0 , 2 , 2 , получим ur ux .
Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в точке M в заданном направлении. Если ur 0 , то функция u возрас-
тает в направлении r , если ur 0 то функция u в направлении r убывает.
Кроме того, величина ur представляет собой мгновенную скорость измене-
ния функции u в направлении r : чем больше ur , тем быстрее изменяется функция u .
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE566x1.jpg)
757
Пример 3. Найти скорость изменения скалярного поля, заданного
функцией
u xyz ,
в точке P0 (5,1, 8) в направлении вектора P0 P , если P(9,4,4) . Решение. Найдем координаты вектора P0 P :
P0 P (4,3,12) , направляющие косинусы данного вектора будут равны:
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
, cos |
|
3 |
|
|
, cos |
12 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
16 9 144 |
13 |
13 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Вычислим значение частных производных в точке P0 : |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
(xyz) |
|
|
|
|
|
yz |
|
P |
8 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
P0 |
x |
|
|
|
|
|
|
P0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
(xyz) |
|
|
|
|
|
xz |
|
P |
40 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
P |
y |
|
|
|
|
P |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
u |
(xyz) |
|
xy |
|
|
|
|
5 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
P0 |
z |
|
|
|
|
|
|
|
P0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скорость изменения значений функции u xyz |
в точке P0 (5,1, 8) |
най- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дем по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
u |
u |
u |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
12 |
|
99 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x cos |
y cos |
z cos |
|
P |
8 |
|
|
|
|
40 |
|
|
5 |
|
|
13 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
13 |
|
13 |
13 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P0 P |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, значения скалярной величины u xyz в точкеP0 (5,1, 8)
в направлении |
|
|
|
99 |
|
|
|||||
P0 P убывают со скоростью |
13 |
. |
|||
|
|
|
|
|
Итак, чтобы найти скорость изменения скалярного поля в некоторой точке в данном направлении, нужно вычислить частные производные в этой точке и умножить их на соответствующие направляющие косинусы вектора, в направлении которого находится скорость.
6.1.3.3. Градиент скалярного поля и его свойства
Векторной характеристикой скалярного поля является вектор градиент. Рассмотрим скорость изменения поля в точке P0 в произвольном на-
правлении |
r |
0 . Она задается формулой |
|
|
||
|
|
u |
|
u cos |
u cos |
u cos , |
|
|
r |
|
x |
y |
z |
где cos , cos , cos – направляющие косинусы вектора r или проекции на координатные оси его единичного вектора:
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE567x1.jpg)
758 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 cos ,cos ,cos , |
|
0 |
|
1. |
||
|
r |
r |
|
|||||
|
|
z |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
φ |
|
|
|
||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
0
y
x
Рис. 6.1.3. Иллюстрация к понятию вектора градиента
Из векторной алгебры известно, что если даны два вектора своими разложениями по ортам i , j , k , т.е.
a ax ,ay ,az , b bx ,by ,bz ,
то их скалярное произведение
a b axbx ayby azbz .
Сравнивая эту формулу со скоростью изменения поля в точке P0 в на-
правлении |
|
, легко заметить, что u является скалярным произведением |
||||||||||||||||||||||||||||||||
r |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
двух векторов: |
|
|
|
u , |
u |
, u |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
r0 cos ,cos ,cos , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
N |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
|
|
||||||
Пусть угол между этими векторами равен , |
тогда |
u |
можно записать |
|||||||||||||||||||||||||||||||
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
cos . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
N |
r0 |
N |
r0 |
N |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P0 |
в произвольном |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Таким образом, скорость изменения поля в точке |
направлении r равна проекции некоторого вектора N на это направление. Вектор N называют градиентом скалярного поля в точке P0 .
Определение 6. Градиентом скалярного поля в точке называют вектор, длина которого равна максимальной скорости изменения поля в этой точке. Обозначается
gradu |
u |
|
u |
|
u |
|
||||
x |
i |
|
|
j |
|
|
k |
(6.1.2) |
||
y |
z |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Поставим вопрос: по какому направлению r производная ur самая большая? Согласно формуле
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE568x1.jpg)
759
ur Прr (gradu) grad r u ,
этот вопрос сводится к следующему: на какое направление проекция вектора grad u самая большая? Очевидно, что любой вектор при проектиро-
вании на различные направления дает самую большую проекцию, равную его модулю, при проектировании на его собственное направление. Таким образом, вектор gradu в точке P0 указывает в сторону самого быстрого возраста-
ния поля u , причем эта наибольшая скорость в расчете на единицу длины равна |gradu |. На рис. 6.1.4 показаны векторы градиента температуры в отдельных точках теплопроводящей среды, подогреваемой изнутри, из затемненной зоны, и охлаждаемой снаружи. Градиент температуры направлен к «печке».
Полученный физический смысл градиента показывает также, что градиент инвариантно связан с рассматриваемым полем, т.е. остается неизменным (инвариантным) при замене декартовых осей. (Этого не было видно из определения градиента (6.1.2), данного в «неинвариантной» форме, «привязанной» к какой-то одной системе координат.) Более того, если задано поле u , то в каждой точке пространства можно найти направление и скорость наибыстрейшего возрастания поля u ; так, можно найти вектор grad u , не
прибегая к координатам. Итак, градиент скалярного поля образует вполне определенное векторное поле.
Рис. 6.1.4. Пример вектора градиента температуры в теплопроводящей среде
Свойства градиента
1. Проекция градиента поля u(P) в точке P на какое-либо направление
rравна скорости изменения u(P) в данном направлении.
2.Если в точке P градиент отличен от нуля, то он перпендикулярен линии или поверхности уровня, проходящей через эту точку, и направлен в сторону возрастания значений поля u(P) , так как направление градиента –
это направление наибыстрейшего возрастания значений функции u(P) .
3. Если u(P) и v(P) – скалярные поля, определенные в одной и той же
области V , то в любой точке этой области справедливы соотношения, вытекающие из правил нахождения производных:
а) grad u v gradu +grad v , б) grad cu c gradu , c=const,
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE569x1.jpg)
|
|
|
|
|
760 |
|
в) grad u v vgradu +u grad v , |
|
|||||
u |
vgradu ugradv |
, |
|
|||
д) grad |
|
|
|
v2 |
|
|
v |
|
F |
|
|
||
е) grad F(u) |
gradu . |
|
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
u |
|
|
|
Пример 4. Найти градиент скалярного поля u 5x2 y xy2 |
3z в точке |
P( 1,1,1) .
Решение. Проекции градиента на координатные оси равны значениям частных производных поля в точке P( 1,1,1) :
u |
|
P |
5x2 y xy2 3z |
|
|
|
P |
10xy y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( 1,1,1) |
|
|
|||||||||||
u |
|
P |
5x2 y xy2 3z |
|
|
P |
5x2 2xy |
|
|
|
|
|
7 ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P( 1,1,1) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
u |
|
5x2 y |
|
xy2 3z |
|
|
|
3. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Следовательно, |
z |
|
P |
z |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
grad 5x2 y xy 2 |
3z |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
7 |
|
3 |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
P ( |
1,1,1) |
i |
j |
k |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. Найти направление градиента и наибольшую скорость возрастания функции u xy yz xz в точке P( 1,1, 1) .
Решение. Найдем сначала проекции градиента на координатные оси в точке P( 1,1, 1) . Имеем:
|
1 |
|
z |
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
gradu |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
k , |
||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
z |
|
x |
|||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
gradu |
|
|
2 |
|
0 |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
P( 1,1, 1) |
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наибольшая скорость возрастания скалярного поля равна модулю градиента в точке P :
|gradu | |
4 0 4 |
2 2 . |
|
|
||||
Направление вектора градиента определяется его направляющими ко- |
||||||||
синусами: |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
cos |
|
, cos 0 , |
cos |
. |
||||
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
Вывод: мы ввели понятие поля и скалярного поля, рассмотрели примеры скалярных полей и его характеристики – поверхности уровня (геометрическая характеристика), производная по направлению (числовая характеристика) и вектор градиент.
![](/html/14952/812/html_5gUVvDJRCR.asXJ/htmlconvd-WCUIjE570x1.jpg)
761
ЛЕКЦИЯ 6.2. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ
6.2.1. Векторное поле
Рассмотрим частные случаи векторных полей.
Однородное векторное поле. Если в каждой точке области, где задано поле, вектор a имеет одинаковое направление и одну и ту же длину, т.е. ax , ay , az , – постоянные величины, то векторное поле называют однородным.
Примером однородного поля является поле сил тяжести в случаях небольшой высоты над землей (рис. 6.2.1).
y |
m |
|
F mg
x
Рис. 6.2.1. Схематическое изображение поля сил тяжести
Плоско-параллельное поле. В тех случаях, когда в выбранной системе координат проекции вектора не зависят от одной из переменных, например, ax ax (x, y), ay ay (x, y), az az (x, y), то поле называют плоско-
параллельным. Такое поле изображено на рис. 6.2.2.
z
y
x
Рис.6.2.2. Плоско-параллельное поле
Вдоль прямых, параллельных оси Oz , величина и направление вектора a не изменяются. При изучении такого поля можно рассматривать его разрез