Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

R решению редукционных задач, составляющих в совокупности редукцион­

-ную проблему, предъявляются некоторые общие требования. Они вытекают

из условия сохранения в редуцированных величинах той же точности, которая

была достигнута в непосредственных измерениях. Следовательно, ошибки ре­

.дукций и их влияние должны быть меньше в пять - десять раз ошибок самих из­

мерений.

Для этого необходимо знать с достаточной точностью величины, харак­ -теризующие отступления реальной Земли от принятой поверхности относи­

мости, т. е. аргументы для вычисления соответствующих редукций: высоты

-точек поверхности Земли, уклонения отвесных линий, аномалии силы тяжести.

Эти величины должны определяться только по результатам измерений, но не

"'Па основе каких-либо гипотетических данных. Без этого соответствующие ре­

.дукционные задачи не могут решаться точно. Выполнение этого условия пред­ ставляло серьезную проблему. До исследований Молоденского мы не имели ме- ·тода строгого определения указанных величин. Существовавшие ранее методы

.либо были практически невыполнимы, либо основывались на привлечении дан­

ных о плотности и строении Земли, н.оторые с необходимой достоверностью

"'Неизвестны и до настоящего времени. И сейчас по поводу определения тех или 'ИНЫХ величин можно высказать пожелания о необходимости повышения точ11ости, но это следствие не слабой разработки теории, а результат незавершен­

ности или неполноценности выполненных на Земле измерений (например, неза­

вершенности мировой гравиметрической съемки, несвязанности геодезических

-сетей разных континентов, малой плотности гравиметрической съемки в гор­

ных районах и т. п.).

Выше приведены основы теории и соответствующие формулы, определя­ ющие исходные величины, необходимые для точного вычисления редукций. Поэтому будем считать исходные величины для редуцирования с необходимой:

-точностью известными.

При получении формул для вычисления редукций необходимо обеспечи­

-вать их точность, которая должна соответствовать точности непосредственных

измерений. При этом ошибки в значениях редукций, вызванные неточностью

формул, должны быть практически пренебрегаемыми по сравнению с ошибками измерений. При этом важно учитывать и харю:{тер (систематический или слу­

чайный) влияния ошибок редукций на редуцированные элементы геодезиче­

ской сети.

Если влияние редукций, пренебрегаемо малое для единичного редуциро13ания какой-либо величины, вносит систематические искажения в геодезиче­

·скую сеть в целом, то решение об учете редукций данного вида должно быть

сделано с учетом этого обстоятельства. Например, поправка в направление за

высоту наблюдаемого пункта для отдельного направления обычно пренебре­

гаемо мала, но для геодезического ряда, у н.оторого стороны имеют примерно

одинан.овый азимут, эта редун.ция будет иметь один знан.. Поэтому пренебреже­ ние этой редун.цией будет равносильно действию систематической ошибки, влия­ ние которой в целом может быть заметным. Поэтому указанная редукция в три­ ангуляции 1 класса почти всегда должна учитываться.

Существуют два метода редуцирования результатов непосредственных из­

мерений на поверхность референц-эллипсоида - м е т о д п р о е к т и р о -

в а н и я и м е т о д р а з в е р т ы в а н и я.

П о м е т о д у п р о е к т и р о в а н и я непосредственно измеренные ве­ личины математически редуцируются точно с поверхности Земли на поверх­ ность эллипсоида. Редукции за переход от непосредственно измеренных величив

-350

к их проекциям вычисляют по формулам, выражающим указанные поправюf в функции величин, определяющих взаимное положение земной поверхности

и поверхности референц-эллипсоида, т. е. геодезических высот и уклонений от­

весных линий.

Длины измеренных базисов проектируются на поверхность референц-эл­ липсоида норм ал ям и к нему. В измеренные направления вводятся по­ правки за уклонения отвесных линий относительно нормалей к эллипсоиду. При вычислении поправки за высоту наблюдаемой точки принимают расстоя­ ние от объекта визирования до поверхности эллипсоида по нормали к нему

ит. д·

По м е т о д у р а з в е р т ы в а н и я непосредственно измеренные ве­

личины р е д у ц и р у ю т с я н а п о в е р х н о с т ь г е о и д а. В этом случае редукции вычисляют в функции величин, определяющих взаимное поло­ жение земной по в е р хн о ст и и геоид а. Так, например, при ре­ дуцировании длин измеренных базисов вносят поправки за высоты, отсчитан­

ные от уровня моря, т. е. от геоида, причем редуцирование производится по

нормалям к последнему, т. е. при помощи направлений отвесных линий. В из­

меренные углы никаких поправок не вводится.

Редуцированные на поверхность геоида геодезические величины считаются как бы редуцированными на поверхность референц-эллипсоида; иначе говоря"

при методе развертывания пренебрегают несовпадением геоида с референц­

аллипсоидом. Исследования показывают, что отступления геоида даже от паи­ лучше выбранного референц-эллипсоида могут достигать 150 м. Отсюда легко.

сделать вывод, что пренебрегать несовпадением геоида и референц-эллипсоида

нельзя.

Геометрически метод развертывания можно представить так·: редуциро­

ванные на поверхность геоид а величины как бы укладываются, раз в ер -

т ы в а ю т с я на другой поверхности - поверхности эллипсоида, откуда и

возникло название метода.

Сравнение обоих методов редуцирования позволяет сделать следующие об­

щие выводы.

1. М е т о д п р о е к т и р о в а н и я - строгий метод перехода от из­ меренных геодезических величин к их проекциям на поверхность референц­

аллипсоида, сохраняющий взаимное положение точек земной поверхности и со­

вдающий возможность строгой обработки сколь угодно обширной астрономо­ rеодезической сети. Для применения этого метода необходимо предварительно

установить размеры референц-эллипсоида и его ориентировки в теле Земли.

. При этом не требуется использования наилучше установленного референц-

1:)JIJiипсоида. Принципиально метод обеспечивает возможность строгой матема­

тической обработки и при значительных отклонениях референц-эллипсоида от наиболее подходящего эллипсоида, но из практических соображений, указанных в начале настоящего параграфа, необходимо, чтобы референц­

&JЩипсоид был лишь достаточно близок к наилучше подходящему эллипсоиду.

2. Мет од раз в ер ты ван и я - нестрогий метод; его применение

ВЬiаывает искажения (систематического характера) элементов астрономо-геоде­ аических сетей при их обработке, вызванные приближенностью результатов. решения редукционных задач. Величина этих искажений зависит от размера

•строномо-геодезической сети и ошибочности принятых при вычислениях пара-

11,етров референц-эллипсоида. Для достижения возможно точных результатов

обработки материалов астрономо-геодезической сети при методе развертывания

Веобходимо, чтобы референц-эллипсоид в пределах астрономо-геодезической

351

сети был наилучше подходящим к геоиду. Однако и в этом случае искажения

уменьшатся, но не исчезнут, так как останутся влияния отступлений геоида

от этого эллипсоида. Таким образом, для вполне точной математической об­ работки обширных астрономо-rеодезических сетей метод развертывания не­

пригоден.

Точное редуцирование измеренных величин на поверхность геоида требует

знания плотностей Земли вне геоида; эти данные неизвестны, поэтому, строго

говоря, точное редуцирование на геоид невозможно. Впрочем, ошибки, возни-

1шющие вследствие приближенности решения этой задачи, будут несравненно меньше :искажений, обусловленных нестрогостью метода развертывания.

Из изложенного следует, что для обработки астрономо-геодезических сетей следует применять метод проектирования, что и осуществляется в СССР в на­

стоящее время.

§ 75. РедуIЩия базиса на поверхность

референц-эллипсоида

Пусть на земной поверхности измерен базис между точками А и В (рис. 148)

Наша задача - определить его проекцию на поверхность референц-эллипсоида

Рис. 149

за который примем один пролет, равный длине инварной проволоки (24-мет­

ровой), и поставим себе целью найти его проекцию на референц-эллипсоид.

Искомая редукция этого отрезка составится из трех слагаемых редукций:

а) за переход к проекции отрезка на уровенную поверхность горизонта инстру­

мента (поправка за приведение к горизонту); б) за непараллельность урове:н­

ной поверхности горизонта инструмента и поверхности эллипсоида; в) за вы­ соту базиса над референц-эллипсоидом.

На рис. 149:

352

ность референц-эллипсоида, т. е. ds, обратимся к

:;~,ис. 150, из которого

Заменяя ds 0 в (75.5) через его выражение (75.2) и пренебрегая малыми вели­

вами третьего элемента, получаем

Учитывая требования, предъявляемые к профилю базиса, значения Н

ожно заменить средним значением высоты базиса Нт•

Для расчета требуемой точности определения Н из {7 5. 9) напишем

Лs ЛН

-т;-=~·

Для того чтобы относительная ошибка редукции базиса на поверхность

референц-эллиnсоида была меньше 1 : 2 ООО ООО, необходимо, чтобы

лн = лнv+л~

было меньше трех метров.

§ 76. Поправка в измеренные горизонтальные направления за высоту наблюдаемых пунктов

Эта поправка вытекает из геометрических соображений и обусловлена высотой точки визирования Н над референц-эллиnсоидом.

Пусть с пункта А {рис. 151) наблюдается предмет В, имеющий геодезиче­

скую высоту Н2 над поверхностью эллипсоида; пусть а и Ь - проекции точек А

и В на поверхность эллипсоида. Если бы точка В находилась непосредственно

на поверхности эллипсоида (Н2 = О), т. е. в точке Ь, то азимут направления аЬ,

354

l

Поясним геометрический смысл этой редукции.

Непосредственно измеренный угол на земной поверхности определяется

двугранным углом, ребром которого является линия, совпадающая с вертикаль­ ной осью инструмента, т. е. от весн а я лини я. Угол в соответствующей

точке на поверхности эллипсоида измеряется двугранным углом, гранями ко­

торого служат нормальные плоскости, а ребром - н о р м а л ь к n о в е р х­ н о ст и э л ли n с о и да. Угол между отвесной линией и нормалью, т. е.

уклонение отвесной линии, вызывает необходимость введения в измеренные

направления рассматриваемой редукции.

Эта редукция аналогична поправке за наклон J горизонтальной оси тео­

I

долита х = tg z; очевидно, в этом случае J соответствует величине (ri cos А -

-~ sin А).

Числовое значение редукции ЛМ мало, оно выражается обычно в сотых

По ходу изложения вопросов, рассмотренных выше, влияние кривизны силовой линии на результаты непосредственных измерений, выполненных на

поверхности Земли, уже показано.

Не повторяя доказательств, изложим для полноты картины основные вы­

воды.

1. Силовая линия - кривая двоякой кривизны, однако изложенная выше

1 1

теория решения осн~вных задач вьюшей геодезии требует у ч е т а R р и -

визны силовои линии в нормальном поле силы тя­

жести, т. е. нан плосной Rривой, расположенной в плосности меридиана.

2. Прантичесни пренебрегаемы:

а) разность длины силовой линии, RaR нривой от данной точни М до по­

верхности эллипсоида и геодезичесной высоты Н;

б) различие между напряжениями силы тяжести по насательной R силовой

линии (отвесной линии) и направлению нормали R эллипсоиду;

в) различие между направлениями нормалей R поверхности эллипсоида,

проведенных из точни с высотой Н и из точни пересечения силовой линией по­

верхности эллипсоида.

Кривизну силовой линии прантичесни необходимо учитывать nри вычис­ лении слагающей унлонения отвеса в меридиане из сравнения астрономической

и геодезичесной широт путем введения поправки - О,171 ", Н sin 2В.

Тогда

§ 79. О редукциях силы тяжести

При решении задач высшей геодезии на основе теории Молоденсного воз­

нинает по существу одна редунционная задача по переносу нормального зна­ чения силы тяжести по нормали во внешнем пространстве относительно притя­

гивающих масс - это редукция в свободном воздухе, вычисляемая просто по

формуде (см. § 61)

До появления работ Молоденсного по изучению фигуры Земли и ее внеш­

него гравитационного поля редунционная проблема граю~метрии была одной

из труднейших, не получившей и до настоящего времени точного решения. При прежних взглядах на задачу изучения фигуры Земли RaR на изучение геоида

возникала необходимость редуцирования силы тяжести с поверхности· Земли

на геоид, т. е. через пространство, занятое притягивающими массами: Кроме

того, при применении теории Стокса для определения фигуры геоида должно

быть выполнено условие - отсутствие притягивающих масс вне поверхности

геоида. Это требование ставило задачу так называемой регуляризации Земли,

т. е. удаления внешних масс, но без нарушения физических параметров реаль­

ной Земли - ее массы, фигуры, центра тяжести и вообще внешнего реального гравитационного поля. Эта задача точно не решена и до сих пор, так каR она требует знания плотностей всех внешних масс по отношению R геоиду. По­ пытки решения задачи по определению геоида без регуляризации Земли на

основе только выполненных измерений также не привели к положительному

результату, так как требовались дополнительные сведения о внутреннем гра­

витационном поле Земли.

Теория Молоденского полностью освобождает от необходимости решения

редукционной задачи в описанном плане; в этом, в частности, ее важное научное

и практическое достоинство. Изложенная в общем виде прежняя постановка редукционной проблемы гравиметрии для геодезии сейчас не представляет прак­

тического интереса. Понятие о ней приводится для сведения, как об одном

из трудных рубежей в истории развития науки, который преодолен школой со­

ветских геодезистов.

357

,·:t'

§ 80. Редукционная задача при линейных измерениях свето- и радиогеодезическими приборами

Хара:ктерная особенность измерения расстояний свето- и радиогеодезиче­ с:кими приборами за:ключается в том, что расстояние между заданными точ:ками

измеряют непосредственно, а не путем измерения и суммирования отдельных

отрез:ков измеряемой линии*. Кроме того, расстояния между заданными точ­

r,

[

(в отличие от измерений базисными приборами старого типа, :когда длина каж­

дого пролета приводится :к соответствующей уроненной поверхности). Поэтому

для редуцирования непосредственно измеренных свето- и радиодальномерами

расстояний на поверхность референц-эллипсоида необходимы дополнительные

данные. Пусть, например, измерено расстояние d между точками А и В (рис.152)

Из простых геометричес:ких соображений следует, что для перехода от измерен­ ной на:клонной дальности d :к геодезичес:кой линии s между точ:ками А O и В O - прое:кциями точе:к А и В на эллипсоид - необходимо дополнительно знать гео­ дезичес:кие высоты этих точе:к Н1 и Н2 и, :кроме того, приближенно широту

одной точ:ки и азимут А направления АВ. Эти дополнительные данные должны

быть получены заранее из других видов геодезичес:ких измерений. Та:ким обра­

зом, реду:кционная задача сводится :к вычислению разности (d - s), определя­

емой из геометричес:кой зависимости.

Ка:к известно, в настоящее время свето- и радиогеодезичес:кие приборы

для измерения расстояний подразделяются по :классу точности и дальности

действия на два основных типа:

а) светодальномеры и радиодальномеры,

б) радиогеодезичес:кие системы (РГС).

* Предполагается, что все поправки, как инструментального характера, так и за влия­ ние внешней среды, введены; измеренные расстояния - прямые.

358

Светодальномерами и радиодальномерами измеряют длины базисов, исход­

ных сторон триангуляции, сторон полигонометрических ходов и сторон трила­

терации.

Наивысшая реальная точность измерений расстояний этими инструментами,

характеризуется ошибкой порядка 1 : 400 ООО. "Указанная точность измерений

достигается при расстояниях порядка 15-40 км, типичных в геодезических ра­ ботах высокой точности. В этом случае на основании выводов § 15 и 16 длину

геодезической линии можно не различать от длины окружности, поэтому редук­

ционная задача заключается в нахождении поправки за переход от измеренного

расстояния к его проекции на сферическую поверхность надлежаще взятого

радиуса.

С применением радиогеодезических систем можно измерять расстояния до 600-900 км, однако относительная ошибка таких измерений примерно на порядок больше, чем при измерении расстояний светодальномерами и радио­ дальномерами не менее 1 : 50 000-1 : 100 ООО. При измерении значительно более коротких расстояний (50-100 км и меньше) относительная ошибка из­ мерений расстояний при помощи РГС становится столь значительной, что этот вид измерений выходит из класса точных геодезических измерений. Поэтому редукционная задача при радиогеодезических измерениях решается простей­

шим путем: или совсем не вводится поправка рассматриваемого вида (при ма­

лых величинах измеряемых расстояний и незначительных высотах конечных

точек), или вычисляется поправка как и при измерении светодальномерами и радиодальномерами, принимая Землю за сферу соответствующе установлен­

359