Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

аномалией силы тяжести с редукцией в свободном

в о з духе или просто аномалией с илы тяжести в с в об од­

н о м в о з д у х е.

Если нормальную силу тяжести вычислить для точки М, то разность gм - ум принято называть ч и с т о й а н о м а л и е й с и л ы т я ж е с т и;

однако чистая аномалия силы тяжести в настоящее время в высшей геодезии

не используется.

Теперь получим формулу для вычисления редукции силы тяжести в сво­ бодном воздухе. Задача заключается в определении изменения силы тяжести при переходе из точки МO в точку N на расстояние по нормали, равное н-v.

Применяя строку Тейлора, можем написать

т о м с и л ы т я ж е с т и.

Высота НУ по сравнению с радиусом Земли - величина второго порядка

малости, поэтому в ряде Тейлора удержан только первый поправочный член.

При вычислении да~ ограничимся членами только первого порядка, т. е. примем

Землю за шар; тогда ошибка произведения ;~ Н• будет величиной третьего

порядка малости, которой можно пренебречь. В этом случае, положив

Аномалии силы тяжести характеризуют отступления действительного

потенциала Земли от нормального. Эти аномалии дают также указания о рас­ пределении масс внутри Земли, но не определяют последние; теоретически

можно допустить множество вариантов распределения масс, при которых

аномалии на всей поверхности Земли будут иметь одно и то же значение.

270

~ Положительныеаномалиисилытяжести,т.е.когдаg > у,соответствуют

избытку притягивающихся масс в исследуемом районе; наоборот, отрицатель­ ные аномалии силы тяжести соответствуют недостатку этих масс. Положитель­ ные аномалии силы тяжести соответствуют, вообще говоря, возвышениям

геоида, а отрицательные аномалии - его понижениям. Но это соответствие справедливо только приблизительно и в общем: рельеф геоида зависит от ано­

малий силы тяжести на всей поверхности Земли.

Значения аномалий, как правило, даются в специальных каталогах, там же приводятся значения силы тяжести. Для практических целей значительно удобнее пользоваться картами изоаномал. Эти карты составляют следующим образом: строят географическую сетку, затем по координатам наносят точки,

на которых исполнены измерения силы тяжести и для которых вычислены

аномалии. Путем интерполяции по нанесенным точкам строят кривые, соеди­ няющие точки с одинаковыми значениями аномалий; эти кривые и называются

и з о а н о м а л а м и. Наличие карт изоаномал обеспечивает возможность

удобного использования результатов гравиметрической съемки в различ­ ных целях. Ra рты составляют на картографической основе в различных мас­ штабах.

При специальном использовании результатов гравиметрических измерений

'(разведка ископаемых, изучение внутреннего строения Земли) возникает

необходимость учета поправок за притяжение топографического рельефа

земной поверхности.

Аномалии силы тяжести зависят от влияния наружных топографических масс, расположенных выше уровня океанов, и от действия аномальных масс, находящихся внутри Земли. Разделение влияния этих двух причин в указанных целях приобретает существенное значение. Аномалии силы тяжести, из ко­ торых исключено влияние притяжения внешних форм рельефа, будут зависеть

только от действия аномальных масс, расположенных внутри Земли. Знание

таких аномалий весьма полезно и ценно для выявления плотностей различных слоев и частей земной коры и позволяет в сочетании с геологическими и геофи­

зическими данными с большим успехом выявлять различные полезные иско­

паемые.

Топографические редукции подразделяются на следующие:

, а) полные топографические редукции, когда учитывают влияние топогра­

фических масс всей Земли;

б) неполные топографические редукции, когда учитывается влияние

топографических масс в некоторой области, обычно в радиусе порядка 100 км; в) редукции за промежуточный слой, когда притяжение топографических

масс заменяется притяжением бесконечной пластины, толщина которой равна

высоте пункта.

При вычислении первых двух редукций учитывается сферичность Земли; при вычислении поправок за промежуточный слой поверхность Земли при­

нимается за плоскость.

Топографические редукции представляют собой поправки за влияние

притягивающих масс Земли, расположенных между уровнем моря и физи1lеской земной поверхностью. Следовательно, в результате введения топографи-

11,еских редукций получаются значения силы тяжести, освобожденные от влия­

ния указанных топографических масс в учитываемой области.

Rроме топографических редукций, существуют еще редукции или по­

п Р а в к и з а р е л ь е ф. Поправки за рельеф выражают влияние топогра­

Фичесних масс, расположенных выше уровня данной точки, и недостатков

271

масс, расположенных ниже этого уровня (впадины). В результате введения поправки за рельеф получается значение силы тяжести, которое было бы в дан­ ной точке, если бы поверхность Земли в рассматриваемой ее области была rоризонтальной (на уровне данной точки). Нетрудно видеть, что поправка за

рельеф равна разности топографической редукции и редукции за промежуточ­ ный слой. Во всех случаях поправки за рельеф положительны.

Из опытных данных установлено, что аномалии силы тяжести с редукцией в свободном воздухе в сильной степени зависят от влияния топографического

рельефа окруж~ющей земной поверхности. Поэтому, когда возникает необхо­

димость интерполирования аномалии силы тяжести, то интерполированное

значение силы тяжести для точек, расположенных между гравиметрическими

пунктами, получается точнее, если из аномалий силы тяжести предварительно исключить возмущающий эффект притяжения масс, расположенных между уровнем океана и физической земной поверхностью.

Принципиально вывод формул для вычисления топографических редукций весьма простой. Он заключается в определении влияния на аномалию притя­ жения элементарной массы, расположенной на текущем расстоянии r, и ин­ тегрировании этого влияния по объему в пределах взятой области.

Из топографических редукций наиболее часто вводится реду1щия за про­ межуточный слой, которая входит основным слагаемым во все виды топографи­

ческих редукций. Эта редукция получила название редукции Буге. Не приводя

вывода формул для вычисления этой редукции, напишем ее в окончательном

Плотность б обычно известна с ошибкой 10% и более; поэтому, если :а <

Последняя формула и представляет собой влияние притяжения плоского

слоя толщины Н и бесконечного простирания.

Если Землю принять за шар, то приближенно

Плотность б верхних пород колеблется, как правило, от 2,5 до 2,8; если возьмем б = 2,6, то О,0418б = 0,109; таким образом, редукция за притяжение

промежуточного слоя составляет приблизительно одну треть от редукции в свободном воздухе.

Результаты вычислений по формулам (61.10) и (61.12) всегда будут при­ ближенными, поскольку точно не известна плотность б верхних слоев Земли.

272

1

~

Итак, примем, что известны для всей поверхности Земли смешанные ано­

причем g отнесено к точке М (рис. 115) земной поверхности с координатами В, L, Н, а у - к точке сферопа с координатами В, L, Hv (g отнесено к точке М, а у - к точке N). Иначе говоря, будем считать, что на всей поверхности Земли

выполнены измерения силы тяжести и нивелирование, необходимое для вы-

числения НV = 'У~Sgdh.

Далее положим, что уровенный эллипсоид нормального поля Земли уста­

новлен, т. е. будем считать его потенциал U O известным, причем U O = W 0 • Нетрудно понять, почему необходимы измерения на всей поверхности Земли:

возмущающий потенциал зависит от аномального поля всей Земли, а не в _от­

дельной точке или какой-либо области вблизи этой точки.

Искомое дополнительное условие на поверхности или, как его называют,

гран и ч но е ил и крае в о е у слов и е, определится из следующих

,соображений. Если

Wм=Uм+Тм,

где п - направление нормали к уровенному эллипсоиду, которое при вычисле­

нии силы тяжести можно не различать от направления вектора тяжести g.

Действительно, если вместо направления нормали п взять направление ,силы тяжести g или наоборот, то будет допущена ошибка порядка

_274

чение av при допущении, что Земля - шар, ошибочно на величину первого.

дп

порядка.

Принимая во внимание (62.9) и (62.10), для (62.8) получаем

ющеrо потенциала. Проведем через N и М уровенные поверхности нормального.

Положение точки N определяется из условия

W0 -Иi'м= U0 -UNt

но

и

Uм= Wм-Tм=W0-S gdh-Tм.

Тогда для ~ в (62.12) получим

На основании (62.11) и, принимая во внимание, что

у~=Т,

получаем для (62.5) окончательно

2Т дТ

Лg=gм-YN= -т -ап· (62.15)

Выражение (62.15) и представляет собой искомое краевое условие.

'JT

Первый член, стоящий в правой части уравнения (62.15), - ~ , учиты-

вает различие в положении точек, для которых вычислено gм и у1,,; он выра­

жает изменение силы тяжести при переходе от одной поверхности к другой.

Его называютчленом Брунса. Второйчлен ~~ представля1;:;т силу, развиваемую

возмущающим потенциалом. Оба члена являются величинами одного порядка.

Заметим, что член Брунса меняется более плавно, чем второй член~~.

Теперь определение возмущающего потенциала сводится к нахождению

функции Т, которая была бы вне S гармонической функцией координат, на бесконечности была бы регулярна и удовлетворяла бы на поверхности S усло­

вию (62.15), т. е.

Это будет так называемая третья внешняя краевая задача теории

,потенциала.

Полное решение этой задачи для поверхности Земли, данное Молоден­

,еким [36], достаточно сложно. 'Укажем лишь общий путь ее решения и прибли­

женный результат, достаточный для последующих рассуждэний и выводов. Поскольку возмущающий потенциал Т обладает всеми свойствами по­

тенциала притяжения, то его можно представить в виде потенциала притяже­

ния некоторого фиктивного материального слоя плотности ер, распределенного

на :земной поверхности S (рис. 116). Элементарная масса, приходящаяся на элемент поверхности dS, будет epdS. В точке А вне S эта масса создает эле­

ментарный потенциал

(62.16)

.а потенциал Т от всей массы слоя выразится

(62.17)

где r - расстояние от исследуемой точки до элемента поверхности dS.

Представленный в таком виде возмущающий потенциал будет вне масс

,гармонической и регулярной на бесконечности функцией, т. е. он удовлетворит условиям Л2Т = О и lim Т = О. Но, определив по (62.17) возмущающий

Г-+ОО

потенциал1 мы ввели неизвестную вспомогательную функцию ер. Таким образом, теперь вместо Т необходимо определять ер.

р

А

y;dS

ДJ1я .этой цели воспользуемся условием (62.15), которому должен под­

чиняться возмущающий потенциал Т на поверхности S.

s

где Н - направление вертикали на Земле.

В качестве поверхности S в последнем выражении принимается близкая поверхность S 1 , для которой высоты точек равны Н"'' тоqно получаемые из измерений (из нивелирования). Измеренные на всей поверхности Земли ано­

малии (gм - "rN) также можем считать отнесенными к этой поверхности S 1·

Поэтому в уравнении (62.18), если S заменить через S 1 , остается одно неиз-

276

Еестное - плотность слоя (р. Не приводя подробностей дифференцирования (62.18) и опусн.ая сложные преобразования, напишем окончательный результат

:плотности (J) введенного фиктивного слоя.

Полученное уравнение (62.19) для равнинных районов может быть упро-

. щено. В этих районах можно положить нv - HJ = О при r ~ О; влияние -отдаленных горных районов, где (НУ - H'g) достигают значительной величины,

будет также мало вследствие того, что это влияние определится выражениями

·районов второй интеграл в уравнении (62.19) может не приниматься во внима­ ние; можно также принять cos (п,' Н) = 1.

S ('ф)= cosec 1- 6 sin ! +1-5 cos ');-3 cos -фln ( sin ! +sin2 !); (62.22)

R - радиус сферы cr, т. е. радиус земного шара, который следует положить пэавным среднему радиусу Земли

В =}1 а2Ь.

Элемент поверхности dcr можно выразить так:

277

Тогда выражение (62.21) для Т примет вид

оо

Зная Т, легко находим выражение для аномалии высоты.

Действительно, так как, согласно (62.14),

,=_!_,

оо

Для вычисления возмущающего потенциала Т и на его основе величин

~' ~ и 1"\ для горных районов необходимо исходить из полной формулы (62.19). Более точная, чем (62.24), и в то же время сравнительно простая формула

для Т, учитывающая рельеф Земли, полученная на основе (62.19), может быть

1:1;

Глава Х

УКЛОНЕНИЯ

ОТВЕСНЫХ ЛИНИЙ

§ 63. Общие сведения

-Уклонение отвесной линии в первом приближении можно определить

как уг<ш между направлением нормали к поверхности эллипсоида и направле­

нием отвесной линии в исследуемой точке (точное определение этого понятия

дано в § 65.

Уточним это понятие.

Если уклонение отвесной линии определяется как угол между нормалью

линии, то такое уклонение называют о т н о с и т е л ь н ы м.

Абсолютное уклонение отвесной линии зависит только от распределения

масс Земли. Относительное уклонение отвесной линии зависит от распределе­ ния масс Земли и принятых размеров и ориентировки референц-эллипсоида.

Чем значительнее отступает референц-эллипсоид от общего земного эллип­ соида, тем больше в среднем относительные уклонения отвесных линий. При этом влияние отступления референц-эллипсоида от общего земного эллипсоида на величину относительных уклонений отвесных линий будет носить система­ тический характер и, как правило, проявляться тем заметнее, чем обширнее

область земной поверхности, к которой относятся эти уклонения отвесных

линий.

Направление отвесной линии определяется на земной поверхности из

астрономических наблюдений путем вывода астрономических координат q>

и л. Направление нормали на поверхности референц-эллипсоида определяется

геодезическими координатами В и L. Отсюда следует, что относительные укло­ нения отвесных линий могут практически определяться из соответствующего сопоставления астрономических и геодезических н.оординат. Поэтому отно­

сительные ун.лонения отвесной линии называют тан.же а с т р о н о м о - г е о д е -

з и чес к им и.

Можно дать и несн.ольн.о иное определение ун.лонения отвесной линии.

определяться нормалью R поверхности уровенного эллипсоида, то уклонение

отвесной линии можно определить кан. угол между направлениями векторов

действительного и нормального полей силы тяжести. Если за уровенный эл­

липсоид нормальной силы тяжести взять общий земной эллипсоид, то угол

(g, у) выразит абсолютное ун.лонение отвесной линии, а если референц-эллип­

соид, то относительное.

Отметим значение уклонений отвесных линий.

1. "Уклонения отвесных линий - удобные виды харан.теристик отступле­ ний действительного гравитационного поля Земли от нен.оторого другого,

называемого нормальным; уклонения отвесных линий таR же, как и высоты

геоида (или квазигеоида) над референц-эллипсоидом, непосредственно исполь­

зуются для изучения фигуры Земли.

279