Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

682

имеет сумму S G .

Доказательство. Обозначим частичные суммы рядов (5.1.1), (5.1.3),

Если сходится данный ряд (5.1.1), то сходится и ряд (5.1.5), полученный из ряда (5.1.1) путём отбрасывания конечного числа k его первых членов. Обратно, если сходится ряд (5.1.5), то сходится и данный ряд (5.1.1).

Доказательство. Обозначим через Sn сумму n первых членов ряда

Gn k uk 1 uk 2 ... un.

Следовательно,

ряд (5.1.1) сходится.

Из теоремы 3 следует, что на сходимость (расходимость) ряда не влияет отбрасывание или добавление конечного числа членов.

Операции суммирования рядов и умножение ряда на число называются

линейными операциями над рядами.

5.1.2. Остаток ряда

Пусть сумма сходящего числового ряда (5.1.1) равна S.

683

Разность между суммой ряда S и его частичной суммой Sn называется

остатком ряда и обозначается Rn S Sn . Сумма остатка ряда будет равна

lim Rn 0 . Сумму сходящегося ряда можно представить в виде S Sn Rn .

n

Отсюда следует, что:

–при достаточно большом n S Sn ,

–остаток ряда Rn есть погрешность, совершаемая при замене суммы ряда S её частичной суммой Sn .

Сходимость числового ряда можно установить непосредственно из определения, т.е. найти предел nlim Sn в тех случаях, когда известна зависи-

мость Sn от n .Далеко не всегда удается найти эту зависимость, поэтому для определения сходимости числовых рядов существует ряд признаков.

5.1.3. Необходимый признак сходимости ряда

Теорема 5. Если ряд un сходится, то его общий член при

n 1

n стремится к нулю, т.е. nlim un 0 . Эта теорема носит название необхо-

димого признака сходимости ряда.

Доказательство. Пусть дан сходящийся ряд (5.1.1), имеющий сумму

S .

Рассмотрим его частичные суммы:

Sn u1 u2 ... un 1 un , Sn 1 u1 u2 ... un 1.

Отсюда un Sn Sn 1.

Но nlim Sn S, nlim Sn 1 S,

Поэтому lim un S S 0 ,

n

Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если общий член ряда не стремится к нулю при n , то ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда:

Условие lim un 0 является необходимым для сходимости ряда, но не

n

достаточным. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для кото-

Для доказательства воспользуемся вторым замечательным пределом

lim (1 1)n e .

n n

(1 1n)n – монотонно возрастающая величина при n .Известно, что

(1 1n)n e на [1, ∞).

Прологарифмируем это неравенство по основанию e: ln(1 1n)n ln e , nln n n 1 1, ln(n 1) ln n 1n .

Будем придавать n натуральные значения: 1, 2, 3,…, получим ln 2 1,

ln3 ln 2 12 , ln 4 ln3 13 ,

ln 5 ln 4 14 ,

……………….

ln n ln(n 1) n 1 1, ln(n 1) ln n 1n .

Сложим неравенства и получим ln(n 1) 1 12 13 ... 1n Sn ,

685

где Sn – частичная сумма гармонического ряда; lim ln(n 1) , тогда

n

Sn при n , т.е. гармонический ряд расходится.

686

ЛЕКЦИЯ 5.2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЯДОВ. ПРИЗНАКИ СРАВНЕНИЯ, ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА

Для знакоположительных рядов справедлива теорема.

Теорема 1. Если частичные суммы ряда с положительными членами ограничены сверху, то ряд сходится.

Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости положительных рядов.

5.2.1. Признак сравнения рядов Теорема 2. Пусть даны два ряда с положительными членами:

n 1

и каждый член ряда (5.1.1) не больше соответствующего члена ряда (5.1.3), т.е. un v n (n 1,2,3...) .Тогда а) если сходится ряд (5.1.3), то сходится

и ряд (5.1.1), и его сумма не превосходит суммы ряда (5.1.3); б) если расхо-

дится ряд (5.1.1), то расходится и ряд (5.1.3).

Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Обозначим частичные суммы данных рядов, соответственно, Sn и Gn . По условию ряд

(5.1.3) сходится, т.е. nlim Gn G , Gn G где G – сумма ряда (5.1.3). По усло-

вию un vn , тогда Sn Gn G , т.е. последовательность Sn ограничена свер-

ху. Следовательно, возрастает и на (1, ∞) она имеет придел, т.е. lim Sn S , и

n

ряд (5.1.1) сходится.

Итак, если члены данного ряда не превосходят соответствующих чле-

нов сходящегося ряда, то данный ряд сходится.

При доказательстве второй части теоремы исходим из того, что по условию ряд (5.1.1) расходится, т.е. Sn при n , но Gn Sn в силу того,

что un vn , следовательно, и последовательность частичных сумм Gn

при n , ряд (5.1.3) расходится. Таким образом, если дан расходящийся

ряд, и его члены не превосходят соответствующих членов другого ряда, то

второй ряд тоже расходится.

При исследовании рядов с помощью признаков сравнения необходимо иметь для сравнения ряды, сходимость или расходимость которых известна.

Примеры. Исследовать сходимость рядов:

ставленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем sin 2n 2n .

По признаку сравнения рядов и ряд sin 2 sin 4 sin 8 ... sin 2n ...

сходится.

2. 1 12 13 ... 1n ...

Решение. Сравним его с гармоническим рядом 1 12 13 ... 1n ..., ко-

торый расходится. 1n 1n при всех n . Следовательно, по признаку сравне-

ния и данный ряд расходится.

Для выяснения вопроса о сходимости ряда обычно пытаются сравнить его с одним из «стандартных» рядов, которыми являются геометрическая

прогрессия и обобщёный гармонический ряд 1p , сходящийся при p>1 и

n 1 n

расходящийся при p 1.

5.2.2. Предельный признак сравнения рядов

Теорема 3. Пусть для рядов (5.1.1) и (5.1.3) с положительными членами существует предел

lim un l , где 0 l ; иn >0; vn >0.

n vn

Тогда ряды (5.1.1) и (5.1.3) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Из определения предела lim un l для любого поло-

n vn

жительного , например, 0 l , найдётся такой номер, при котором для

688

т.к. vn 0 , то (l )vn un (l )vn .

Рассмотрим правую часть двойного неравенства un (l )vn . Из сходимости ряда (5.1.3), согласно теореме 1 простейших свойств сходящихся

рядов следует сходимость ряда (l )vn , а значит, по признаку сравнения

n 1

ряд (5.1.1) сходится. Если ряд (5.1.3) расходится, то расходится ряд

(l )vn и, следовательно, ряд (5.1.1).

n 1

Аналогично доказывается, что из сходимости (расходимости) ряда (5.1.1) следует сходимость (расходимость) ряда (5.1.3).

Примеры. Исследовать на сходимость ряды:

1. sin .

n 1 n

Решение. Сравним этот ряд с гармоническим рядом 1 . Воспользу-

n 1 n

следовательно, данный ряд сходится, т.к. сходится ряд 12 .

n 1 n

5.2.3. Признак Даламбера

689

Теорема 4. Пусть дан ряд с положительными членами (5.1.1) un 0 . Если при n существует предел отношения последующего члена к пре-

дыдущему, равный , т.е. lim un 1 ,то

n un

1) при 1 ряд сходится; 2) при 1 ряд расходится; 3) при 1 дан-

ный признак не даёт ответ на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство. Пусть 1. В силу определения предела последова-

тельности для любого малого >0 можно выбрать такое N, что при всех n N будет справедливо неравенство

тают, начиная с номера N 1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Следовательно, данный ряд расходится, т.к. не выполяется необходимый признак сходимости рядов.

При 1 признак Даламбера на вопрос о том, сходится или расходится

ряд, ответа не даёт. Как показывают примеры, в этом случае может иметь место как сходимость, так и расходимость.

690

Примечание. Если lim un 1 , то ряд также расходится, т.к. в этом

n un

32n 1

2.n 1 23n 1 .

Решение. Вычислим lim un 1 :

n un

расходится.

691

ЛЕКЦИЯ 5.3. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ: РАДИКАЛЬНЫЙ И ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАКИ КОШИ. ОБОБЩЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД

5.3.1. Радикальный признак Коши

Теорема 1. Пусть для ряда с положительными членами (5.1.1) сущест-

вует предел lim n un l , тогда

n

–при l 1 ряд сходится;

–при l 1 ряд расходится;

–при l 1 данный признак ответ о сходимости ряда не даёт. Доказательство. Из определения предела последовательности следует,

сходится.

2. arcsinn 1 .

n 1 n

Решение. Найдём