Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

832

w z2 x iy 2 x2 y2 2ixy .

Таким образом, u x2 y2 , v 2xy . Проверяем условия Коши-Римана

(7.1.5):

Условия (7.1.5) выполняются во всех точках комплексной плоскости. Функция w z2 дифференцируема, следовательно, аналитична во всех точках этой плоскости. Ее производную найдем по одной из формул (7.1.6), например, по первой:

z2 x x2 y2 i x 2xy 2x i2 y 2(x iy) 2z .

Т.е. z2 2z .

7.1.6. Интегрирование функции комплексного переменного

Пусть w f (z) u(x, y) iv(x, y) – функция комплексного переменного

z, определенная в некоторой области и L – кусочно-гладкая кривая, лежащая в этой области. Разобьем эту кривую на n частей zk 1 , zk точками z0 , z1 ,..., zn ,

пронумерованными в направлении от z0 - начальной точки кривой L, до zn -

конечной точки L (рис. 7.1.3), и на каждой части выберем какую-нибудь точ-

ку Сk (k=1,2,…,n).

z1 z0

x

xk 1 xk

Рис. 7.1.3

Предел такой интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшей из элементарных дуг, называется интегралом от функции f (z) по

контуру L.

Определение 15. Интегралом от функции f (z) по кривой L называется предел

n

где zk - длина ломаной z0 z1...zn , вписанной в кривую L.

k 1

Теорема 3 (Теорема Коши). Если функция f (z) аналитична в некоторой односвязной области D, то интеграл от f (z) по любому замкнутому кон-

туру L, лежащему в области D, равен нулю, т.е.

f (z)dz 0.

L

Доказательство. Докажем теорему, предполагая непрерывность производной f (z). По формуле (7.2.3) имеем:

f (z)dz udx vdy i vdx udy.

L L L

В силу аналитичности f (z) =u+iv и непрерывности f (z)в односвязной

области D, функции u=u(x,y) и v=v(x,y) непрерывны и дифференцируемы в этой области и удовлетворяют условиям Коши-Римана:

L

vdx udy . Следовательно,

L

f (z)dz 0.

L

Теорема Коши допускает распространение на случай многосвязной области.

Следствие. Если функция f (z) аналитична в односвязной области D,

то интеграл от нее не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от начальной точки z0 и конечной точки z пути интегрирования.

835

Доказательство. Действительно, пусть L1 и L2 - две кривые в области

куда f (z)dz f (z)dz .

В таких случаях, когда интеграл зависит только от начальной точки и конечной точки пути интегрирования, будем пользоваться обозначением

z

f (z)dz f (z)dz .

z

Если здесь зафиксировать точку z0 , а точку z изменять, то f (z)dz бу-

z0

z

дет функцией от z. Обозначим эту функцию через F(z): F(z) f (z)dz .

z0

Можно доказать, что если функция f (z) аналитична в односвязной области D, то функция F(z) также аналитична в D, причем

Можно показать, что если F(z) есть некоторая первообразная для f (z) , то совокупность всех первообразных f (z) определяется формулой F(z)+C,

где С =const.

Определение 17. Совокупность всех первообразных функции f (z) называется неопределенным интегралом от функции f (z) и обозначается символом f (z)dz , т.е.

f (z)dz F(z) C, где F (z) f (z).

Как и в вещественном анализе, для функции комплексного переменного справедлива формула Ньютона-Лейбница:

z

f (z)dz F(z) F(z0 ) .

z0

Пример 6. Вычислить интеграл J Im zdz , где L:

L

1)отрезок прямой от точки 0 до точки 1+2i;

2)дуга параболы y 2x2 от точки 0 до точки 1+2i.

Решение. 1) так как L – отрезок прямой y 2x и Im z y , то

836

интеграл f (z)dz , вообще говоря, зависит не только от точек z0 и z1 , а также

L

и от вида кривой L.

7.1.7. Интегральная формула Коши

Теорема 4. Пусть функция f (z) – аналитична в односвязной замкну-

той области D с кусочно – гладкой границей L. Тогда справедлива формула:

f (z0 ) 21 i zf (zz) dz, (7.1.9)

L 0

где z0 – любая точка внутри области D, а интегрирование по контуру L производится в положительном направлении (против часовой стрелки) (рис. 7.1.4).

Рис. 7.1.4.

Интеграл в правой части равенства (7.1.9) называется интегралом Коши, а сама формула называется интегральной формулой Коши.

Формула Коши (7.1.9) является одной из важнейших в теории функции комплексного переменного. Она позволяет находить значения аналитической

837

функции f (z) в любой точке z0 , лежащей внутри области D через ее значе-

ния на границе этой области.

Уникальность ситуации, которую улавливает интегральная формула Коши, заключается в том, что (7.1.9) можно продифференцировать по параметру z0 и получить

потом снова продифференцировать (7.1.9) по z0, получить формулу для второй производной и так до бесконечности

f (n) (z0 ) 2n!i L z z0 n 1 dz.

В результате выявляется уникальная вещь. Аналитическая функция оказывается бесконечно дифференцируемой сама по себе, без каких бы то ни было дополнительных требований. Интеграл Коши дает наиболее простой ключ к пониманию этого факта. Функция f (z) в силу (7.1.9) определяется

интегрированием самое себя, а поскольку интеграл обладает улучшающими свойствами (из непрерывной функции делает дифференцируемую), то f (z)

обязана быть лучше, чем того можно ожидать. Выход из положения один – быть «бесконечно хорошей». Напомним при этом, что из дифференцируемости действительной функции не следует даже существования второй производной.

7.1.8. Ряды Тейлора и Лорана

Теорема 5. В окрестности каждой точки z0 , где существует производная f (z0 ) , функция f (z) может быть представлена сходящимся рядом

Тейлора дифференцируемой в точке z0 функции существует и сходится к са-

мой функции. Заметим, что ряд Тейлора для действительной функции может сходиться к другой функции или быть расходящимся.

Как и в действительном анализе, для комплексной переменной вводятся понятия числового и степенного рядов, частичной суммы ряда, остатка ряда, радиуса и области сходимости, а также теорема Абеля, признаки Коши и Даламбера, необходимый признак сходимости ряда.

838

может быть единственным образом разложена в этом круге в степенной ряд

где L – произвольная окружность с центром в точке z0 , лежащая внутри кру-

га.

Определение 18. Степенной ряд (7.1.12) с коэффициентами вида

(7.1.13) называется рядом Тейлора.

Определение 19. Точка z0 называется нулем функции f (z) если

f (z0 ) 0 .

Теорема 7. Всякая аналитическая в кольце r z z0 R функция f (z) может быть разложена в этом кольце в ряд

где L – произвольная окружность с центром в точке z0 , лежащая внутри

кольца.

Ряд такого вида называется рядом Лорана.

Можно доказать, что функция f (z) , аналитическая в данном кольце, разлагается в ряд Лорана единственным образом. При этом функция f (z) может быть представлена в виде суммы:

839

z z0 R . Ряд, определяющий функцию f2 (z) , называется главной частью ряда Лорана и сходится к аналитической функции f2 (z) вне круга z z0 r .

Если функция f (z) не имеет особых точек внутри круга z z0 R , то ее разложение в ряд Лорана обращается в ряд Тейлора.

7.1.9. Изолированные особые точки

Напомним, что особой точкой функции f (z) называется точка, в кото-

рой функция не является аналитической.

Определение 20. Пусть однозначная f (z) аналитична в некоторой проколотой окрестности точки z0 , но не аналитична в точке z0 . В этом случае точка z0 называется изолированной особой точкой функции f (z) .

Определение 21. Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой функции f (z) , если f (z) однозначная аналитическая

Если z0 – изолированная особая точка функции f (z) , то существует

Определение 22. Изолированная особая точка z0 (конечная или бесконечная) функции f (z) называется

1) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

lim f (z) ;

z z0

2) полюсом, если lim f (z) ;

z z0

3) существенно особой точкой, если предел lim f (z) не существует.

z z0

Изолированная особая точка является устранимой особой точкой для функции f (z) тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана функ-

ции f (z) в окрестности особой точки равна нулю (т.е. равны нулю все коэф-

фициенты главной части), т.е.: а) для особой точки z0 :

f (z) ck (z z0 )k c0 c1 (z z0 ) c2 (z z0 )2 ... ;

k 0

б) для бесконечно удаленной точки :

840

Изолированная особая точка является полюсом для функции f (z) тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана функции f (z) в окрест-

ности этой точки содержит конечное (отличное от нуля) число ненулевых членов, т.е.:

а) для особой точки z0 :

б) для бесконечно удаленной точки :

Изолированная особая точка является существенно особой точкой функции f (z) тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана функ-

ции f (z) в окрестности этой точки содержит бесконечное число ненулевых членов с отрицательными степенями z z0 .

Определение 23. Число m (наибольшая из степеней слагаемых в главной части ряда Лорана) называется порядком полюса. При m = 1 точку z0 на-

зывают еще простым полюсом.

Точка z0 является полюсом m – го порядка функции f (z) тогда и только тогда, когда функция f (z) представима в виде частного

f (z) (z) m , z z0

где функция (z) аналитична в точке z0 . Кроме того, точка z0 – полюс порядка m функции f (z) , если

lim(z z0 z z0 )m f (z) c 0.

7.1.10. Вычеты

Определение 24. Пусть z0 – изолированная особая точка функция

z z0 R , ориентированный против часовой стрелки и содержащей в себе точку z0 .