Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

l1 +l2+ lз+ · · · + ln-1 = Ln-1,

то уравнения (82.15) примут вид:

1111 носительно геоида. Определив s1 , тем самым определим геодезическую широту первой точки дуги по формуле

(82.17)

Последним уравнением определяется направление нормали к поверхнос'!'и

эллипсоида относительно направления нормали к геоиду в плоскости мери-

. 370

г

диана в начальной точке; тем самым определяется положение меридианного

сечения эллипсоида относительно меридианного сечения геоида при совпадении

плоскостей ·обоих сечений.

Уравнения (82.16) решают по способу наименьших квадратов обычным

Очевидно, эта величина одновременно будет средним квадратическим зна­

чением случайного м е с т н о г о уклонения отвесных линий в меридиане ,J;аН­ ной дуги.

Вычисление размеров эллипсоида указанным путем и его ориентирование в меридианной плоскости приводят к определению эллипсоида, наилучшим образом подходящего к геоиду по данной меридианной дуге.

Изложенный метод обработки градусных измерений соответствует м е т о д у

раз в ер ты ван и я. Действительно, в свободном члене уравнения (82.12)

величина (В; - В~) вычисляется по формуле (82.9) при помощи дуги s на эл-

липсоиде с размерами и сжатием а.0 и ei, тогда как длина дуги s, определяемая

выражением (82.4), относится к искомому эллипсоиду с размерами а и е2 • До

разработки Красовским предложений о переходе к методу проектирования из­

меренные на земной поверхности расстояния приводились :к уровню моря, т. е.

редуцировались на поверхность геоида, полагая, что несовпадением геоида

и наилучше подходящего к нему эллипсоида можно пренебрегать. Таким обра­

зом, в нашем выводе при вычислении (В;-в;) дуга s, отнесенная к поверхности

геоида, откладывалась, р а з в е р т ы в а л а с ь на другой поверхности -

поверхности эллипсоида с параметрами а0 и е~. Вызываемая этим погрешность

в свободном члене уравнения (82.12) зависит от приближенности принятых ве­ личин а0 и е~ и от пренебрежения несовпадением геоида с искомым эллипсои­

дом. При обработке больших дуг и вообще обширных астрономо-геодезических сетей эта неточность в обработке будет приводить к заметным ошибкам в выво­ дах параметров референц-эллипсоида.

Улучшения результатов вывода параметров эллипсоида при применении метода развертывания можно было бы добиться определением искомых величин - при помощи двух приближений, а именно: определить изложенным путем а,

е2 и 61 и принять их значения за а0, е~, после этого повторить уравнивание

звеньев на поверхности эллипсоида с этими размерами и вновь решить уравне­

ния градусных измерений (в которых изменятся только свободные члены) ,

и получить во втором приближении искомые величины а, е2 и 61 · В этом случае

поrрешность вывода будет обусловлена только несовпадением наилучше подхо­ дящего эллипсоида с геоидом. Решение, свободное от этой погрешности, полу­

чится при применении метода проектирования.

Метод развертывания, несмотря на его недостатки, рассматривается в на- - стоящей книге по двум причинам: во-первых, все выводы размеров земного,, эллипсоида, выполненные до настоящего времени, были произведены по этому

методу; во-вторых, применение метода развертывания неизбежно для опреде­

жения параметров эллиnс.оида в начальном этапе изучения общей фигуры Земли.

Получив из вывода с применением метода развертывания параметры референц­ эллипсоида в первом приближении, можно для более точного их определения применить строгий метод проектирования.

Если градусное измерение исполнено по параллели, то ход рассуждений

при выводе уравнений погрешностей такой же, как и для градусных измерений

по меридиану. Разница заключается в том, что вместо разности широт входят разности долгот, умноженные на косинус широты данной дуги параллели,

и вместо слагающих уклонений по меридиану слагающие уклонений отвесных

линий в первом вертикале. Не приводя вывода, напишем уравнения градусных измерений по параллели в окончательном виде:

, где коэффициенты Р', Q' и L' определяются из выражений:

z: = [(л2- л1) - (L~ - L~)] cos В0, z; = [(л3-л2)-(Ц-L~)] cosB0,

1 и далее:

р~ = р~;

Р;=р~+р;;

Р~-1 = р~ + р~ + ···+Р~-1;

L; = l~ + z;,

L~-1 =Z~+z;+ ... +z~-1-

Однако из уравнений (82.19), составленных для некоторой одной дуги ad

, (см. рис. 157), состоящей из частных дуг аЬ, Ьс, cd, нельзя определить Ла и Ле2 ,

из измерения дуги параллели как дуги окружности можно определить ее ра-

372

диус, т. е. r, и, зная широту параллели, вычислить только размер большой полу­

оси и, конечно, 11 1 ,

Для определения всех величин_ - а, е2 и 11 1 необходимо иметь минимум две

дуги параллели, расположенные под существенно разными широтами.

Поправку астрономичесн:ого азимута за уклонение отвесной линии в на­ чальной точке дуги вычисляют по формуле

ввести Ла, т. е. поправку к некоторому приближенному значению сжатия. Эта замена может быть произведена на основании формул:

е2 =2а-а2,

Ле2 = 2 Ла - 2а Ла.

Приведенные выше уравнения градусных измерений по меридианам: и па­

раллелям не являются вполне строгими, так как при их выводе мы ограничи­

лись использованием главных членов коэффициентов при неизвестных Ла и Ле2 • :Конечно, это не изменяет принципиальной стороны вывода.

Практически вывод размеров эллипсоида производится из совместной об­ работки градусных измерений по меридианам и параллелям. Задача решается

под условием~ ; 2 + ~'У} 2 = min. Одновременно получаются поправки ; 1 и

'У} 1 sec В 1 в астрономические координаты того пункта, который принимают за

начальный. Обозначая через В 0 , L 0 и А O геодезические координаты началь­

ного пункта триангуляции и геодезический азимут с этого пункта, получаем::

Выше изложен чисто астрономо-геодезический метод определения разме­

ров, сжатия и ориентировки эллипсоида из градусных измерений по мери­

дианам и параллелям. Для этого метода характерно то, что за случайные ошибки измерений принимают слагающие астрономо-геодезических уклонений отвесных линий. Принятие при выводе уравнений величин sиri как единствен­ ных ошибок геодезических и астрономических измерений вполне обосновано,

.так кю~ влияние ошибок этих измерений пренебрегаемо мало по сравнению с уклонениями от:весных линий. Действительно, длина дуги звена триангуля­ ции 1 класса определится с ошибкой около ±0,7 м, что в разности широт соот­ вететвует величине ± О,02 "; собственно астрономические определения широт и долгот характеризуются ошибками порядка ±0,3 и ±0,5" соответственно.

Эти ошибки пренебрегаемы по сравнению с уклонениями отвесных линий,

средняя величина которых равна 4-5 ". Однако предположение о случайном

характере уклонений отвесных линий не обосновано, оно условно. Следова­ тельно, строго говоря, применение на основе этого предположения способа наи­ s и 'У} под условием

минимума{~ ; 2 + ~'У} 2 } также не обосновано, так как уклонения si и 'У} i

373

зависимы между собой. Но при использовании результатов тольRо астрономо­

геодезичесRой сети описанное решение задачи - единственно возможное. Rроме

того, несмотря на принципиальную нестрогость таRого решения задачи, оно

приводит R результатам, достаточно близRо определяющим размеры и ориен­

тировRу эллипсоида в г р а н и ц а х р а с п о л о ж е н и я и с п о л ь з о -

ванных дуг град у сны х измерений. Чем больше территория,

поRрытая астрономо-геодезичесRой сетью (или чем больше протяженность дуг градусных измерений), тем больше оснований считать уRлонения отвесных ли­

ний случайными величинами и тем меньше влияет на результат уRазанная не­

строгость решения задачи.

В изложенном методе обработRи градусных измерений предполагается,

что ряды триангуляции 1 Rласса, служащие дугами градусных измерений, пред­ варительно уравнены и из последующей обработRи определяются тольRо пара­ метры земного эллипсоида. Предварительно уравнивают ряды для получения более точных значений длин дуг меридианов и параллелей, используемых для

вывода размеров сжатия и ориентировRи эллипсоида.

Осветим в общих чертах использование гравиметричесRих материалов

игипотезы изостазии при астрономо-геодезичесRом выводе параметров эллип­

соида.

Допустим, что независимо от материалов астрономо-геодезичесRой сети в астрономичесRих пунRтах RаRим-либо методом определены абсолютные уRло­

Ao=CX-'llaбtgcp

ПосRольку уклонения Sаб и11 аб определены относительно нормали R поверх­

ности общего земного эллипсоида, то и геодезические Rоординаты, вычисленные

по формуле (82.22)~ будут отнесены R поверхности общего земного эллипсоида.

Используя при составлении уравнений градусных измерений вместо ер, 'л геоде­

зичесRие Rоординаты В0 , L O , очевидно, из решения этих уравнений найдем по-

правRи за переход от принятых приближенных значений а0 и е~ R а и е2 общего

земного эллипсоида. В этом случае в уравнениях градусных измерений вида

(82.16), (82.19) величины sи11 должны быть заменены б~ и б11, т. е. ошибками

определения Sаб и 11 аб•

Принципиально значения уклонений отвесных линий, близRие R абсолют­ ным, могли бы быть получены:

а) путем вывода их значений по формулам Венинг-Мейнеса с использо­ ванием материалов гравиметричесRой съемRи п р и у с л о в и и в ы п о л - н е н и я е е н а в с е й з е м н о й п о в е р х н о с т и;

б) путем вычисления топографо-изостатических уRлонений отвеса по фор­

и р а сп р е д е л е н и ю п л о т н о ст е й в е е т е л е.

Но оба пути вывода <<абсолютных>> уRлонений отвеса сейчас праRтичес1ш не­

применимы: первый - вследствие незавершенности мировой гравиметриче­

ской съемRи, а второй - вследствие приближенности гипотезы изостатической

Rомпенсации, несоответствия ее в отдельных районах земного шара действитель­ ному распределению компенсирующих масс в зем,IIОЙ Rope и невозможноети

374

r

выявления неправильностей строения глубинных частей земной коры в равнин­

ных районах.

Первый путь - принципиально строгий метод решения данной задачи, поскольку он основан на использовании результатов точных измерений.

Второй путь - приближенный, неточный, поскольку его применение осно­ вывается на гипотезе, лишь в общем находящей себе подтверждение.

Специальными исследованиями установлено, что использование топографо­

изостатических редукций целесообразно при отсутствии гравиметрических данных, особенно в районах горного типа [27] и [31]. В этом случае применение

гипотезы изостатической компенсации улучшает выводы параметров земного

эллипсоида. При наличии же гравиметрической съемки, в пределах зоны не­

которого радиуса, следует от,~::~ть предпочтение методу вывода уклонений от­

веса, основанному на использовании гравиметрических данных.

влияние уклонений отвеса, вычисленных по аномалиям силы тяжести, опре­

деленных из измерений на территории этой зоны, то ошибки вычисленных грави­

метрических уклонений будут зависеть: от неучета аномалий дальних зон (т. е.

аномалий в области вне зоны радиуса r) и от ошибок вывода уклонений отвеса

по аномалиям, взятым вокруг астрономического пункта зоны радиуса r.

Если вокруг астрономических пунктов учесть гравиметрические поправки,

вычисленные по аномалиям силы тяжести в зоне радиуса около 1200 км, то

средняя квадратическая ошибка их определения составит величину порядка

3,5" [40]. Следовательно, средняя квадратическая ошибка остаточных ошибок

градусных измерений, т. е. б~, и 611, при учете указанным образом гравиметри­

ческих поправок будет характеризоваться величиной порядка ± 3-4 ", тогда

как без такого учета эти ошибки доходили бы во многих районах до значения

10-20". Таким: образом, переход от астрономических координат к геодезиче­

ским путем введения гравиметрических поправок, вычисленных по аномалиям

зоны ограниченного радиуса, существенно повышает точность определения раз­

меров и ориентировки земного эллипсоида. Но следует иметь в виду, что учет гравиметрических поправок ~гр и 11 гр sec ер, вычисленных по аномалиям зоны

указанного ограниченного радиуса, исключает влияние в основном только

местных или областных отступлений геоида от эллипсоида. Поскольку

при выводе этих поправок не были учтены аномалии дальних зон, постольку они и не отражают влияния волн геоида большого протяжения относительно

эллипсоида. Геометрически учет таких поправок означает выравнивание про­

филя геоида путем сглаживания мелких неровностей его поверхности, не из­ меняя, однако, общих наклонов геоида относительно эллипсоида. Следовательно,

выведенный с учетом гравиметрических поправок в астрономические коорди­

наты эллипсоид будет местным, т. е. наиболее подходящим для территории

расположения астрономо-геодезической сети (или дуги); но его вывод будет

освобожден от влияния случайных, мелких искривлений, могущих внести те

или иные искажения в окончательный вывод. По этому поводу Ф. Н. Красов­

ский приводит простую и образную аналогию: <<Так, для правильного получе­

ния уклона некоторого участка шоссе, мы при нивелировании шоссе, конечно,

пе ставим рейку на случайные выбоины>> [31, стр. 417]. Введение гравиметриче­

ских поправок ~rp и 11 гр sec ер в астрономические координаты как раз и озна­ чает устранение <шыбоию> геоида, т. е. его выравнивание.

375

При завершении в СССР общей гравиметрической съемки и выполнении

детальных гравиметрических съемок вокруг астропунктов представится воз­

можность для значительной части астропунктов увеличить радиус зоны для

вычисления Sгр и11 гр в два-три раза и даже более. В этом случае ошибки урав­ нений градусных измерений, т. е. величины б~ и 811, уменьшатся примерно до 2 "; при этом существенным явится и больший учет влияния значительных

по притяжению волн геоида.

Использование гравиметрических данных для исправления астрономиче­

ских координат не изменяет, по существу, рассматриваемого метода как астро­

номо-геодезического; гравиметрические данные в этом случае играют, хотя

и важную, все же в сп о м о г а т е л ь н у ю р о л ь.

Если для вывода параметров эллипсоида взять k дуг градусных измерений по меридиану, не имеющих между собой связи, то из совместной обработки та­ ких материалов будут получены, по существу k референц-эллипсоидов, име­

ющих один а к о вые размеры, но разную ориентир о в к у.

Математически это выразится в том, что из решений уравнений вида (82.12) по k дугам получены будут k + 2 независимых неизвестных а, е2 , ; 1 , s~, ..., s1' где s1' s~' ... ' s1 - уклонения отвеса в меридиане в первой точке каж­

дой дуги.

Такой вывод параметров эллипсоида более ценен, чем вывод из одной дуги, однако степень приближения их к параметрам общего земного эллипсоида, вследствие неучета влияния больших волн геоида или неполного их учета,

будет неясной; оценка точности по формуле (82.18) будет формальной, харак­ теризующей лишь степень приближения к геоиду (квазигеоиду) по профилям использованных дуг (как в и случае одной дуги).

Например, значение полуоси а эллипсоида Бесселя получено формально с ошибкой ± 210 м, тогда :как в действительности эта ошибка в несколько раз больше.

Из изложенного следует, что вывод единых исходных геодезических дат

из совместной обработки дуг, не связанных между собой, как и астрономо-гео­

дезических сетей, невозможен. Такая совместная обработка дуг (и сетей) целе­

сообразна для вывода только размеров эллипсоида.

§ 83. Уравнения градусных измерений

при применении метода развертывания;

метод площадей

Если вывод размеров, сжатия и ориентировки эллипсоида производится

из обработки а ст р он ом о - г е оде з и ч е с к ой сет и, отвечающей тре­

и азимуты с них на некотором референц-эллипсоиде, размер и форма которого

376

характеризуется большой полуосью а0 и сжатием а0• При вычислении примем за исходный пункт точку А с геодезическими координатами В~, L~ и геодези­

ческим азимутом А~. Обозначим через а = а0 + Ла и а = а0 + Ла параметры

эллипсоида, наиболее подходящего по своим размерам и ориентировке к гео­ иду в пределах той территории, на которой расположена астрономо-геодезиче­

ская сеть.

Пусть астрономо-геодезическая сеть уравнена и по уравненным элементам

вычислены длины и азимуты геодезических линий, соединяющих смежные узло-

вляющие уклонения отвесных линий относительно нормалей к искомому эллип­

·соиду в тех же точках.

Задача заключается в определении большой полуоси а и сжатия а наибо­

.лее подходящего эллипсоида (или поправок Ла и Ла) и поправок в принятые

;исходные геодезические данные.

Указанные величины определяют по-прежнему под условием геометриче­

функции искомых величин Ла, Ла,; 1, 1ъ и полученные уравнения погрешностей решить по способу наименьших квадратов. Составим эти уравнения.

В этих уравнениях dB, dL, dA - поправки геодезических координат и ази­ мута при переходе от системы координат на референц-эллипсоиде к системе

Второе уравнение, умноженное на sin cpk, обращается в третье, если под

Ak понимать азимут Лапласа (что и бывает в действительности), поэтому третье

уравнение - следствие второго и его использовать не следует.

Для выражения неизвестных величин dBk и dLk воспользуемся дифферен­

циальными формулами. Так как эти величины обусловлены различием в полу­ оси и сжатии эллипсоидов на Ла и Ла соответственно и различием в их

377

j;\

!.r

Обозначая производные в первом уравнении (83.4) через р, а во втором -

С этими обозначениями и с учетом формул (83.4) уравнения градусных из­

мерений (83.3) примут вид:

378

'

1и д о л гот но е уравнения градусных измерений, составленные для пунк­

-та К; для всех остальных пунктов В, С, D, ... , О эти уравнения будут иметь

.аналогичный вид. Для начальной точнл сети А получим следующие уравнения:

(83.9)

Решая уравнения (83.8), составленные для всех точек, вместе с (83.9) по ,способу наименьших квадратов при условии ~ ( s2 +11 2) = min, находим раз­

меры и ориентировку искомого эллипсоида, т. е.

·Ствуют геодезическим: линияl\I, соединяющим каждую из точек В, С, D, Е, ... , К, ... , О с начальной точкой триангуляции А. Длины этих геодезических линий для такой территории, как СССР, будут выражены сотнями и тысячами километров. Коэффициенты р и q, обозначающие частные производные в уравне­

ниях (83.4), очевидно, - не что иное как коэффициенты, стоящие перед

.dA 1 , Лсх и Ла в дифференциальных формулах.

Но при выводе упомянутых формул в главе V имелись в виду расстояния,

,соответствующие длинам: с т о р о н т р е у г о л ь н и к о в триангуляции,

·т. е. расстояния, во много раз меньшие расстояний, с которыми приходится

иметь дело при вычислении коэффициентов р и q. Поэтому для их вычисления

,следует пользоваться более точными дифференциальными формулами [31,

·Стр. 278-291 И 339-342].

При выводе уравнений градусных измерений (83.7) и (83.8) ошибками ·в определении астрономических координат <р, л., а и в результатах вычислений

отдельной триангуляции.

Простейшим образом ориентирование референц-эллипсоида может быть

произведено по одному астрономическому пункту. Рассмотрим этот случай.

Пусть на пункте А, принимаемом за исходный, произведены астрономические

определения широты <р0, долготы л. 0 и азимута направления а0 с пункта А на пуннт В. Прантически ориентирование эллипсоида по одному астрономиче­

сному пункту производится просто: полагают, что геодезические координаты

379