Добавил:
polosatiyk@gmail.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

.pdf
Скачиваний:
402
Добавлен:
10.06.2017
Размер:
34.58 Mб
Скачать

Формулы (80.3) и (80.6) решают задачу.

При редуцировании точно измеренных расстояний, произведенных свето­ дальномерами и радиодальномерами, радиус кривизны R 1 можно вычислить

по формуле

R 1

=- R ( 1 - ~cos2 В cos 2А) ,

(80. 7)

где R - средний радиус

кривизны.

< 15 км) и средней и малой точ­

При сравнительно малых расстояниях (d

ности измерений достаточно считать R 1 = R.

Учитывая все возрастающую точность и дальность действия новых средств линейных геодезических измерений, приводим более точные формулы рассма­

триваемой редукции.

Обозначим через Сэл длину хорды, соединяющей проекции А 0В O на эллип­

соиде вращения. Без вывода напишем

Сэл =

 

Нт

 

2

 

2

 

Н~+Н;

 

2

 

2

 

Н1+2Н2

 

2

 

 

';·

 

с ( 1 +~ Yj

 

cos

 

А+

2N 2

У/

 

cos

 

А+

2N 2

СУ/

 

tg

В cosA

 

. (80.8)

Тогда длина геодезической линии Sс,л на поверхности эллипсоида,

соединя­

ющей

точки

А O

 

и

В O,

определится

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(80. 9)

где R = VR 1R2;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R 1 и R 2

-

средние радиусы криви:шы в точках А O

и ВO

 

 

 

1

11

i,

1,

Гл а в а XIII

ГРАДУСНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

 

§ 81. Общие сведения

 

П о д

г р а д у с н ы м и и з м е р е н и я м и обычно понимают

сово­

«упность

астрономических, геодезических и гравиметрических работ,

пред­

назначенных для определения фигуры Земли.

Задача градусных измерений заключается в определении:

1) параметров р е ф е ре н ц - э л лип с о и д а как рабочей координат­ ной поверхности, необходимой для решения многих задач геодезии и карто­

графии;

2) вспомогательной поверхности - к в а з иге о и д а, весьма близкой

кповерхности геоида на суше и совпадающей с ней на морях и океанах;

3)действительной фигуры Земли, т. е. ее физической поверхности;

4)параметров земного эллипсоида, наилучшим образом представляющего

фигуру Земли в целом, - общего земного эллипсоид а.

При рассмотрении вопросов, составляющих содержание предшествующих

глав, считалось, что поверхность референц-эллипсоида определена, т. е. из­ вестна. Поэтому в первую очередь здесь рассмотрим решение первой задачи, т. е. вы в од пар а метр о в реф ере н ц - эллипсоид а.

При оценке выводов параметров референц-эллипсоида обычно принимается во внимание степень близости его к эллипсоиду, наилучmе подходящему для всей Земли, т. е. к общему земному эллипсоиду. Это в свою очередь зависит

от территории, на которой исполнены астрономо-геодезические и гравиметри­

ческие измерения, результаты которых были использованы при выводе парамет­ ров референц-эллипсоида. Чем больше территория, на которой произведены градусные измерения определенной густоты, тем больше эллипсоид, выведен­ ный на основе этих измерений, приближается к общему земному эллипсоиду. Поэтому задача определения референц-эллипсоида непосредственно примыкает к задаче определения эллипсоида, наилучшим образом представляющего фи­ гуру Земли в целом.

Из учение поверхности к в аз иге о и да выполняется пу­

тем определения аномалий высот ~ (или уклонений отвесных линий ; и 'r)) относительно референц-эллипсоида методом астрономо-гравиметрического

нивелирования.

 

Изучение формы физической земной

поверх­

н о с т и осуществляется путем определения н о р м а л ь н ы х

в ы с о т НУ

относительно поверхности квазигеоида или геодезических высот Н относи­

тельно референц-эллипсоида; для этого, помимо астрономо-гравиметрического

нивелирования, необходимо выполнять геометрическое нивелирование. Методы решения второй и третьей задач изложены в главах Х и XI, по­

этому будем считать их известными.

В ы в о д о б щ е г о з е м н о г о э л л и п с о и д а требует наличия градусных измерений всей поверхности Земли или значительной ее части.

Ранее указывалось, что фигура геоида, помимо случайных, местных волн, имеет общие волны, охватывающие территории материков, влияющие на фигуру

Земли в целом. Поэтому для решения этой задачи и необходимо градусными из­

мерениями охватить поверхность всех материков. Эти градусные измерения

в отдельных и даже крупных частях поверхности Земли должны охватывать возможно большую поверхность земного шара. Водные пространства не

361

1 ,,,

1 ;~

.

позволяют равномерно покрыть градусными измерениями всю поверхность зем­

ного шара, но на морях и океанах могут производиться работы по измерению

силы тяжести.

Исследования показывают, что градусные измерения, позволяющие на­ дежно определить размеры большой полуоси, в соединении с гравиметриче­ скими наблюдениями на суше и на море, надежно определяющими сжатие эл­ липсоида, дают возможность успешно решать задачу определения общего зем­

ного эллипсоида. В настоящее время градусными измерениями еще не охва­

чены все материки, а имеющиеся не связаны между собой; измерения силы тяжести на океанах исполнены не полностью, поэтому вывод общего земного эллипсоида пока еще дело будущего. Современная постановка задачи по выводу общего земного эллипсоида и метод ее решения изложены в § 87.

Установим, какими параметрами определяется референц-эллипсоид. На­ помним его определение: р е ф е р е н ц - э л л и п с о и д о м н а з ы в а е т с я

эллипсоид с определенными размерами и опреде­

л е н н ы м о б р а з о м о р и е н т и р о в а н н ы й (р а с п о л о ж е н н ы й)

втеле З ем л и.

Размеры эллипсоида определяются двумя параметрами - полуосями а и Ь или большой полуосью а и сжатием а.

Ориентирование эллипсоида в теле Земли выполняется путем установле­

ния и с х о д н ы х г е о д е з и ч е с к и х д а т, определяющихся значе­

ниями геодезических координат, принимаемых в исходном пункте триангуля­

ции. Эти координаты В 0 , L 0 , А 0 , Н0 , т. е. геодезические широта, долгота, азимут и высота в точке триангуляции, принимаемой за начальную. Они определяются

из выражений:

Во =.:.: (f)o -

-

О,171"НO sin 0 )

 

L 0

= л0 - 11 0 sec ер

1

 

}.

(81.1)

А 0

=---= ех,0

-110 tg ,_р

1

 

Но= нv+ ~о

J

 

Таким образом, исходным и

вел и чин а ми, позволяющими опре­

делить параметры референц-эллипсоида, являются:

а, Ь, (f)o, ло, ао, HJ, ~о, 110, 'о·

Значения ср 0, л0, сх. 0 определяются непосредственно из астрономических на­

блюдений; методы этих наблюдений рассматриваются в геодезической астроно­ мии, поэтому будем считать их известными. Нормальная высота нv опреде­

ляется из результатов геометрического нивелирования; методы вычисления

нормальных высот изложены в главе XI, § 72. Поэтому в этой главе рассмот­ рены методы определения величин а и Ь (или а и а), характеризующих размеры земного эллипсоида, и ~о,'У] 0 , ~о - слагающих уклонений отвесных линий и ано­

малии высоты в начальном пункте триангуляции, позволяющих по формулам

(81.1) перейти к значениям исходных геодезических дат. Тем самым будут опре­ делены размеры и ориентировка референц-эллиnсоида в теле Земли.

Перечисленные параметры определяют под условием возможной геоме­ трической близости поверхности референц-эллипсоида к поверхности геоида (квазигеоида), так как референц-эллипсоид является вспомогательной или

рабочей координатной поверхностью, заменяющей при обработке геодезиче­

ских измерений уровенную поверхность Земли; поэтому естественно потребо­

вать возможной блиэости между этими поверхностями.

~62

Математическое условие гео:метричес:кой близости референц-эллипсоида

:к уровенной поверхности реальной Земли обычно выражают та:к:

(81.2)

или

(81.3)

В выражении (81.2) суммирование распространяется на астрономические­

пун:кты, входящие в данную астрономо-геодезическую сеть; в выражении

(81.3) - на всю территорию, для которой известны аномалии высоты. При у:ка­

занном выборе параметров, независимо от их значений, и выполнении зависи­

мостей (81.1) малая ось референц-эллипсоида и плоскость экватора будут всегда параллельны оси вращения Земли и плоскости земного экватора. В общем слу­

чае центр референц-эллипсоида не будет совпадать с центром тяжести Земли.

Принципиально возможны два ме'l ода определения параметров земного эллипсоида: г е омет р и чес кий, основанный на использовании астро­

номо-геодезических измерений, и физ и ч е с кий, основанный на использо­ вании гравиметрических измерений. Как и при выводе уклонений отвесных линий и высот, наилучшее решение дает совместное использование обоих ме­

тодов.

При выводе размеров и ориентировки эллипсоида геометрическим методом, т. е. из астрономо-геодезических измерений, различают мет од дуг и м е -

тод площадей.

М е т о д д у г основан на использовании измеренных длин дуг на земной

поверхности и астрономичес:ких определений широт и долгот на :концах этих

дуг. Определение размеров и ориентировки ~е:много эллипсоида из измерений

дуг по меридианам и параллелям

называют г р а д у с н ы м: и и з м: е р е -

ниями по меридиану и

градусными измерениями

п о п а р а л л е л и. Дуги могут быть связаны между собой и не иметь между

собой связи. Из результатов определений по методу дуг определяют размеры

эллипсоида и ориентировку эллипсоида,

наилучmе подходящего н е к

ф и -

г у р е

г е о и д а н а :к а :к о й - л и б о

п л о щ а д и, а наилучmе подходя­

щего :к

п р о ф и л ю г е о и д а

п о

и с п о л ь з о в а н н ы м д у г а м

г р а -

д у с н ы х и з м е р е н и й.

 

§ 50 для пояснения идеи вывода размеров

Метод дуг был использован в

эллипсоида из градусных измерений.

на использовании а с т р о н о м о -

М е т о д п л о щ а д е й

основан

г е оде з и ч е с к ой сет и,

по возможности равномерно покрывающей тер­

риторию, притом с некоторой определенной густотой. Густота пун:ктов астро­

номо-геодезичес:кой сети для применения метода площадей должна удовлетво­

рять основному требованию - возможности вывода размеров и ориентировки

эллипсоида, н а и л у ч m е п о д х о д я щ е г о к п о в е р х н о с т и г е о -

и да на принятой территории, и одновременно выявлению формы, <<рельефа>> геоида на этой территории. Согласно исследованиям проф. Rрасовс:кого, астро­ номо-геодезичес:кая сеть, отвечающая требованиям обработ:ки ее по мет од у площадей, необязательно должна представлять собой сп л о m ну ю

с· е т ь; по его исследованиям достаточно, если астрономо-геодезичес:кая сеть

будет состоять из связанных между собой рядов триангуляции по меридианам

и параллелям, расположенным между смежными рядами одного .направления,

на расстоянии о:коло 200-300 :км, с определением астрономических пун:ктов по рядам примерно через 70 :к:и (ис:ключая горные районы).

363

11

il i

11

:1

Метод дуг nр:и:менялся ранее, когда градусные измерения представляли собой разрозненные отдеJ1ьные ряды триангуляции; примером такого ряда

является знаменитая дуга Струве. В настоящее время. астрономо-геодезические сети строятся с густотой, обеспечивающей применение метода площадей. В част­

ности, вывод размеров эллипсоида Красовского был произведен по методу

площадей.

Однако и в настоящее время целесообразно при выводе параметров рефе­ ренц-эллипсоида использовать при обработке астронома-геодезической сети

·отдельные значительные дуги по меридианам и параллелям. Поясним эту мысль

при помощи рис. 154. Пусть заштрихованный прямоугольник ABCD схема­

тически представляет собой территорию, на которой развита значительная аетрономо-геодезическая сеть, пригодная для обработки по методу площадей.

.h'

этой большой сети примыкают по меридианным направлениям три дуги аЬ,

 

ь

d

f

cd и ef значительного протяжения. Несомненно, присоеди­

 

нение этих дуг к астрономо-геодезической

сети ABCD су­

 

 

 

 

 

 

 

 

щественно расширит

данные для вывода размеров эллип-

 

 

 

 

соида и при надлежащей обработке приблизит этот вывод

А

а

с

е В

к размерам общего

земного

эллипсоида.

 

 

 

 

///,'/// . U// ==т,-:.,.

Как метод

дуг,

так

и

метод площадей представляют

 

 

 

 

собой по существу один метод -

астрономо-геодезический,

 

 

 

 

позволяющий

определять

параметры

м е с т н о г о

ре­

 

 

 

 

ференц-эллипсоида,

т. е.

земного

эллипсоида,

наиболее

 

 

 

 

подходящего к квазиrеоиду для территории, на которой

.D

 

 

С

расположены

выполненные

астрономо-геодезические

из­

 

Рис. 154

 

мерения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фи з и ч е с к и й

мет од,

т.

е.

метод,

основан-

 

 

 

 

 

 

 

 

ный на использовании

одних

гравиметрических

измере­

ний для определения всех параметров

эллипсоида, не применяется; этот ме­

тод не позволяет с достаточной точностью определить линейный или масштабный параметр эллипсоида, например длину большой полуоси.

Определив независимо от геодезических измерений массу Земли, можно было бы получить из гравиметрических измерений и значение большой полу­ оси. Однако с необходимой точностью независимо от геодезических и гравиме­ трических данных масса Земли в настоящее время не определяется. Поэтому

линейный параметр эллипсоида всегда выводится с использованием материалов

геодезических измерений.

Второй параметр, определяющий форм у земного эллипсоида, - сжатие может быть определен из одних гравиметрических измерений, притом с боль­ шей достоверностью, чем астрономо-геодезическим методом. При этом весьма

важным обстоятельством является возможность получения и, следовательно,

использования гравиметрических данных для всей поверхности Земли, т. е.

ина с у ш е, и на океан ах. Этот метод определения сжатия непосред­

ственно вытекает из второй формулы Клеро (см. § 59).

С большой точностью определяется сжатие также из наблюдений искус­

ственных спутников Земли. Сведения об этом методе приведены в гл. XVII.

Существуют решения задачи по определению всех параметров земного

эллипсоида, основанные на совместном использовании астрономо-геодезических

игравиметрических данных.

Приведем основные характеристики программы градусных измерений, осу­

ществляемой в СССР.

Градусными измерениями в СССР являются ряды триангуляции 1 класса,

ЗМ

прокладываемые по меридианам и параллелям на

расстоянии около

200 км

и образующие полигоны периметром 800-1000 км.

Длины базисных

сторон

определяют в местах пересечения рядов, т. е. через 200 :км; астрономические определения (широты, долготы и азимуты) - на двух пун:ктах каждой базис­ ной стороны. Через каждые 60-100 :км в промежут:ках между базисными сто­ ронами на пун:ктах триангуляции определяют широты и долготы. Гравиметри­ ческие пункты определяют в порядке производства общей гравиметрической съемки со средней густотой один пункт на 1000 :км2 , обеспечивающей выполне­

ние астрономо-гравиметрического нивелирования по всем рядам астрономо­

rеодезической сети СССР. Кроме того, вдоль отдельных рядов триангуляции

1 класса производят дополнительное сгущение гравиметричес:кой съемки. Одно­

временно в геодезических целях используют результаты специальных грави­

метрических измерений, выполняемых, например, при разведке полезных ис­

копаемых.

Ряды, по которым с большей точностью производят астрономо-гравиметри­

ческое

нивелирование,

называются

гл а в н ы ми

дуг а ми

град у с -

н ы х

и з м е р е н и й

СССР или

о с н о в н ы м и

л и н и я м и а с т р о -

н о м о - г р а в и м е т р и ч е с к о г о н и в е л и р о в а н и я.

 

На

всех пунктах астрономо-геодезичес:ких сетей

определяют

нормальные

высоты. Программная точность измерений астрономо-геодезической сети СССР

1 класса характеризуется показателями, приведенными на стр. 7.

Постанов:ка работ по градусным измерениям в СССР имеет ряд важных

достоинств: они охватывают громадную территорию, произведены в весьма ко­

роткий срок, что обеспечило однообразие выполнения программных требований и и., высо:кую точность; в состав градусных измерений на территории СССР

входят работы по астрономо-гравиметричес:кому нивелированию.

Совместная постанов:ка астрономо-геодезических и гравиметрических ра­ бот является весьма существенной особенностью градусных измерений в СССР,

которая при высоком уровне техничес:кого исполнения позволяет отнести по­

следние к наиболее современным. Эта программа градусных измерений впервые

стала осуществляться в СССР.

 

Отметим, что с :конца сороковых

годов начР лось развитие триангуляции

2

класса внутри полигонов 1 :класса

с точностью, близкой :к триангуляции

1

класса.

 

Градусные измерения не являются отдельной частью основных астрономо­ геодезических и гравиметричес:ких работ, выполняемых в стране. Они предста­

вляют органичес:кую часть и следствие исполнения первоклассных триангуля­

ционных работ для создания опорной геодезической сети в государстве, необ­ ходимой для картографирования его территории и для других практических нужд. Запросы практики и науки не вступают в противоречие, а, наоборот, взаимно дополняют друг друга, обеспечивая в :комплеRсе наилучшее разреше­

ние обеих задач.

§ 82. Градусные измерения по меридиану и параллели,

метод дуг

Идея определения размеров и сжатия земного эллипсоида из градусных

измерений по меридиану и параллели освещена в § 50. Хотя метод дуг в на­ стоящее время применяется мало, он имеет методичесRое значение и в наибо­

лее простом виде иллюстрирует решение задачи по выводу параметров земного эллипсоида на основании астрономо-геодезичес:ких измерений.

365

'

1

11

i 1

'1

1

Пусть имеем ряд триангуляции 1 класса, на концах которого исполнены аст­

рономические определения широт, долгот и азимутов (рис. 155), проложенный

между точками А и В приблизительно по направлению меридиана.

Для дальнейшего составления уравнений градусных измерений по мери­ диану необходимо определить длину и азимут геодезической линии, соединя­

ющей конечные точки звена, и затем получить проекцию этой линии на мери­

диан, проходящий через одну из ее конечных точек, например через точку А,

т. е. получить длину дуги меридиана между параллелями, имеющими широты

IP

У'Е Е,\--- -

1

1

 

 

541

1 f.o D,l- -

\

S3\

1

(() А и (()в. Для указанной цели произведем

Е следующие предварительные вычисления:

1. Уравнивание ряда за условия фигур, базисов и, если возможно, азимутов и окон­

чательное решение треугольников.

2. Вычисление длины D и азимута Т

геодезической линии, соединяющей конечные

точки ряда А и В.

fc

с,1-- --

 

\

 

521

 

1

81\-

 

I

А

s, 1

1

 

Рис. 155

Рис. 156

Вывод длины и азимута геодезической линии может производиться путем последовательного вычисления полярных координат точек Ь, с, d, ... , В

с началом координат в точке А. Полярными координатами будут азимуты и

длины линий АЬ, Ас,, Ad, ... , АВ. Очевидно, полярные координаты точки В

и будут искомыми значениями D = АВ и Т = LPAB.

Длину и азимут геодезической линии дуги можно получить также из реше­ ния обратной геодезической задачи по дуге АВ после вычисления координат

пунктов

ряда.

 

 

 

3. Проектирование на меридиан АР дуги D при помощи параллели точки В

или вычисление расстояния АВ1

= s между параллелями точек А и В. Будем

иметь

s = D cos Тт+Лs,

 

где Лs -

 

поправочный член,

ТАв+Твл ±

 

 

 

Тт,=

1800

(82.1)

 

2

Обычно дуга, по которой производится градусное измерение, состоит из

нескольких частных дуг АВ, ВС, CD и т. д· (рис. 156). Тогда соответственно

получаем длины дуг меридианов s1 , s2 , s3 , s4 и т. д., которые в дальнейшем бу­

дем рассматривать как н е п о с р е д с т в е н н о и з м е р е н н ы е.

366

Проентирование дуг АВ, ВС, CD на меридиан совершается с

ошибной

 

Лs = -Dsin TmdTm.

(82.2)

При Тт = 10° и dTm = ±4"

 

 

 

Лs = -

1

1

1

 

D G. 50

ООО

= - D -з-оо_о_оо-'

 

или при D = 200 нм

Лs= 0,7

 

 

 

:м.

 

Эта ошибка пренебрегаемо мала по сравнению с ошибнами астрономичесних данных, входящих в уравнения градусных измерений, и влияниями унлоне­ ний отвесных линий.

При градусных измерениях по параллели порядон предварительной об­

работни геодезичесних материалов остается в основном таним же, нан и при

градусных измерениях по меридиану. Он отличается тольно тем; что предвари­

тельно для наждой частной дуги вычисляют ее длину по параллели по средней

широте этой дуги. Таним образом, для дуги по параллели в целом отдельные

частные дуги ее будут отнесены R разным широтам. Длины этих частных дуг приводят н длине дуги параллели, имеющей среднюю широту для всего ряда

по параллели. Обозначим: s 1 , s2 , s3, ••• , sk

- длины дуг параллелей, отне­

сенные R

средней

широте

наждой дуги <р 1,

2, <р3, ••• ,

<J)k соответственно

{рис. 157);

S~, Sz,

... , Sk, -

ДЛИНЫ ДУГ параллелей,

отнесенные R средней ДЛЯ

всей дуги

широте

0

Тогда

на основании

(8.2)

исномая

длина неноторой

дуги sk вычислится из

отношения

 

 

 

 

 

 

s;

 

V1-e2 sin2 <J)k

sec <J)k

 

(82.3)

 

 

 

si: =

У1 - е2 sin2 ерO

sec <ро

 

 

 

 

 

 

В результате будем иметь значения для всех частных дуг градусного из­

мерения по параллели, отнесенные R одной широте.

После указанной предварительной обработни материалов градусных из­

мерений переходят R составлению и решению уравнений.

Для получения уравнений градусных измерений по меридиану напишем

формулу (7 .11) для длины дуги меридиана

__

(В2 -В

1)" (

( 1

3

В )

е

2}

(82.4)

s - а

р"

t1 -

\т+т cos 2

т

.

В формуле (82.4) В 2

и В 1 -

геодезичесние широты, отнесенные R

о п р е -

д е л я е м о м у эллипсоиду, а и е -

исномые значения большой полуоси и экс­

центриситета о п р е д е л я е м о г о

эллипсоида. Обозначим:

 

 

 

а=а0 +Ла )

 

 

 

 

(82.5)

 

 

е2 = е20 + Ле2

'

 

 

 

где а0 и е~ - неноторые приближенные значения большой полуоси и нвадрата

энсцентриситета эллипсоида, принятого при обработне градусных измерений.

Подставим значения (82.5) в формулу (82.4)

 

s=a0

(В~-;,,В1)" {1- (-¼-+

 

~ cos 2Вт) е~}+

 

 

 

 

 

 

-1,:- Ла (В2-В1)"

f1

( 1 + 3

cos

2В

т

)

2 )

0

(В2-В1)''

{( 1 + 3

cos

2В

т

)} Л

2

р"

. 'l-

4

4

 

 

еOJ-- а

 

р"

4

4

 

 

е .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(82.6)

367

1

1

J1

11'

1

!.

Найдем выражение для длины радиуса кривизны меридиана М0 на эллип­

соиде спараметрами а0 и е0 при средней широте Вт =

В1 !

в2 :

м::~= а0 (1-е~} (1- е2 sin2Вт)-3/1

= а0

(1-е~) ( 1 + ~

е~ sin2Вт),

НО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. - 1

-

1

 

 

 

 

m - 2

2

COS

 

m,

 

 

поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м::~= а0(1- е~){1 + ~

е~ (-} ---½-

cos 2Вт)}

}

м::~ = ао \1 -

( 1+ : cos 2Вт) е~}

 

(82. 7)

 

·

Разделив (82.6) на (82.7),

получим

 

 

 

 

 

Л:-0 р" = (В2- В1)" + (В2- В1)"

~: -

 

(В2-

В1)" (-¾-+

~ cos 2Вт) Ле2. (82. 8)

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражение-.!., р" представляет собой с принятой точностью разность mи­

Мт

рот точек на эллипсоиде с размерами а 0 и е 0, соответствующую расстоянию s

и средней широте Вт.

Обозначим

 

 

 

 

 

 

 

s

р

,,

=

(во

о)

.

 

 

(82.9)

 

 

 

 

 

 

 

мо

 

2-В1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

На основании формулы (65.17) имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

1

= ср

1 -

6

 

О,111:: s~n

Н

 

 

 

 

 

 

 

 

1 -

 

 

 

1

 

1 ) '

(82.10)

 

 

 

 

В2 = ср2- 62- О,171

sш 2В2Н2

 

 

 

 

 

где (J) 1

и (J) 2

-

астрономические

широты точек А

и В дуги,

 

;

1

и 62

-

слагающие уклонений отвесных линий в меридиане в этих же

 

 

 

 

точках, отнесенные к поверхности искомого эллипсоида,

Н

1

и Н2

-

высоты этих точек.

 

 

 

 

 

 

 

 

Теперь уравнение (82.8) примет вид

(в:-в:)" = {(ср2- bl- (ср1- bl}-0, 171" (Н2 sin 2В2-Н1 sin 1)+

(82.11)

откуда

62 = ;1 + {(cp2-(f)1)" -0,171" (sin 2в:н2-sin 2в;н1)-(в:-в:)"} +

(82.12)

1

368

il

В последнем уравнении в коэффициентах при неи3вестных ра3ности широт

2 -

В1 ) 3аменены чере3 (В; -

В~), а Вт -

чере3 В'/п, что практически вполне

допустимо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение (82.12) следует рассматривать как уравнение погрешностей..

Вводим обо3наче:ния:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{((])2-ср1)''-(В~ -В~)"-0,171" 2sin 2В~ -Н1 sin 2В~)} = l,

 

 

 

 

(В~-ВП =р,

 

 

 

 

-(В~-В~)(-¼+ 1cos 2Вт) = q,

 

тогда уравнение (82.12) примет вид

 

+q Ле2 + l .

 

 

62 = 61 + р

Ла

(82.13)

 

 

 

 

ао

 

 

 

 

 

 

Если данная дуга градусного и3мерения состоит и3 п частных дуг АВ, ВС,,

CD,

. . ., то для каждой и3 них будем иметь уравнение, аналогичное уравне-­

нию

(82.13):

 

 

 

 

 

 

 

+ l1

 

 

,:

t

.

Ла

+q1

Л

е

2

 

 

'::>2=

'::>1+ Р1--

 

 

 

 

 

 

 

ао

 

 

 

 

 

 

 

= s2+ Р2 ~: +q2Ле2 + l2

 

 

;4 = ;3 + Рз Ла

+q3 Ле2 + l з

(82.14)

 

 

 

 

ао

 

 

 

 

 

 

 

Sn = ;п-1+Рп-1 Ла +qп-1Ле2 +lп-1

 

 

 

 

 

ао

 

 

 

 

J

 

Sn -

Роль погрешностей в этих уравнениях

 

играют величины ; 1 ,

; 2 , •• ·~

слагающие уклонений отвесных линий в меридиане, так как ошибки: соб­

ственно астрономических наблюдений бq, nренебрегаемо малы, в 10-20 ра3

меньше ука3анных уклонений отвесных линий.

Рассматривая величины ; 1 , ; 2 , ••• , Sn как случайные ошибки (что, как

увидим далее, не вполне правильно), не можем, однако, решать уравнения

{82.14) по способу наименьших квадратов, так как эти уравнения не не3ависимы;

каждые два смежных уравнения содержат общие величины Для того чтобы уравнения (82.14) обратить в не3ависимые, поступим следующим обра3ом: сложим первое уравнение системы (82.14) со вторым; сумму первого и второго

уравнений с третьим и т. д·, получим:

~2 = ;1 + Р1 ~: +q1 Ле2 + l 1

= ;1 + (Р1+ Р2) 1: + (q1 + q2) Ле2+ l1 + l2

(;, = (;1 +(р1+р,+р3) ~= +(q1 +q,+ q3)

Ле•+11 +12 +13 ~. (82.15),

,:

Ла

'::>п = S1 + (Р1 + Р2+ Рз+ · · •+ Рп-1) --;;;-.+

+ (q1 + q2+ q3 + · · ·q+п-1) Ле<2+ l1 + Z2+ lз+, · · + la-1

24 П. С. Занатов