Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

4. Переход от lJ 2 к В 2, т. е. вычисление искомой широты второй точки по формуле (30.6).

5. Вычисление долготы второй точки.

L2= L1 +z1.

6. Переход от азимута а 2 1 на шаре к обратному азимуту геодезической

линии А;.1 на эллипсоиде по· формуле (30.7).

Обратная геодезическая задача

Даны в качестве исходных координаты двух точек. Требуется определить расстояние между ними, прямой и обратный азимуты геодезической линии,

члены порядка У\ 4 а 3 и оставив члены 'Yl2а2 (в данном случае при значительных

расстояниях У\ следует считать малой величиной того же порядка, что и а).

(30.14)

сечения первого вертикала, равную одной секунде в средних широтах 31 м,

фор:l\Iулу (30.14) окончательно перепишем: та~с

(30.15)

140

Приведенные формулы и указанный порядок вычислений позволяют решать прямую и обратную геодезические задачи.

Предложение о практическом использовании формул настоящего пара­

графа для решения прямой и обратной геодезических задач сделано Г. В. Баг­

ратуни и опубликовано в Трудах МИИГАиR (вып. 9, стр. 36-40); под его

руководством составлены вспомогательные таблицы для решения геодезических

задач. В этих таблицах приведены (только в несколько иных обозначениях)

величины lg k, v 1 , v 2 , р 1, р 2• В упомянутой статье приведена таблица наиболь­ ших погрешностей вычисления азимутов и расстояний (при средней широте 55°), :которая приводится здесь в сокращенном виде (табл. 13).

Таблиц а 13

Наибольшая погрешность

s

§ 31. Решение прямой геодезической задачи

по методу Рунге - Кутта - Мерсона

Развитие и широкое применение современной вычислительной техники

существенно расширили возможности практического использования различ­

ных методов и математических формул решения вычислительных геодезических

задач. Те формулы и способы, которые ранее, при прежних методах, были трудоемки и неудобны для вычислений, стали целесообразны и эффективны

при использовании электронно-вычислительных машин.

Приведем формулы для решения прямой геодезической задачи Рунге -

Нутта - Мерсона, вывод которых основывается на численном: интегрировании

141

142

Искомые разности коQрдинат будут равны:

ЛА== 2(ЛА1 +4ЛА4+ЛА5)

пооле чего по прежнему:

А2=А1 ± 1so• +лл

Формулы (31.1)-(31.4) пригодны для вычислений на любых ЭВМ и на­ стольных электрических машинах для средних (умеренных) расстояний до 300 км с ошибками порядка О,003"-0,006". Для больших расстояний ошибки,

естественно, будут больше.

В табл. 15 приводится пример на решение задачи по приведенным: формулам.

§ 32. Решение прямой и обратной ~адач

методом хорд эшшпсоида.

Формулы Молоденского

В основе рассмотренных способов решения главной геодезической задачи

~ежит решение сфероидических треугольников, образованных соответствующими

кривыми на поверхности эллипсоида (обычно геодезическими линиями). Такои

подход к решению задач приводит к применению бесконечных рядов со сложной

с.труктурой; общий член этих рядов остается неизвестным. Таким образомй

задача не получает строгого решения в замкнутой форме.

, Решение главной геодезической задачи методом хорд заключается в замене

сфероидических треугольников плоскими, образованными хордами, соединя­

ющими вершины треугольников. В этом случае искомые величины будут опре­ деляться формулами замкнутого вида в элементарных функциях.

·Идея использования хорд и основанньrе на ней методы решения геодезиче­

. ских задач были рассмотрены и исследованы еще в прошлом столетии, но прак­

тического применения не получили. В 1954 г. М. С. Молоденский обратил

внимание на возможность и целесообразность использования в ряде случаев

упомянутых методов и разработал теорию решения геодезических задач с ис­

пользованием хорд.

.1, , НижР будет дан вывод формул прямой и обратной геодезических задач,

~редполагал, что все исходные данные относятся к поверхности эллипсоида.

(' ·Принципиальная сторона этого метода проста. Положение точек в геодези­

,еских вычислениях задается криволинейными координатами В и L. По про­

етым и точным формулам переходим к системе прямоугольных прямолинейных

µространственных координат Х, У, Z. В этой системе координат все задачи,

связанные с определением взаимного положения точек, решаются в замкнутом

виде, включал, конечно, прямую и обратную геодезические задачи. Обратный

переход от координат Х, У, Z осуществляется точно так же, на основе тех же

Формул.

143

Пусть имеем на поверхности эллипсоида вращения точки А и В с коорди­ натами: для точки А ... В 1 и L 1 - в геодезической системе координат и Х 1, У1 , Z 1 - в системе прямоугольных прямолинейных координат; соответственно

для точки В ... В 2, L 2 и Х2, У2, Z 2 •

Зависимость между координатами выражается формулами:

Х= N cos В cos L

У=NcosBsin L

ь2

(32.1)

Z=-NsinB

а2

"Уравнение прямой, проходящей через эти две точки, имеет вид

где а, ~' у - углы прямой с координатными осями.

s1 . 2 - расстояние между точками А и В по прямой (хорде эллипсоида). Обозначая

cosa=l, cos ~ =m, cos у= п

и принимая во внимание (32.1) и (32.2), можем написать:

где 'Ф - угол между нормалями в точках А и В, определяемый из выражения

(32, 7)

Определим направляющие косинусы прямой АВ через зенитное расстояние z 1 _2 и геодезический азимут хорды А 1_ 2•

Воспользуемся следующим построением. С центром в точке 1 построим

вспомогательную сферу (рис. 60).

где Х, У, Z - пространственные координаты;

М - точка пересечения отрезка 1.2 (прямой АВ) с вспомогательной

сферой;

144

из треугольника Мz 1N

Определим азимут А 1 . 2 прямой АВ через геодезические координаты ее.

концов.

"Умножи:м (32.8) на sin В 1 и (32.10) на cos В 1 и образуем их разность, тогда

получим:

•.'.

Формулы (32.6), (32.14) и (32.15) принципиально решают задачу. При ре­

шении обратной геодезической задачи по этим формулам непосредственно

вычисляют искомые s1 . 2 , А 1• 2 и А 2• 1,

Решение прямой геодезической задачи получаем следующим образом.

Из формул (32.3) и (32.4), разделив первую на вторую, находим

Для получения выражения для разности широт умножим формулу (32.4)

Заменим в полученной формуле N 1' cos В1 из (32.16), т. е.

N1 cos В1 = m1 • 2s1. 2ctg L 2 - s1 . 2l 1 . 2

ивнесем значения l 1 . 2 и m 1 . 2 из (32.8) и (32.9).

J46

Получим:

Внесем преобразования

-sin В1 cos z1 • 2cos В1 + (1- cos2В1) sin z1 . 2cos А1• 2 =

=-cos В1 (sin В1 cos z1 . 2+ cos В1 sin z1 • 2 cos А1• 2) +sin z1• 2cos А1. 2=

Способ М. С. Молоденсного разработан автором и нандидатом техничесних иаун В. Ф. Еремеевым до стадии nрантичесного применения.

Выше изложены тольно принципиальные вопросы без подробностей, с тем

1l'fобы ознаномить читателя с иным, отличным от предыдущих, методическим

подходом к решению главной геодезической задачи.

Способ Молоденского приводит R построению пространственной или <<трех­

мерной» геодезии. Для этой цели вводится третья координата - высота nуяктов над эллипсоидом Н; выражения для пространственных координат

имеют вид:

Х = (N + Н) cosBcos L; У= (N + Н) cos Bsiп L; Z = [N (1-е2) +Нl sinB.

(32.23)

Приведем без вывода формулы для обратной геодезической задачи (при

~,юбых значениях длин хорд s и высотах Н1 и Н2).

)

- а4а-4Ь4 ( N 2s. шB2--N1 s.шB1)2 -

-2

1

\ • (32.24)

1

ctg А2. 1 =

Взаключение главы отметим следующее.

При выборе методов и фор.мул для решения геодезических задач необ­ ходимо брать такие, которые обеспечивали бы заданную точность вычислений и требовали бы наименьшего вычислительного труда. Рекомендовать единый, яаиболее целесообразный :метод получения формул и единые формулы для ре­

нительно коротких расстояниях, при более длинных за­ меняется прямым путем решения задачи. То же самое следует сказать и о прямых методах решения задачи: будучи пригодными для вычислений координат на

,большие расстояния, при уменьшении расстояний между пунктами эти методы

не получают серьезного упрощения и уступают косвенным: методам, формулы которых резко упрощаются при малых расстояниях, так как можно пренебре­ гать некоторыми поправочными членами. Но и в пределах каждого из двух

.основных путей решения геодезической задачи, в зависимости от требуемоif

точности вычислений и наличия в распоряжении вычислителя вспомогательных

вычислительных средств (таблиц и т. п.), при одних и тех же расстояниях :могут быть приняты разные методы и формулы.

Вычисление геодезических координат является одним из основных вопро­ -сов, рассматриваемых в сфероидической геодезии; эту задачу не без основания называют главной геодезической задачей. Однако с введением системы прямо­ угольных координат Гаусса - Крюгера производственное значение вопроса ,о решении геодезической задачи на эллипсоиде уменьшилось. В настоящее время координаты пунктов триангуляции 2 класса и ниже вычисляют на плоскости

.е, применением соответствующих простых формул. Лишь при обработке три­

ангуляции 1 класса вычисления ведут в системе геодезических координат на по­

верхности эллипсоида. Однако знание методов решения прямой и обратной

геодезических задач необходимо для каждого геодезиста независимо от его спе­ циализации и сферы производственной деятельности. Для специалистов, ис­ пользующих результаты геодезических и топографических работ, система пря­

моугольных плоских координат может считаться основной; для геодезиста л-.е

остается основной система геодезических координат на эллипсоиде. При реше­

нии основных научных вопросов высшей геодезии все вычисления выполняются

на поверхности эллипсоида с применением геодезических координат.

Рассмотрим различные способы контроля вычисления геодезических коор­

динат.

148