Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

сечение в А; прямая АВ - хорда, стягивающая дугу АаВ. Возьмеl\1 на кривой А аВ текущую точку k и проведем хорду kA. Обозначим центральный угол А паВ через cr, а угол knaA - через Е>; угол Е> может иметь значения от О до cr. Тогда

Проведем через точку k плоскость, перпендикулярную к хорде АВ; пусть пересечение этой плоскости с хордой АВ будет в точке k 1 и с кривой А ЪВ -

в точке k 2 • Треугольник kk 1 k 2 изображен на рис. 32. В этом треугольнике угол при вершине k 1 = /, а дуга kk 2 = d, т. е. линейному расхождению на поверх­

ности эллипсоида между прямым и обратным нормальными сечениями АаВ и АЪВ.

Из рис. 33 следует, что

Наибольшее линейное расхождение между сечениями АаВ и А ЬВ будет

в середине дуги АВ, т. е. при Е> = ~ .

Следовательно, из (15.7) получаем

между точками А и В. Положим, что широта В = 45°, А 1 = 45°, тогда получим

dmax (м) .•. 0,050 0,006 0,0008.

Результаты вычислений показывают, что линейные расхождения между прямым и обратным нормальными сечениями малы.

Формула (15.8) верна для геодезических линий, когда азимуты их не близки к 90 или 270°, в противном случае следует применять более точные формулы.

Дадим без вывода выражение для разности длин геодезической линии

и дуги нормального сечения D s

60

1

Для s = 600 км· Ds =:::; 135000 м.

Произведенные расчеты позволяют сделать заключение, что разностью'

длин геодезической линии и дуги нормального сечения при вычислении триан­

гуляции можно пренебречь.

§ 16. Длина дуги нормального сечения

Выразим длину дуги нормального сечения произвольного азимута через·

длину окружности, построенной радиусом сечения первого вертикала в первой: точке. Пусть на рис. 34 АВ - дуга прямого нормального сечения,. про:ведев:...-

в'

А

скости этой дуги проведем окружность радиусом, равным радиусу сечения пер­

вого вертикала N 1 в точке А (широта В1) и, следовательно, с центром в точке па.

Пусть точка В' будет пересечением линии Впа с проведенной окружностью. Обозначим далее центральный угол, под которым усматривается дуга АВ

и АВ', через cr, расстояние Впа - через z; угол в точке В между линией Впа

и радиусом сечения первого вертикала в точке В, т. е. Впь, черев е. Тогда.

ив треугольника Впапь имеем

z2 == N~ +пап~- 2N2nanь cos {180° -(90° - В2)- е}

или

откуда

(16.1)·

Примем за малую величину первого порядка~ или е2, тогда, имея в виду,

что, согласно (15.1) и (15.3),

папь = Ne 2 (В2 -В1) cos Вт,

е = е2 (В2- В1) cos2 Вт~

61

,с отбрасыванием членов третьего порядка малости (16.1) примет вид

о

62

Формулы (16.13) и (16.14) ошибочны на малые величины порядка Ne2o6 •

Без вывода приведем формулы, устанавливающие связь между длиной дуги нормального сечения s и длиной хорды d, соединяющей конечные точки

дуги [44, стр. 75].

§17. Углы между взаимными нормальными сечениями

игеодезической линией

На рис. 36 изображен треугольник, вершинами которого являются изве­

стные из предыдущего параграфа точки А, k 2 , k. Соединим точку А с точ­

ками k и k 2 прямыми, которые будут хордами для частей дуг прямого и обрат-

ного нормальных сечений в точке А. Согласно рис. 36 имеем LkAk 2 =~;у

или на основании формул (15.5) и (15.7)

L kA 1,. 1= N1e 2cr cos2 Вт sin 2А10 (cr-0)

63

j

64

Для расхождения азимутов прямого и обратного нормального сечения в точке А

Л1.2•= АлавАльв.

Для разности азимутов прямого нормального сечения и геодезической линии в точке А с широтой В 1 более точная формула с удержанием членов по­ рядка Т\ 2о3 имеет вид

причем по-прежнему

Приведем еще формулу, выражающую разность направления ВаА и напра­ вления геодезической линии ВА. Эта величина будет выражать разность между

углом, образованным плоскостью меридиана точки В и плоскостью прямого нормального сечения в точке А, и азимутом геодезической линии ВА.

Эта величина, которую назовем 6 2 . 1 ", будет

(17.7)

причем

л;.1 = л;.1 -в;.1.

Произведем подсчеты для определения числового значения расхождений между азимутами взаимных нормальных сечений и азимутами прямого нормаль­ ного сечения и геодезической линии.

Если s = 200 км, то максимальные значения Л и б при В = О и А = 45 °

получатся:

Л" = 0,36" и б'' = О,12".

Если s = 100 км, то соответственные величины будут равны

Л = 0,09" и б· =с: 0,02".

Если s = 50 км, то

л" = о,02з· и б" = 0,006".

При вычислении направлений и азимутов в триангуляции 1 класса тре­

буется обеспечить точность до сотых долей секунды. Для этог() необходимо

производить учет поправок и удерживать тысячные доли секунды.

*А. Т и л л о. <<Геодезические :исследования Гаусса, Бесселя и Ганзена>>. 1866, стр. 150.

Вформуле Ганзена приведенные широты заменены геодезическими, что вызывает пренебре­

гаемые ошибки порядка ri4cr2 и rt4CJЗ.

~'

~

66

дясъ на ~ расхождения между взаимными нормальными сечениями в точке А;

по мере продвижения к точке В геодезическая линия прибл.ижается к сечению, обратному для точки А и прямому для точки В, и на равном расстоянии

между А и В располагается посередине между обоими нормальными сечениями; наконец, в точке В она снова делит угол между взаимными нормальными сече­

ниями в отношении 1 : 2, но находится уже ближе к сечению ВЬА. Однако при азимутах геодезической линии А 1 • 2 = О или 180° и азимутах, близких к 90

или 270°, положение геодезической линии несколько иное. Рассмотрим некото­

рые частные случаи особого расположения геодезической линии относительно

взаимных нормальных сечений.

1. Если азимут А 1 . 2 = О или 180°, то значение поправки

будет равно О; следовательно, если две точки А и В находятся на одном мери­

и геометрически, так как нормали в точках А и В лежат в одной плоскости -

плоскости меридиана точек А и В. .

2. Пусть две точки А и В находятся на одной параллели и, следовательно,

.азимут А 1 прямого нормального сечения будет близок к 90 или 270°, а В 1 =

= В 2 • В этом случае прямое и обратное нормальные сечения совпадут, так как пересечение нормалей к поверхности в точках А и В с малой полуосью про­ изойдет в одной точке; расположение геодезической линии относительно нор­ мальных сечений будет иное по сравнению с указанным выше.

~

. 5"'

Гл а в а 111

РЕШЕНИЕ МАЛЫХ СФЕРИЧЕСКИХ И СФЕРОИДИЧЕСКИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

§ 19. Общие сведения

После того как получены окончательные значения измеренных направлений

или углов на поверхности эллипсоида, переходят к решению треугольников.

Задача заключается в последовательном вычислении длин сторон треугольников

триангуляции, причем известны одна сторона и углы в каждом треугольнике.

Строго говоря, треугольники триангуляции являются сфероидическими или эллипсоидальными треугольниками, поскольку они образованы на поверх­

ности эллипсоида. На практике обычно приходится 1в1еть дело с треугольни­ ками, стороны которых не превышают 40-50 км и в редких случаях достигают

70-80 км. Вследствие близости земного эллипсоида к сфере различие в эле­ ментах сфероидических и сферических треугольников триангуляции пренебре­ гаемо *. Таким образом, вычисление треугольников триангуляции сводится к решению сферических треугольников. Если решать треугольники по обычным формулам сферической тригонометрии, то стороны необходимо выражать в ча­ стях радиуса, но это неудобно, так как ррактически стороны должны быть выражены в метрах. Поэтому треугольники триангуляции решают особыми

методами, пользуясь т е о р е м о й Л е ж а н д р а и л и с п о с о б о м

а д д и т а м е н т о в.

При развитии геодезической сети методом трилатерации решение треуголь­

ников заключается в вычислении углов треугольников пс их сторонам; в этом

случае также целесообразно пользоваться теоремой Лежандра и способом

аддитаментов.

§ 20. Решение сферических треугольников

можем от сферических треугольников переходить к плоским, имеющим такие же значения длин сторон, и, таким образом, производить решение ~еугольников, применяя формулы прямолинейной тригонометрии.

Обозначим через R радиус шара, на котором построен сферический тре­ угольник. Тогда, применив формулу косинуса стороны для сферического тре­ угольника А ВС, напишем

* Это будет видно в последующем, при изложении сведений о решении больших тре­ уrольюшов; вывод о величине и пренебреrаемости различий, при уназанных размерах тре­ угольников, между сторонами сферичесних и сфероидичесних треугольнинов можно видеть из формул теории изображения эллипсоида на шаре, например, теории Гаусса - см. § 28.

68

откуда

:85