Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

479

Эти решения линейно независимы в интервале (−∞,+∞). Можно убе-

диться, что сопряженный корень a−ib не порождает новых вещественных линейно независимых решений.

Таким образом, если все характеристические числа – различные и вещественные, то мы получаем соответствующие им вещественные линейно независимые частные решения в виде (4.8.49). Если же все характеристические числа – различные, но среди них есть комплексные, то последние обязательно входят сопряженными парами и каждой паре таких характеристических чисел соответствуют два линейно независимых частных решения вида (4.8.52). Всего мы получим n вещественных частных решений. Все эти решения линейно независимы в интервале(−∞,+∞).

Общее решение системы (4.8.43) в области (4.8.51) представляет собою линейные комбинации построенных n вещественных линейно независимых частных решений с произвольными постоянными коэффициентами.

Пример. Найти общее решение системы:

Решая характеристическое уравнение

находим: λ1=1, λ2=9, так что характеристические числа различные и вещественные.

Составляем систему для определения чисел γ1, γ2 соответствующих характеристическому числу λ1 = 1. Матрица коэффициентов этой системы получается из матрицы

заменой λ на λ1 = l, так что искомая система будет иметь вид

4γ1 + 4γ2 = 0, 4γ1 + 4γ2 = 0.

Здесь, как и следовало ожидать, второе уравнение является следствием первого (оно даже совпадает с первым уравнением) и его можно было и не выписывать. Полагая γ1=1, находим γ2=−1.

Таким образом, характеристическому числу λ1=l соответствует реше-

ние:

y1=ex, z1=e−x.

Аналогично, решая систему, соответствующую характеристическому

480

числу λ2=9:

−4γ1 + 4γ2 = 0, 4γ1 − 4γ2 = 0,

находим: γ1=1, γ2=1, так что этому характеристическому числу соот-

ветствует решение:

y2=e9x, z2=e9x.

Мы получили фундаментальную систему решений:

y1 = ex , z1 = −ex , y2 = e9x , z2 = e9x .

Беря линейную комбинацию (по столбцам!), получаем общее решение:

y= C1ex + C2e9x ,

z= −C1ex + C2e9x .

Случай наличия кратных корней характеристического, уравнения.

Прежде всего отметим, что если λ1 есть простое характеристическое число, то независимо от того, будут среди остальных характеристических чисел встречаться кратные или нет, ему всегда соответствует одно частное решение вида:

где γ1, γ2,…, γn – некоторые постоянные числа, определяемые с точностью до постоянного множителя.

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы найти частные решения, соответствующие кратному корню.

При этом, так же как и для ли нейного однородного уравнения n-го порядка, оказывается, что одному характеристическому числу кратности k соответствует k линейно независимых частных решений.

Теорема. Если λ1 есть характеристическое число кратности k, то ему соответствует решение вида

где P1(x), P2(x),...,Pn(x) – полиномы от x степени не выше, чем k – 1, имеющие в совокупности k произвольных коэффициентов, так что среди всех коэффициентов всех этих полиномов k коэффициентов являются произвольными, а все остальные выражаются через них.

В частности, может случиться, что все эти полиномы вырождаются в постоянные числа. В таком случае k-кратному характеристическому числу λ1 будет соответствовать решение вида

Однако здесь k из коэффициентов γ1, γ2,…, γn являются произвольными, в то время как для простого характеристического числа произвольным

481

является только один из них.

Практически при нахождении решения, соответствующего характери-

стическому числу λ1 нужно искать решение в виде (4.8.54), считая P1(x), P2(x),...,Pn(x) полиномы (k – 1)-й степени с неопределенными коэффициентами и, подставляя (4.8.55) в ( 4.8.43), выразить все коэффициенты через k из них, которые остаются произвольными.

Полагая поочередно один из этих произвольных коэффициентов равным единице, а остальные равными нулю, мы построим k линейно независимых решений, соответствующих характеристическому числу λ1. Все эти ч а- стные решения будут составлены из произведений показательной функции

eλ1x на полиномы от x, степени которых не превышают k – 1.Если же полиномы в формулах (4.8.54) вырождаются в постоянные числа, то мы получим k линейно независимых частных решений такого же вида, как и в случае простого корня характеристического уравнения.

Если λ1 – вещественное характеристическое число, то построенные выше k линейно независимых решений будут вещественными.

Если же система (4.8.43) имеет комплексное характеристическое число a + ib кратности k, то оно имеет сопряженное характеристическое число a – ib той же кратности. Построив k линейно независимых комплексных решений, соответствующих характеристическому числу a + ib, и отд е- лив в них вещественные и мнимые части, мы получим 2k вещественных линейно независимых частных решений.

Всего получается n вещественных решений. Все эти решения линейно

независимы в интервале (−∞, +∞), так что они образуют фундаментальную систему решений. Взяв линейные комбинации решений этой фундаментальной системы по столбцам с одними и теми же произвольными постоянными C1, C2,..., Cn, мы получим общее решение системы (4.8.43) в области (4.8.51).

482

Контрольные вопросы и задания для самопроверки

1.Дайте понятия дифференциального уравнения и его решения.

2.Дайте понятия общего, частного и особого решения, а также общего интеграла дифференциального уравнения.

3.Сформулируйте задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка и теорему единственности решения такой задачи.

4.Дайте понятие дифференциального уравнения с разделяющимися переменными его особенности и метод решения.

5.Дайте понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка его особенности и метод решения, а также уравнения приводящегося

кнему.

6.Дайте понятие линейного дифференциального уравнения его особенности и метод решения.

7.Объясните сущьность метода Лагранжа для уравнения первого

порядка и его применимость.

8.Дайте понятие дифференциального уравнения Бернулли его особенности и метод решения.

9.Дайте понятие дифференциального уравнения в полных дифференциалах его особенности и метод решения.

10.Дайте классификацию основных уравнений высших порядков допускающие понижение порядка, их особенности и методы решения.

11.Сформулируйте основные особенности линейного уравнения n-го порядка и методы его решения.

12.Сформулируйте основные особенности однородного линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и методы его решения.

13.Сформулируйте основные особенности неоднородного линейного

уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и методы его решения.

14.Объясните сущьность метода Лагранжа для уравнения n-го порядка

иего применимость.

15.Дайте понятия системы дифференциальных уравнений и ее

решения.

16.Дайте понятия общего, частного и особого решения, а также общего интеграла системы дифференциальных уравнений.

17.Дайте классификацию систем обыкновенных дифференциальных уравнений, их особенности.

18.Сформулируйте основные особенности линейной системы дифференциальных уравнения с постоянными коэффициентами и методы ее решения.

677

ЛЕКЦИЯ 5.6. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА. РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В РЯД ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА

......................................................................................................................... 712

5.6.4. Разложение тригонометрических функций в ряд Маклорена

5.6.6. Разложение обратных тригонометрических функций в ряд

ЛЕКЦИЯ 5.7. ПРИЛОЖЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ НА [–L ; L] И НА [–Π ; Π]. ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ

5.8.4. Приближение функций в среднем. Экстремальное свойство

5.8.5. Тригонометрические ряды Фурье для периодической функции

5.8.9. Разложение функций заданных на промежутке [0, l] в ряд

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

......................................................................................................................... 749

678

РАЗДЕЛ 5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ЛЕКЦИЯ 5.1. ЧИСЛОВОЙ РЯД: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ПОНЯТИЕ СХОДИМОСТИ И СУММЫ РЯДА. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ. НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ И ЕГО СЛЕДСТВИЕ

Если все члены числового ряда (5.1.1) un >0, то ряд называется знако-

положительным. Если un < 0 – то знакоотрицательным. Эти ряды назы-

ваются знакопостоянными.

Если среди un есть положительные и отрицательные члены, то ряд на-

зывается знакопеременным. Ряд считается заданным, если известно правило, по которому для любого номера n можно записать соответствующий член

ряда. Чаще всего общий член ряда задается формулой un f n , т.е. каждый

член ряда можно рассматривать как функцию номера своего места. Зная общий член ряда, можно записать любой его член.

Пример 1. Дан общий член ряда un 2 3n 1. Написать первые четыре члена ряда.

Решение. Если n 1,то u1 2 30 2;

n 2 ,то u2 2 31 6 ; n 3 ,то u3 2 32 18 ;

n 4 ,то u4 2 33 54;

Ряд можно записать в виде 2 6 18 54 ...

679

Пример 2. Найти общий член ряда 12 232 253 274 ...

Решение. Числители образуют арифметическую прогрессию 1,3,5,7...; n-й член прогрессии находим по формуле аn а1 d(n 1) , гдеа1 1, d 2 . Поэтому аn 2n 1. Знаменатели образуют геометрическую прогрессию 2 ,

22 , 23 , 24 ,...; n-й член этой прогрессии bn 2n .Следовательно, общий член

2n n 1.

2

Иногда ряд задается при помощи рекуррентного соотношения, связывающего последующий член ряда с предыдущими. При этом задаются несколько первых членов ряда и формула, по которой находятся следующие

члены ряда. Пусть и1 1, и2 12 и рекуррентная формула

иn 12 иn 1 13 иn 2 .

Последовательно находим и3 12 12 13 1 127 , и4 12 127 13 12 1124 и

т.д.

Ряд будет иметь вид: 1 12 127 1124 L

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается Sn т.е.

Sn и1 и2 и3 ... иn .

Таким образом, S1 и1,

S2 и1 и2 ,

S3 и1 и2 и3 ,

……………………

Sn и1 и2 и3 ... иn ,

Определение. Если для последовательности Sn частичных сумм ряда

(5.1.1) существует конечный предел lim Sn S , то ряд (5.1.1) называется

n

сходящимся, а число S – суммой данного ряда. Если предел последовательности не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

Пример 3. Найти сумму ряда

Решение.

680

Представим общий член ряда в виде суммы двух дробей, т.е. разложим

Значит, данный ряд сходится, и его сумма S=2.

Одним из простейших, но часто встречающихся рядов, является ряд, составленный из членов геометрической прогрессии:

a aq aq2 K aqn 1 K , (a ≠ 0)

где a – первый член прогрессии; q–знаменатель прогрессии. Известно, что частичная сумма этого ряда при q 1 равна

Sn a aq aq2 ... aqn 1 a aqn . 1 q

Исследуем сходимость ряда при различных q.

Если q 1, то lim qn 0 и, следовательно,

n

681

Если q 1, то ряд имеет вид a a a a ... ( 1)n 1 a ... .

Его частичная сумма принимает следующие значения S1= a, S2= 0, S3=

a, S4= 0 и т.д..

Т.е. его частичная сумма Sn 0 при n – чётном, а при n – нечётном, nlim Sn не существует, ряд расходится. Итак, числовой ряд, составленный из

членов геометрической прогрессии, является сходящимся рядом при q 1 и

Ряд сходится, и сумма ряда S 43 .

5.1.1. Простейшие свойства сходящихся числовых рядов

Теорема 1. Если числовой ряд (5.1.1) сходится и имеет сумму S, то ряд au1 au2 au3 ... aun ..., (5.1.2)

где a – заданное число, также сходится, и его сумма равна a S. Доказательство. Пусть Sn есть n-я сумма ряда (5.1.1), а Gn n-я частич-

n 1