Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

822

Учитывая, что ez ex , а ex 0, утверждаем, что показательная функ-

ция ez нигде в нуль не обращается, т.е. ez 0 .

Положив в равенстве (7.1.1) x 0, y , получим классическую фор-

мулу Эйлера ei cos isin .

Показательная функция комплексного переменного обладает специфическим свойством: она является периодической с мнимым основным периодом 2 i . Отметим, что ez не всегда больше нуля. Например, e i 1 0 .

7.1.3.2. Логарифмическая функция

Определение 6. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной: число w называется логарифмом числа z 0 , если ew z , обозначается w Ln z .

Так как значения показательной функции ew z всегда отличны от нуля, то логарифмическая функция w Ln z определена на всей плоскости z, кроме точки z=0. Отрицательные числа также имеют логарифмы, однако все

т.е.

Ln z ln z i arg z 2 k

или

Ln z ln z i Arg z , где Arg z arg z 2 k.

Формула (7.1.3) показывает, что логарифмическая функция комплексного переменного имеет бесчисленное множество значений, т.е. w Ln z - многозначная функция (единственным исключением является число «нуль», которое не имеет логарифма; можно условно писать, что Ln 0 iv, где v

– произвольное).

Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в формулу (7.1.3) определенное значение k. Положив k=0, получим однозначную функцию, которую называют главным значением логарифма Ln z и обозначают символом ln z .

Определение 7. Выражение

ln z ln z i arg z ,

где arg z называется главным значением логарифма.

823

Если z – действительное положительное число, то arg z 0 и ln z ln z ,

т.е. главное значение логарифма действительного положительного числа совпадает с обычным натуральным логарифмом этого числа.

Формулу (7.1.3) можно переписать так: Ln z ln z 2 ki.

Из формулы (7.1.3) следует, что логарифмическая функция w Ln z обладает известными свойствами логарифма действительного переменного:

Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами:

1) Ln (z1 z2 ) Ln z1 + Ln z2 ;

2) Ln z1 Ln z1 -Ln z2 ; z2

3)Ln (z)n n Ln z ;

4)Ln n z 1n Ln z .

7.1.3.3. Степенная функция w zn

Определение 8. Если n – натуральное число, то степенная функция определяется равенством w zn r n cosn isin n . Функция w zn - однозначная.

значную ветвь этой функции можно получить, придав k определенное значение, например, k=0.

824

ii e 2 .

Рассмотрим подробнее функцию w zn при n 12 , т.е. w z . Это

двузначная функция. (Отметим распространенную ошибку: по аналогии с вещественными радикалами записывают эти два значения в виде w1 z и

w2 z , забывая, что нет никакого «арифметического» значения корня из

комплексного числа, и потому все равно надо уточнять, что такое z ; подобным образом, без специального уточнения значений корней нельзя писать

z i z и т. п.) Так, при z 1 она принимает два значения: w 1 и w 1. Остановимся на каком-то одном, например, w 1, и будем, меняя z , непре-

рывно продолжать значение z . Пусть, например, точка z проходит единичную окружность в положительном направлении, принимая положения z0 ,

z1 , z2 ,… (рис. 7.1.2). Так как Arg w 12 Arg z, то соответствующая точка w

только пол-оборота и придет в положение w4 1. Таким образом, исходя из

одного значения z 1 и непрерывно его продолжая, мы по необходимо-

z 1

сти приходим к другому значению z 1. Если теперь точка z совершит

z 1

еще один обход вокруг начала координат, показанный на рис. 7.1.1 пунктиром, то соответствующая точка w пройдет еще пол-оборота и придет к исходному значению w8 w0 1.

Ясно, что аналогичная картина будет при любом обходе вокруг начала координат плоскости z , не обязательно по окружности.

Разобранный пример, который является типичным, указывает на принципиальное различие многозначных функций комплексного переменного и вещественного переменного. Для многозначной функции вещественного пе-

ременного можно естественно ввести ее однозначные ветви: так, под x все-

гда понимается «арифметическая ветвь» двузначной функции x . В отличие от этого, значения многозначной функции комплексного переменного, как правило, настолько неразрывно связаны друг с другом, что непрерывно переходят одно в другое, когда независимая переменная совершает оборот вокруг определенных точек, называемых точками ветвления заданной функ-

825

ции. Для двузначной функции w z такой точкой в силу предыдущего является z 0 . Впрочем, точку z также принято считать точкой ветвления этой функции, так как «совершить оборот вокруг бесконечности» - это значит обойти окружность большого радиуса с центром в конечной точке, а при

этом, как и выше, значения z непрерывно перейдут одно в другое.

значной и имеет точки ветвления z 0 и z , при обходе вокруг которых значения функции сменяют друг друга. После n - кратного обхода вокруг точки ветвления все значения функции приходят к своим исходным; такая

точка называется точкой ветвления порядка n . Функция w zm n , где n 2,3,4,... , а m - целое число, не имеющее общих делителей с n , также име-

ет две точки ветвления z 0 и z порядка n . Таким образом, чем больше знаменатель, тем больше значений у функции и тем выше порядок точки

ветвления. Функция w n z ekLnz , где k иррациональное, является бесконечнозначной, и при обходе вокруг точек ветвления z 0 или z эти значения сменяют друг друга, никогда не возвращаясь к исходному. Такие точки ветвления называются логарифмическими или точками ветвления бесконечного порядка.

Наличие точек ветвления является характерным свойством многозначной аналитической функции. Конечно, такая функция, как, например,

w z2 z , не имеет точек ветвления, но ее ветви w z и w z не переходят друг в друга при своем продолжении, т.е. она является не единой многозначной функцией, а скорее, в каком-то смысле объединением двух однозначных.

Для функций, заданных простыми формулами, точки ветвления обычно распознаются по обращению в нуль или в бесконечность выражений, стоящих под знаком радикала (точки конечного порядка) или логарифма (логарифмические точки). Рассмотрим, например, функцию

w z2 4 .

826

Это двузначная функция с точками ветвления, определяемыми из урав-

w z 2 z 2 , то если z обойдет по маленькой окружности вокруг точки z1 2 , а потому z 2 - вокруг нуля, первый множитель перейдет к ново-

сменит значение. После вторичного обхода оба множителя, а потому и вся функция, вернутся к исходному значению; таким образом, точка z1 и анало-

гично точка z2 являются для функции w z2 4 точками ветвления второ-

го порядка. Точка z , хотя и обращает подкоренное выражение в бесконечность, не является для нашей функции точкой ветвления. В самом деле, эту функцию можно представить в виде

Если z обходит большую окружность, то оба множителя, а потому и вся функция возвращаются к своим исходным значениям. Значит, в окрестности бесконечности здесь имеются две не связанные друг с другом ветви.

7.1.3.4. Тригонометрические функции

Определение 9. Тригонометрические функции комплексного аргу-

мента z x iy определяются равенствами

Вообще всякое новое определение не должно противоречить уже установленным фактам.

При этом, все основные формулы, имеющие характер тождественных равенств и справедливые для вещественных значений аргумента (такие, на-

827

пример, как sin( x) sin x , sin 2 x cos2 x 1 и т. п.), остаются в силе и для

комплексных его значений.

На основе приведенных формул (7.1.4) вскрывается глубокая связь показательной функции с тригонометрическими: функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера (1743 г.):

eiz cos z isin z .

Спомощью формул (7.1.4) легко получить выражения степеней синуса

икосинуса через тригонометрические функции кратных аргументов, например,

cos43x 3cos4 x

ит.п. Такое преобразование применяется при интегрировании.

Отметим, что тригонометрические функции sinz и cosz в комплексной

7.1.3.5. Гиперболические функции

Определение 10. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом называются соответственно функции:

Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:

sh z isin iz; ch z cos iz;

=ch 2sin1 sh 2cos1.

7.1.3.6. Обратные тригонометрические и гиперболические функции

Определение 11. Число w называется арксинусом числа z, если sinw=z и обозначается w=Arcsinz.

Arth z 12 Ln 11 zz , Arcth z 12 Ln 11 zz .

Все эти функции многозначны.

Вывод: мы ввели понятия функции комплексного переменного, области ее определения и области значения, предела и непрерывности функции; а также сформулировали свойства предела функции. Рассмотрели показательную, логарифмическую, степенную, тригонометрические и обратные тригонометрические функции, гиперболические функции; узнали свойства этих функций и их отличия от аналогичных вещественнозначных функций.

829

Определение производной функции комплексного переменного дается

верждение не имеет смысла.

Все свойства производной и все формулы дифференцирования, а также понятие производных высших порядков и основанные на нем формула и ряд Тейлора, введенные ранее для вещественной переменной, сохраняются без изменений.

Аналогично определяются производные основных функций, таких как синус, косинус, тангенс и котангенс, степенная функция и т.д.

Производные гиперболических функций определяются по формулам:

7.1.4. Условия Коши – Римана

Рассмотрим функцию комплексной переменной w f (z) u(x, y) iv(x, y),

определенную на некоторой области и имеющую в какой – либо точке этой области производную

f (z) lim w .

z 0 z

Так как функция f (z) дифференцируема в точке z, тогда предел существует и не зависит от пути, по которому z x i y 0 . Можно считать,

что точка z z приближается к точке z по прямой, параллельной действительной оси (случай 1) и мнимой оси (случай 2)).

830

Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером.

Теорема 1. Если функция w f (z) u(x, y) iv(x, y) определена в не-

которой окрестности точки z=x+ iy, причем в этой точке действительные функции u(х,у) и v(х,у) дифференцируемы, то для дифференцируемости функции w f (z) в точке z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке

выполнялись условия Коши – Римана.

На основании этой теоремы можно сделать вывод, что из существования производной следует непрерывность функции.

С учетом условий Коши-Римана производную дифференцируемой функции f (z) можно находить по формулам:

7.1.5. Аналитическая функция. Дифференциал

Фундаментальным понятием в теории функций комплексного переменного является понятие аналитической функции.

Определение 13. Однозначная функция f (z) называется аналитиче-

ской (голоморфной) в точке z, если она дифференцируема (выполнены условия Коши-Римана (7.1.5)) в некоторой окрестности этой точки. Функция f (z) называется аналитической в области D, если она дифференцируема в

каждой точке z D .

831

Как видно из этого определения, условие аналитичности в точке не совпадает с условием дифференцируемости функции в этой же точке (первое условие более сильное).

Тавтология терминов может показаться странной. Зачем для дифференцируемой функции выдумывать еще одно имя? Тут есть исключительное оправдание. Аналитические функции обладают совершенно неожиданным свойством. Дело заключается в следующем. Обыкновенный анализ приучает к мысли, что функция может быть дифференцируема либо один раз, либо

два, либо n раз (функция y 3 x имеет производную в точке x=0, а производ-

шению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Теорема 2. Для того чтобы функция

w f (z) u(x, y) iv(x, y)

была аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши – Римана.

Замечание. Если функция w f (z) u(x, y) iv(x, y) аналитична в некоторой области D, то функции u(x, y) и v(x, y) удовлетворяют дифференци-

альному уравнению Лапласа 2 2 0 .

x2 y2

Доказательство: действительно, дифференцируя первое из равенств Коши-Римана по y, а второе по x, получаем:

2u 2v , 2v 2u ,x y y2 x2 y x

откуда 2v 2u 0 .

x2 y2

Функции u(x,y), v(x,y) являются гармоническими функциями.

Пример 5. Проверить, является ли функция w z2 аналитической. Найти ее производную.

Решение. Находим действительную и мнимую части функции: