Добавил:

Polosatiy polosatiyk@gmail.com Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Одесская морская академия (бывш. ОНМА)

Предмет:

Высшая геодезия

Файл:

Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

.pdf

Скачиваний:

732

Добавлен:

10.06.2017

Размер:

34.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 5219 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Для

параллели

О,

поэтому (41.1)

примет вид

dГ =

''"'С у

(41.2)

= dl

N cos В

::;.:

•

Вычисляя производную по l от выражения (38.12), получаем

Nl"2

11 2)

Nl"4

(41.3)

_]/_

= N cos в+-- cos3 В (1- t2 _J_

+-- cos5 В (5-18t2 + t4 )

2р"2

24р"4

sec у = 1 + -'2У2

+-245

~,1

[" ,·

в+

l"3

•

"В

3 2)

Slll

COS~

У-

sш

Зр"2

-т

'fJ .

После подстановки (41.3),

(41.4)

в формулу (41.2) получим окончательно

l"2

cos2 В (1 +11 2)+

l"4 cos4 в

(5-4t2).

(41.5)

т = 1+ --2

:2р"

24р"

Для выражения масштаба в функции плоских координат подставим

в фор

·мулу (41.5) значения Z и cos 2 В согласно (39.13)

и (40.6), тогда получим

т -

1 + _L (1 11

2 )

. ____L_

(41Л)

1,у2

'14

4 •

IIT

~ 1

1+112

у2

то формула (41.6)

может быть представлена

Так как-- = -

= -

2 ,

R 1

ввиде

		m=1		+	_Jf!_	_!L	(41.7)
				+	2Н2 + 24R 4 •
					1	1
Имея в виду, что lg (1 + х) = µх -					µх2	, переписываем в логарифмическом
виде	формулу	(41.7)			2
виде	формулу	(41.7)
		l		_	µу2	µу4	(41.8)
		gm- 2R 2 -				12R4 •	(41.8)
		gm- 2R 2 -				12R4 •
					1	1
где µ	- модуль десятичных логарифмов.
		§ 42. Формулы для перехода
	от расстояний на эллипсоиде к расстояниям на плоскости
		в проекции Гаусса -				Крюгера
Пусть на плоскости расстояние по прямой между точками а							и Ь равно
S (рис. 82), а		расстояние между	соответственными точками на				эллипсоиде,

-считаемое по геодезической линии, равно s. :Кривая аЬ'Ь есть изображение

геодезической линии АВ на плоскости в проекции Гаусса - :Крюгера. Через а обозначим длину этой кривой, а через 'V - угол между некоторым элементом da

кривой аЬ' Ь и хордой аЬ. Будем иметь

S = sCOS V da.

180

т'; '
Величина v, как увидим дальше, выше		второго порядка; пренебрегая
в разложении cos v в ряд вторым членом -	v2	, допускаем погрешность в S -а
в разложении cos v в ряд вторым членом -	2	, допускаем погрешность в S -а
на малую величину выше четвертого порядка, поэтому можем считать
S=a.		(42.1)
Для масштаба изображения имеем
dS		( 4'2.2)
m=7s,		( 4'2.2)

откуда

s= sr dS .

J т

Имея в виду, что

получаем		s · , у2		)-1
		s · , у2	y-i	)-1		(42.3)
		s = S( 1 т l-Rt + 24Hl		dS.		(42.3)
		s = S( 1 т l-Rt + 24Hl		dS.
		о
Пренебрежем в подынтегральной.....функции · членом					2:~4 ; при	значении
у = 100 км, т. е. при положении точки на краю трехградусной зоны,						это даст
погрешность в переносе длины с)ллипсоида на плоскость :меньше,						чем ; Х
Х 10- 8 ,	поэтому	примем				ь
		в			у	ь
		в			;J
		S= нi- 2~;ys,		(42.4)
				(42.4)
rде Rm -	средний	радиус кривизны для	средней точ
ки линии аЬ, который при интегрировании уравне
ния (42.4) будем считать постоянным.					а
Обозначив через р расстояние элемента dS				от а,
через у 1	- ор ~инату точки а, а через Т -		дирекцион		о-+--------х
вый угол линии аЬ, будем иметь					о-+--------х
				(42.5)	Рис. 82

следовательно,

181

-1s ( У12				2у1	sin Тр2 р3 sin2 т) '		(42.6)
S -		р- 2R~ р-		2·2R~		6R~
о						6R~
о
s=S		у~	У1 sin		TS _ s2 sin2 Т)
s=S	(	1 --	У1 sin		TS _ s2 sin2 Т)
		2R~		2		2 •
		2R~		2Rm		6Rm

Имея в виду, что

Лу

У1=Ут--2-,

где

Ут= YitYz и Лу=у2-у1, а Лy=SsinT,

получаем

s=S[t- У~ +(Лу)2_(Лу)2]·

2R~ 8R~ 6R~

Решая последнее выражение относительно S, получаем

S =S (t+ у~	+ (Лу)2 )	(42. 7)
2R~	24R~	'

§43. Формулы для вычисления поправок

внаправления за кривизну изображения

геодезической линии на плоскости

Вконформной проекции углы и направления переносятся с эллипсоида на плоскость без искажений, но геодезическая линия изображается на плоско

сти не прямой, а некоторой кривой. Пусть, например, на рис. 83: о, i, k - иso-

	D,	!/2		В,
	-----------
/	Llx
/	Llx
/
/	/{
/	/{
/
/		--------
/	,,	--------	А,
	,,	У,	А,
Рис. 83		Рис. 84

бражения на плоскости точек О, I, К поверхности эллипсоида; геодезиче

ские линии, соединяющие точку о с i и k, изобразятся кривыми oi и ok; угол

между касательными ok" и oi' к этим кривым в точке о будет в точности равен

углу между геодезическими линиями ОК и 01 на эллипсоиде. Однако для прак-

182

тических вычислений необходимо перейти от кривых oi, ok, ... к прямым, сое

диняющим конечные точки этих кривых. В направления ok' и oi' следует ввести

поправки, равные углам между касательными к кривым, изображающим

геодезические линии на плоскости, и прямыми, соединяющими конечные точки

этих кривых. Эти поправки на рис. 83 изображаются углами ioi' и kok' и назы

ваются

п о п р а в к а м и

з а

к р и в и з н у

и з о б р а ж е н и я

г е о д е -

з и ч е с к о й

л и н и и

н а

п л о с к о с т и.

Они обозначаются

через 60 i,

f)ok И т. д.

Дадим

первоначально

упро-

щенный вывод формул для вы-

числения этих поправок. Пусть

на плоскости имеется изображе

ние геодезической

линии

в виде

кривой

аВ1

(рис. 84).

Углы в

О,

точках А 1

и В

1 между касатель

ными

кривой

и хордой А

обозначим

через

б 1_ 2

6 2 _1 •

Рис. 85	Рво. 86

Координаты точек А 1		и В1	обозначим	через х11	у1 и х2,	у2• Если линия
С1D 1 -	изображение осевого		меридиана, то
			А1С1 = У1,
			B1D1 =У2·
Фигуре ABCD на эллипсоиде (рис. 85) спответствует фигура А							1аВ 1	С1D 1
на плоскости. Сумма углов в			фигуре ABCD на эллипсоиде равна				360°	+	е.
Сумма	углов в фигуре	A 1aB 1C 1D 1 на плоскости равна 360°				+ 6 1	. 2 +	6 2 .	1 •
Вследствие конформности изображения суммы углов обеих фигур должны
быть равны, т. е.
		3608 + е = 3608 +<\. 2 +02• 1,
или			е = О1. 2+02 1 ·
			е = О1. 2+02 1 ·
Полагая'! 6 1 . 2 = 6 2 • 1 и принимая во				внимание,	что
		е" = (х2-х1) (У1 +У2) р"*
			2R2	'

183

•

получаем

Обозначив

		У1+У2 -у
			2	-	т,
получим окончательно
{j"	_	б"	_		(х2-Х1) Ут	р"		(43.1)
1.	2 -	2.	1 -		2R 2			(43.1)
(не принимая во внимание знаков			величин б 1 . 2 ,			б 2. 1 как	поправок).
Дадим вывод более точных формул. Пусть А 1						аВ 1 (рис.	86) -	изображение
на плоскости геодезической линии АВ. Возьмем на кривой А 1аВ								1 две точки р

и q, расположенные на бесконечно малом расстоянии одна от другой и ограни

чивающие участок dcr. Для этого бесконечно малого участка разность х2									-	х1
обратится в			dx, а		<\. 2 -	02. 1 = dб.
					<\. 2 -	02. 1 = dб.
	Пусть 0 1		-	центр кривизны для участка dcr. "Угол p0 1 q будет равен 2dб.
На основании (43.1) имеем
					2do = ydx		•
						R2	•
	Обозначив радиус кривизны кривой А 1						аВ i	через р, напишем из треуголь
ника p0 1 q					2 dбр = da,
					2 dбр = da,
или	на	основании			(42.1)				(43.2)
					2dбp=dS,				(43.2)
где	dS -	элемент хорды А 1В 1 •
	Из	(43.2)		получим
					1	2 dб	у	dx	(43.3)
					p=dS=Ifi"'7fs•				(43.3)
	Возьмем систему координат с началом в точке А 1 ; ось ~ направим по хорде
А 1В	1 , а ось11		-	по напрэвлению, перпендикулярному к ней. Напишем выраже
ние, известное из дифференциальной геометрии, для радиуса кривизны
						d211
					1	d~2			(43.4)
					- =				(43.4)
					р
	Величина ~~ -				тангенс малого угла между кривой А 1аВ1 и хордой А 1					В1 ;

квадрат этой величины будет ничтожен по сравнению с единицей, с которой

он складывается в выражении для - . Поэтому приближенно можно написать

(43.5)

На основании формул (43.3) и (43.5) напишем равенство

d2'1'l

у dx

dG2 ..:.= H"l. rlS '

184

Так как ось ~ направлена по хорде А 1В 1 , то

Обозначив координаты точек А 1 и В 1 через х1, у 1 и х2, у2, а дирекционный угол хорды А 1В 1 - через Т, будем иметь

х = х1+ Gcos Т;

у= у1

+ Gsin Т } .

(43 ·5)

dx = ds cos Т

Принимая

во внимание

последние

выражения,

получаем

d 2'Y] _

у1 + ~ sin Т

cos

•

d~2

я2

Интегрируя

последнее

уравнение и

считая

постоянным,

равным Rm,

:получаем:

d'Y]

У1 cos Т

(43. 7)

--;;r=

s+-2-sшTcosT+C1,

2Rm

-ТJ =

У1 cos Т

~3 .

-t C1 s+ С2•

(43.7')

2 +-2-sш Т cos

2Rm

6Rm

В написанных выражениях С1

и С2 -

произвольные постоянные. Определим

их. Так как

точке А

s=O,

dYj

df =tg<\. 2=<\. 2,

'ТО из (43. 7)

находим

с1 = -

<\.2,

.а ИЗ ( 43.7')

С2=0.

В точке В 1

ордината 'Yl

= О,

= S

= А

1В 1 ,

поэтому из формулы (43.7')

имеем

= у1

cos Т _§__

•

,1;:

- -::.;- Slll COS

u 1

R т

6Rm

-откуда

s+~2 sin Т cos т,

{j 1

YI cos Т

2R 2

тт

или, учитывая (43.6), получаем~

{j	__	У1 (х2 -	х1) 1_ (х2 - х1) (У2 - У1)
1	2	2R~	6R~
'	-	2R~	6R~

{j		__ (Х2-Х1) (у + У2-У1)					,
i. 2				2R2	1	3	,
				т
f/	=	р"		(х2-Х1)	(	У2-У1)		,	(43.8)
t. 2	=	R	2	(х2-Х1)		Ут- ---		,	(43.8)
		2	2			6
		2	т

185

Полученные формулы (43.8) и (43.9) пригодны для вычисления редукций в триангуляции 2 класса.

Для триангуляции 1 класса, при вычислении в системе шестиградусных

зон, более точная формула имеет вид

5-"	_ Х2-Х1 fl (	У2-У1)	)
u1.2	"'" +~Р	Ут---6- -
	т

	= _ Х2-Х1 р" (у			+	У2-У1) +	(43.10)
{j"	= _ Х2-Х1 р" (у		т	+	У2-У1) +
2. t	2R2		т		6
	т
р"		р"
--уз (х -х )--у2 (у -Y·)'Yl2t						т
+ 6R'*	т 2 1	RЗ		т	2 1 ·•m	т
т		т

Для триангуляции 3 класса и ниже можно пользоваться формулой

(43.11)

Поправки, получаемые по формулам (43.10) и (43.11), следует вы ч и - тать из измеренных направлений (рис. 86).

Для вычисления поправок б координаты пунктов достаточно знать при

ближенно. Дифференцируя формулу (43.11), находим

ло•= (x2 -xi)	р'Лу	т	+ ~ р"Л (х.,- Х ).
2R 2		т			2R 2	~	1
т					т
Обозначив Л (х, - х1} = Лут через					Лр,	найдем
Ло"=~О" [у				т	+ (х	-х )1
2R	2 •			т	2	1 Jt
	т
откуда
л	M2R~					1
л	Ут+(х2-х1) 7•
р =	Ут+(х2-х1) 7•

Полагая для триангуляции 1 класса Лб = 0,001 "; Ут = 250 км; х2 - х1 =

= 50 км, находим, что Лр ~ 1 м.

Для триангуляции 2 класса, для которой Лб = 0,01 ", получим Лр ~ 10 м. Следовательно, приближенное вычисление координат для редуцирования геодезической линии на плоскость необходимо вести с удержанием 0,1 м для триангуляции 1 класса и 1 м - для триангуляции 2 класса. Для триангуляции 3 и 4 классов приближенные координаты достаточно вычислять с округлением

до десятков метров; в этом случае приближенные координаты можно определять rрафически - по точной схеме триангуляции.

§ 44. Формулы и таблицы для вычисления плоских прямоугольных ftоординат Гаусса - :Крюгера

Полученные основные формулы проекции Гаусса - Крюгера для число

вого решения задач, возникающих при применении этой проекции в геодезии,

громоздки и ·сложны. Непосредственное их использование без применения

186

вспомогательных вычислительных средств в виде специальных таблиц потребо

вало бы выполнения больших и сложных вычислений. Поэтому наличие рацио

нально составленных таблиц, соответствующих удобным для вычислений фор

мулам, имеет исключительно важное значение для практики геодезических

вычислений вообще и для вычисления координат Гаусса - Крюгера в част

ности.

Одни и те же по существу формулы могут быть путем преобразований

приведены к разнообразной внешней форме, поэтому для решения одной и

'ТОЙ же задачи с заданной точностью можно предложить различные формулы

иразличные таблицы.

При преобразовании формул для практических вычислений и составлении

'Таблиц стремятся обеспечить заданную точность вычислений при минимальном количестве вычислительных действий, простоте и удобстве вычислений. После введения в СССР системы координат Гаусса - Крюгера (1930 г.) были предло

жены формулы различного вида для вычисления и составлены соответствующие

'Таблицы. Наибольшее распространение получили таблицы, составленные инже

нерами Д. А. Лариным и В. И. Звоновым под руководством проф. Ф. Н. Кра

совского.

· В связи с переходом в 1942 г. в геодезических работах СССР от эллипсоида

Бесселя к эллипсоиду Красовского все ранее составленные таблицы потеряли

практическое значение. Главным управлением геодезии и картографии были

,с.оставлены и изданы новые таблицы для вычисления координат Гаусса -				Крю
rера с использованием размеров эллипсоида Красовского:
1) Ф. Н. Красовский и А. А. Изотов -			«Таблицы для логарифмического
:вычисления координат Гаусса -		Крюгера для широт от 30 до 80°» (М., Гео
дезиздат, 1946);
2) <<Таблицы для	вычисления плоских		конформных координат	Гаусса
в пределах широт от	30 до 80°>>,	составленные под руководством Д. А. Ларина

{М., Геодезиздат, 1958);

3)<<Таблицы координат Гаусса - Крюгера для широт от 32 до 80° через 5'

идля долгот от О до 31/ 2 ° через 71/ / и таблицы размеров рамок и площадей

1.'рапеций топографических съемою>, составленные под руководством проф.

А. М. Вировца (М., Геодезиздат, 1947).

При составлении перечисленных таблиц исходными служили формулы, полученные в предыдущих параграфах. Однако рекомендуемые в этих табли цах рабочие формулы, метод и порядок вычислений различны, поэтому рас ,е,мотрим указанные таблицы.

I. Т а б л и ц ы Ф. Н. R р а с о в с к о r о и А. А. И з о то в а пред назначены для вычислений при помощи логарифмов. В зтих таблицах рекомен

дуется два видаtформул: для вычисления координат точки, удаленной от осе

вого меридиана по долготе менее чем на 1°30', и формулы для вычисления коор динат точки, удаленной от осевого меридиана по долготе в пределах от 1°30'

.до 3°30'.

При помощи таблиц вычисляют:

а) плоские прямоугольные координаты, сближение меридианов и масштаб изображения по геодезическим координатам;

б) геодезические координаты, сближение меридианов и масштаб изображе

ния по данным прямоугольным координатам;

в) редукции горизонтальных направлений за кривизну изображения гео

дезической линии на плоскости;

г) редукции расстояний за переход с эллипсоида на плоскость.

187

II.	<<Та б л и ц ы	для вычислений пл о с к их			к он ф о р м -
н ы х	к о о р д и н а т	Г а у с с а	в	n р е д е л а х ш и р о т	от 30 до 80°»,
составленные на Предприятии No			7	nод руново;r:rством инж.	Д. А. Ларина,

предназначены для нелоrарифмическоrо вычисления координат Гаусса (в даль

нейшем для краткости будем называть их таблицами Ларина).

Таблицы содержат натуральные значения коэффициентов рядов, получен

ных в § 38, 39, 40, 41 и представляющих разложения величин (х - Х); у; '\';

В 1 - В и l по степеням l и у, а также вспомогательные табличные величины, необходимые для вычисления поправоR в расстояния и направления при пере

ходе с эллипсоида на плосRость.

г е оде з и чес к им

служат формулы (38.11)

и (38.12)

/(х-Х)=

2 siнВcos Bl"

2 +~

4 sin Вcos3 В(5 -- t2

+ \.

2р"

24р"

+ 9'У12 - 411

4 ) /" 4 + _!!__6

sin Вcos5 В(61- 58t2 + t4 )"

720р"

(44.1)

у = ~ cos Bl" + N

cos3 В(1- t2 + 11 2 ) /" 3 +

6р"

1. Д л я в ы ч и с л е н и я п р я м о у r о л ь н ы х R о о р д и н а т по

_!!__cos5 В (5-18t2 --1L t4 + 1411 2 - 58t2 11 2 ) /"

120р"5

При составлении таблиц приняты следующие обозначения величин, Rото

рые даются Rак функции В

или В и l ":

l = l" х 10-4;

а.2=

108 sin Вcos В;

2р"

= 104

~ cos В;

= _!У_ 1012 cos3 В(1- t2 + rJ

2 )·

6р"3

а6

= ~ sin Вcos5 В(G1 -

58t2 +t4 );

720р"

= _N_ cos5 В (5-18t 2 + t4 + 1411 2 - 58ri2t2 ).

120р"5

Коэффициенты

Ь -

фунRции широты;

значения а6 и Ь5 - фунRции

широты В и долготы l. С этими обозначениями формулы (44.1) оRончательно

перепишем таR:

(х- Х) = a2z2 + a4 l 4 + а' k 6

у= b1l +b3l 3 + ь~kь

k5 = (4 х	[5	а'= а6	(4 Х 3600)	6		(44.2)
	3600 )5 ;				•

kв = (4 х	l6	ьп = Ь5 (4 х 3600)		5
	:i600)6 ;				J

188

2. Д л я

в ы ч и с л е н и я с б ли же ни я

м е р и д и а н о в

при-

меняют формулу (40.5), т. е.

+-- cos

у= l sш В+ -- со:-:. В ( + 3-nЧ- 211 l

В (2- t

(44.3).

sin В

2 1

4 )

sin

5 •

Зр"2

15р"4

Обозначим:

= sin В;

sin В

= -- 1012 cos2в

(1 _j_ 3'У}~

2't"\)·

Зр"2

1 ·,

·,

sinB

4 В (2

t2)

= -- cos

15р"4

тогда формула

(44.3) примет вид

y=c1l+cзl3 +c'k5 ].

(44.4)

С~= С0 (4 ,>( 3600/

3. Д л я в ы ч и с л е н и я г е о д е з и ч е с к и х н о о р д и н а т по

прям о угольным

используют формулы (39.18)

и (39.19), ноторые пере

пишем в виде

В -B=p"tgB1y2 -

p"tgB1 ( 5 +

3t2+'Yl2_ 9rJ2t2) У4+)

2}1,11N1

24M1N~

·11

р" tg В1

(61 +

90t2+

45t4 ) у6

720М

1N~

l -

р"

6Nз

р"

(1+2t21 +

'У]

12)

- N

cos В у-

cos

~,,

(5+28ti+24t~+6rii+8ri~t~)y5

120N1 cos В1

Последняя формула после преобразования принимает вид

_	• { N 1	cos В1		+	( 1 +2t i+-11 П cos В1	у	2l
l -	у •	р"		+	6N1Р"	у	J +
-1	~		(5 + 44f~ + 32t~- 2f}i-16'Y]ifi) у5•

360N~ cos В1

В таблицах приняты обозначения:

А= rtgB1 1015(5+3t2+'Yl2_9'Y}2t2)
4	24	1	1	1 · 11	· 11 1 ,
		м Nз

( 44.5),

(44.6),

18Э1

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 5219 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Литература

#
10.06.2017781.82 Кб194Геодезические сети и их назначение.doc
#
10.06.201734.58 Mб732Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976).pdf
#
10.06.201730.92 Mб664Літинського В. (ред.) - Геодезичний енциклопедичний словник (2001).pdf
#
10.06.2017653.82 Кб349Лесных Н. Б. - Математическая обработка геодезических измерений. Метод наименьших квадратов. Практикум.doc
#
10.06.20172.32 Mб171Магуськин Б. Ф. - Уравнивание триангуляции.doc
#
10.06.20172.16 Mб238Минсайин Г. З. - Геодезические засечки.pdf
#
10.06.20172 Mб725Обратная геодезическая засечка.pdf