Конспект лекций Высшая математика (Басканова)

Пример 3. Показать, что векторное поле a z y i xy j xz k является соленоидальным.

Решение. Согласно определению, поле вектора a - соленоидально, если div a 0. Проекции векторного поля на координатные оси равны:

тогда

div a 0 x x 0 .

Следовательно, данное поле не имеет источников и является соленоидальным.

6.6.3.3. Гармоническое поле

Определение 3. Векторное поле F P,Q, R называют гармоническим,

если оно не имеет вихрей:

rotF 0 ,

т.е. является потенциальным, и не имеет источников: div F 0 ,

т.е. является трубчатым.

Так как гармоническое поле одновременно является и потенциальным и трубчатым, то оно обладает свойствами обоих этих полей. Кроме того, гармоническое поле имеет свое особое свойство. Его потенциалом, в отличие от потенциального, может быть не любая дифференцируемая функция, а только такая, которая удовлетворяет уравнению Лапласа. Это вытекает из следующего: поскольку гармоническое поле потенциальное, оно образовано градиентами

F gradu(x, y, z) .

Однако гармоническое поле трубчатое, оно не имеет источников, следовательно,

div gradu(x, y, z) 0 ,

что приводит к уравнению Лапласа:

Функции, которые являются решением уравнения Лапласа, получили название гармонических. Таким образом, потенциалом гармонического векторного поля являются гармонические функции.

Пример 4. Показать, что векторное поле

а y z i x z j x y k

гармоническое.

Решение. Гармоническое поле не имеет источников и вихрей, т.е. является одновременно потенциальным и соленоидальным. Поэтому нужно найти ротор и дивергенцию. Координаты векторного поля равны:

Так как rot a 0 , то поле потенциально. Вычислим дивергенцию:

div a y z x z x y 0 0 0 0 .

x y z

Данное поле не имеет источников и вихрей, т.е. является гармониче-

ским.

Пример 5. Показать, что функция u 3x2 z 2xy z3 является потен-

циалом гармонического поля.

Решение. Если данная функция – потенциал гармонического поля, то

последнее должно обратиться в тождество.

814

Подставляя найденные значения производных в уравнение Лапласа, получим 6z 0 6z 0 .

Уравнение обратилось в тождество. Данная функция является потенциалом гармонического поля.

Вывод: мы ввели новые понятия – оператор набла и оператор Лапласа, научились оперировать ими. А также рассмотрели различные типы векторных полей – потенциальное, соленоидальное и гармоническое поля, привели примеры таких полей.

815

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНАЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Дать определение скалярного и векторного поля

2.Геометрическая характеристика скалярного поля. Определение и формулы для поля и плоского поля.

3.Числовая характеристика скалярного поля. Определение и формулы для поля и плоского поля.

4.Объяснить физический смысл производной по направлению

5.Векторная характеристика скалярного поля. Определение

6.Физический смысл градиента Свойства градиента

7.Геометрическая характеристика векторного поля. Определение

8.Определение дивергенции векторного поля

9.Сформулировать теорему Остроградского-Гаусса

10.Дать определение циркуляции

11.Дать определение ротора векторного поля

12.Сформулировать теорему Стокса

13.Соленоидальное поле и его свойства

14.Потенциальное поле и его свойства

15.Гармоническое поле

16.Могут ли разные скалярные поля обладать одним и тем же набором поверхностей уровня?

17.Могут ли разные поверхности уровня скалярного поля U пересе-

каться?

18.Может ли у разных векторных полей быть один и тот же набор векторных линий?

19.Найти производную скалярного поля U в направлении градиента скалярного поля V

20.Какова связь между поверхностями уровня скалярного поля U и векторными линиями gradU ?

21.Верно ли, что если линия, уравнение которой x2 y 2 1, является

линией уровня некоторого скалярного поля U, то линия x2 y 2 2 тоже является линией уровня того же скалярного поля?

22.Верно ли, что если в области ротор векторного поля F равен 0, то циркуляция этого векторного поля F по любому замкнутому контуру L, расположенному в равна 0?

23.Привести пример векторного поля:

а) потенциального и соленоидального б) потенциального, но не соленоидального

в) не потенциального, но соленоидального г) не потенциального и не соленоидального

816

24. Верно ли, что векторное произведение соленоидальных полей – потенциальное векторное поле?

817

РАЗДЕЛ 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

ЛЕКЦИЯ 7.1 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

7.1.2 Предел и непрерывность функции комплексного переменного

...................................................................................................................... 820 7.1.3. Основные элементарные функции комплексного переменного

...................................................................................................................... 821

7.1.3.6. Обратные тригонометрические и гиперболические функции

...................................................................................................................... 828

ЛЕКЦИЯ 7.2. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ: МЕТРИЧЕСКИЕ, НОРМИРОВАННЫЕ, ЛИНЕЙНЫЕ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТАНСТВА; ПОЛНОТА И ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ; ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТБРАЖЕНИЙ; ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА СЖАТЫХ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

......................................................................................................................... 870

819

РАЗДЕЛ 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА.

ЛЕКЦИЯ 7.1 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. РЯД ЛОРАНА, ВЫЧЕТЫ

7.1.1. Основные понятия

Пусть даны два множества D и G, элементами которых являются комплексные числа. Числа z=x+iy множества D будем изображать точками комплексной плоскости z, а числа w=u+iv множества G – точками плоскости w.

Определение 1. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однознач-

ная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G (рис. 7.1.1):

w= f (z)

Рис. 7.1.1

Множество D называется областью определения функции w= f (z) ,

множество G – областью значений функции. Далее, как правило, будем рассматривать такие функции w= f (z) , для которых множества D и G являются

областями.

Определение 2. Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.

Если z x iy , w u iv , то комплексную функцию можно записать в

виде:

w f (z) u(x, y) iv(x, y),

где

820

u(x, y) Re f (z) действительная часть f (z) , v(x, y) Im f (z) – мнимая часть f (z) ,

u, v – действительные функции от переменных х и у.

Если каждому z D соответствует несколько различных значений w, то функция w= f (z) называется многозначной.

Пример 1. Найти действительную и мнимую части функции w 1z .

Пример 2. Найти действительную и мнимую части функции w z2 . Решение. Функцию w z2 можно записать в виде u iv x iy 2 , т.е. u iv x2 y2 i2xy.

Отсюда следует: u x2 y2 , v 2xy.

7.1.2 Предел и непрерывность функции комплексного переменного

Пусть однозначная функция w f (z) определена в некоторой окрестности точки z0 , исключая, может быть, саму точку z0 . Под - окрестностью точки z0 комплексной плоскости понимают внутренность руга радиуса с центром в точке z0 .

Определение 3. Число w0 называется пределом функции w f (z) в точке z0 , если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех z z0 , удовлетворяющих неравенству z z0 , выполняется неравенство f (z) w0 .

Записывают: lim f (z) w0 .

z z0

Теоремы об арифметических свойствах пределов для функции одного действительного переменного остаются справедливыми и для функции комплексного переменного. Так, если функции f (z) и g(z) имеют пределы в

821

Определение непрерывности можно сформулировать и так: функция f (z) непрерывна в точке z z0 , если бесконечно малому приращению аргу-

мента соответствует бесконечно малое приращение функции:

lim f (z) 0 .

z 0

Функция f (z) непрерывна в области D, если она непрерывна в каждой

точке этой области.

Модуль непрерывной функции комплексного переменного обладает теми же свойствами, что и непрерывная функция действительного переменного.

Пример 3. Исследовать на непрерывность функцию f (z) z2 .

Решение. f (z) x iy 2 x2 y2 2ixy . Отсюда u(x, y) x2 y2 , v(x, y) 2xy .

Функции u(x, y) , v(x, y) непрерывны на R2 , следовательно, f (z) z2 непрерывна на С.

7.1.3. Основные элементарные функции комплексного переменного

7.1.3.1. Показательная функция

Определение 5. Показательная функция w ez определяется форму-

Положив в этом равенстве y=0, устанавливаем, что для действительных значений z=x показательная функция ez совпадает с показательной функцией действительного переменного: ez ex .

Это определение имеет смысл для всех z и при этом сохраняется ос-