Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

469

и поставлены начальные условия (4.8.7),

y1= y1(0), y2= y2(0),…, yn= yn(0) при x=x0.

Предположим, что функции, стоящие в правых частях системы (4.8.2), определены в некоторой замкнутой ограниченной области R:

с точкой (x0, y1(0), y2(0),..., yn(0)) внутри (a и b – заданные положительные числа) и удовлетворяют в этой области следующим двум условиям:

1. Функции fk(x, y1, y2,…,yn) (k=1,2,…,n) непрерывны по всем своим аргументам и, следовательно, ограничены, т. е.:

где К – постоянное положительное число, а (x, y1, y2,…,yn) – любая точка области R.

При этих предположениях система (4.8.2) имеет единственное решение

(4.8.5).

Определение 7. Совокупность n функций

470

определенных в некоторой области изменения переменных x, C1, C2,...,Cn имеющих непрерывные частные производные по x, будем называть общим решением системы (4.8.2) в области D, если система (4.8.10) разрешима относительно произвольных постоянных C1, C2,...,Cn в области D, так что при любых значениях x, y1, y2,..., yn, принадлежащих области D, системой (4.8.10) определяются значения C1, C2,...,Cn, и если совокупность n функций (4.8.10) является решением системы (4.8.2) при всех значениях произвольных постоянных C1, C2,...,Cn, когда точка (x, y1, y2,..., yn) пробегает область D.

Определение 8. Если решение системы (4.8.2) состоит только из точек единственности решения задачи Коши для этой системы, то такое решение называется частным решением.

Решение, получающееся из формулы общего решения при частных числовых значениях произвольных постоянных C1, C2,...,Cn, будет, очевидно, частным решением.

Определение 9. Решение системы (4.8.2), в каждой точке которого нарушается единственность решения задачи Коши для этой системы,

называется особым решением.

4.8.2. Линейные системы дифференциальных уравнений

4.8.2.1. Однородные линейные системы

Рассмотрим один специальный класс нормальных систем дифференциальных уравнений – линейные системы дифференциальных уравнений. Это системы вида:

Будем предполагать, что в системе (4.8.11) коэффициенты pkj(x) (k=1,2,…n) и функции fk(x) (k=1,2,…n) непрерывны в интервале (a, b). Тогда,

471

согласно теореме Пикара система (4.8.11) имеет единственное решение задачи Коши для этой системы, и это решение будет определено во всем интервале непрерывности функций pkj(x) и fk(x).

Особых решений линейная система (4.8.11) не имеет. Всякое решение этой системы является частным решением.

Если все функции fk(x)≡0 в (a, b), то система (4.8.11) называется однородной. В этом случае система принимает вид:

Если же в системе (4.8.11) не все функции fk(x)≡0 в (a, b), то такая система называется неоднородной.

Общая теория линейных систем во многом аналогична общей теории линейного уравнения n-го порядка. Наша окончательная задача состоит в нахождении всех вещественных решений системы (4.8.12). Однако для реш е- ния этой задачи так же, как и в случае однородного линейного уравнения n- го порядка введем некоторые понятие.

Решения однородной системы (4.8.12) обладают следующими характерными свойствами, аналогичными свойствам решений однородного линейного уравнения n-гo порядка.

1. Если

где C – произвольная постоянная, тоже будет решением этой системы,

т. е. умножая все функции, составляющие решение однородной системы, на одну и туже постоянную мы снова получаем решение.

2. Пусть дано m решений системы (4.8.12), записанных в виде таблицы:

Здесь первый индекс обозначает номер решения, а второй – номер функции. Например, y12 – вторая функция первого решения.

Из линейности системы (4.8.12) следует, что линейная комбинация решений (4.8.15) c любыми постоянными коэффициентами C1, C2,…,Cm, т. е. совокупность функций

i=1

тоже будет решением системы (4.8.12).

472

Предположим теперь, что нам известно n частных решений однородной системы (4.8.12). Поставим основной вопрос: при каком условии линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными коэффициентами C1,C2,...,Cn даст общее решение однородной системы. Чтобы ответить на поставленный вопрос, введем понятие о линейной независимости систем функций.

Определение 10. Рассмотрим m систем функций:

Эти системы называются линейно независимыми в интервале, (a, b),

если не существует чисел α1, α2,…, αm, не равных одновременно нулю, при которых для всего интервала (a, b) выполнялись бы соотношения:

i=1

впротивном случае системы (4.8.17) называются линейно зависимыми

в(a, b).

Пусть мы имеем n систем функций:

Этот определитель называется определителем Вронского для систем функций (4.8.19) или вронскианом этих систем функций.

Теорема. Если n систем функций (4.8.19) линейно зависимы в интерва-

ле (a, b), то W(x) = 0 в (a, b).

Пусть теперь каждая из систем функций (4.8.19) является решением системы (4.8.12).

Теорема. Если n решений (4.8.19) линейно независимы в интервале (a, b), в котором определены и непрерывны Pkj(x) (k=1,2,…n) то их вронскиан не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала.

Из этой теоремы следует, что для того, чтобы n решений системы

473

(4.8.12) были линейно независимы в интервале (a, b), необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан не обращался и нуль ни в одной точке этого интервала.

Однако для установления линейной независимости n решений системы (4.8.12) достаточно убедиться, что W(x) отличен от нуля хоть в одной точке интервала (a, b). Это вытекает из следующих двух замечательных свойств вронскиана n решений системы (4.8.12).

1.Если W(x) обращается в нуль хоть в одной точке интервала (a, b), т. е. интервала непрерывности коэффициентов системы (4.8.12), то W(x) равен нулю во всех точках этого интервала.

2.Если W(x) не равен нулю хоть в одной точке интервала, (a, b); то он не обращается в нуль ни в одной точке интервала (a, b).

Таким образом, для линейной независимости n решений системы (4.8.12) в интервале (a, b) необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан был отличен от нуля хоть в одной точке этого интервала.

Определение 11. Совокупность n решений однородной системы (4.8.12), определенных и линейно независимых в интервале (a, b), называется

фундаментальной системой решений в этом интервале.

Так же, как и в случае однородного линейного уравнения n-го порядка, знание фундаментальной системы решений дает возможность построить общее решение системы (4.8.12).

Основная теорема. Если

есть фундаментальная система решений однородной линейной системы (4.8.12) в интервале (a, b), то формулы

i=1

где C1, C2,...,Cn – произвольные постоянные, дают общее решение системы (4.8.12) в области

т. е. во всей области задания системы (4.8.11).

4.8.2.2. Неоднородные линейные системы

Рассмотрим теперь неоднородную систему

474

i=1

где {zik} – некоторая фундаментальная система решений этой однородной системы.

Подставляя (4.8.31) в (4.8.28), получаем:

i=1

Можно показать, что все решения системы (4.8.25) содержатся в формуле (4.8.32). Эта формула представляет собою общее решение системы (4.8.25) во всей области задания системы (4.8.25).

Таким образом, для нахождения общего решения неоднородной системы (4.8.25) достаточно найти одно какое-либо частное решение этой системы и прибавить к нему общее решение соответствующей однородной системы

(4.8.30).

477

где γ1, γ2,…, γn и λ – некоторые постоянные числа, причем числа γ1,

γ2,…, γn не равны нулю одновременно, ибо в противном случае мы получили бы очевидное нулевое решение, которое не может входить в состав фундаментальной системы и, следовательно, не может быть использовано для построения общего решения.

Обратим особое внимание на то, что число λ мы берем одно и то же для всех функций, составляющих решение.

Подставляя функции (4.8.44) в систему (4.8.43), сокращая на eλx и пере-

нося все члены направо, получим для определения чисел γ1, γ2,…, γn следующую систему:

Нас интересует ненулевое решение этой системы. Такое решение существует лишь при условии, что определитель системы равен нулю, т. е. при условии

Уравнение (4.8.46) называется характеристическим уравнением сис-

темы (4.8.43), его корни – характеристическими числами, а определитель ∆(λ) – характеристическим определителем.

Рассмотрим сначала случай, когда все характеристические числа λ1,

λ2,...,λn различны и вещественные. В этом случае имеем: ∆(λi) = 0, но ∆′(λi)

≠ 0 (i=1,2,…n). Вследствие этого ранг матрица составленной из коэффициентов системы

которая получается из системы (4.8.45) после замены в ней λ на λi равен n − 1.

Поэтому одно из уравнений системы (4.8.47) есть следствие остальных и эта система имеет ненулевое решение, определенное с точностью до произ-

478

Например, в качестве γik можно взять алгебраические дополнения эле-

ментов любой строки определителя ∆(λi), если не все они равны нулю. Фи к- сируя в формулах (4.8.48) множитель Ai мы получим определенное решение системы (4.8.47).

Подставляв теперь в (4.8.44) вместо λ последовательно характеристи-

ческие числа λi, а вместо γ1, γ2,…, γn – соответствующие им решения системы (4.8.47), определяемые формулами (4.8.48) при фиксированных множителях Ai, получим n решений:

Эти решения линейно независимы в интервале (−∞, + ∞).

Если при этом все корни λ1, λ2,…,λn вещественны, то все решения (4.8.49) тоже будут вещественными.

Таким образом, в случае различных вещественных корней характеристического уравнения система (4.8.43) имеет n вещественных линейно независимых частных решений вида (4.8.49), так что последние образуют фундаментальную систему решений.

Поэтому, формулы

дают общее решение системы (4.8.43) в области

Если характеристические числа различные, но среди них есть комплексные, то последние входят сопряженными парами. Пусть a + ib и a−ib – простые корни характеристического уравнения. Корню a + ib соответствует решение

(4.8.52)