Литература / Закатов П.С. - Курс высшей геодезии (1976)

прибору данной конструкции. Точность определения относительного ускоре­

ния силы тяжести в этом случае зависит только от случайных ошибок в опреде­

лении периода качания маятников и изменений систематических ошибок

и постоянных прибора, которые могут произойти после наблюдений на исход­

ном пункте.

Применением соответствующей методики и конструкции прибора ослаб­

ляется влияние и этих ошибок.

Точность окончательного вывода периода качания маятника после учета всех поправок характеризуется ошибкой около ±0,00000004 с; соответству­

ющая ошибка в определении ускорения силы тяжести равна приблизительно

±0,2 мгал.

Для уяснения идеи статического метода изложим принципиальную схему измерения силы тяжести прибором, в котором используется упругая сила

пружины.

Пусть мы имеем тело с некоторой постоянной массой; вес этого тела опре­ деляется силой тяжести. Определим вес этого тела р в некотором исходном

пункте, для которого известно значение силы тяжести g 0 •

Вес этого тела в другой точке, для которой требуется определить силу

будем иметь:

(Лg) = f (Лр), g1 = go + (Лg).

Простейшая возможная зависимость между (Лg) и (Лр) имеет вид

(Лg) = а Лр+ Ь.

Определение постоянных а и Ь может быть произведено посредством изме­ рения веса теJш в трех точках А, В и С сила тяжести для которых известна. Если обозначить:

gв -gл = (Лg1) и РвРА = Лр1, gc - gв = (Лg2) и РеРв = Лр2,

то

(Лg1) = а Лр1+ Ь, (Лg2) = а Лр2 + Ь,

из которых легко находятся неизвестные коэффициенты а и Ь.

:Измерение веса тела должно быть произведено при помощи прибора, работа которого не зависит от силы тяжести; таким прибором могут служить

пружинные весы, так как упругая сила пружины не зависит от силы тяжести.

Определение силы тяжести при помощи гравиметров занимает мало вре­

мени и производится с высокой точностью.

§ 53. Потенциал силы притяжения

Пусть в пространстве имеем две материальные точки А и В с координатами

а, Ь, с их, у, z (рис. 103). Обозначим массу точки А через т, массу точки В

примем равной единице. Расстояние между точками обозначим через r.

230

Согласно закону всемирного тяготения, сила взаимного притяжения точек А и В :выразится формулой

Fz=F cosy

(на рис. 103 для простоты построения начало координат совмещено с одним

из концов вектора F без изменения направления осей). Но

а-х )

c-z

Fz = F cos у= fт --,:з

Сила притяжения и создаваемое ею напряжение является в е к т о р о м,

который определяется как величиной, так и направлением в пространстве.

Поэтому характеристика силового поля в пространстве выражается тремя

уравнениями (53.5).

Однако при определенных условиях поле сил может быть выражено одной

функцией от координат х, у, z, как независимых переменных.

Возьмем функцию

и найдем частные производные ее по координатам х, у и z, явно входящим в нее

О··.

Ф у н к ц и я V, ч а с т н ы е п р о и з в о д н ы е к о т о р о й п о

прямоугольным координатам притягиваемой точ­

ки равны составляющим силы притяжения по осям

к о о р д и н а т, н а з ы в а е t;q, с я п о т е н ц и а л ь н о й ф у н к ц и е й,

или просто потенциалом п р и т я ж е н и я.

создающее вокруг себя силовое поле притяжения. Определим напряжение этого поля в точке А. Разобъем объем тела 't на элементарные объемы.

232

Аналогично с (53.5) проекциями силы притяжения элементарной массы в точке Jvl на точку А будут:

Суммируя действие элементарных масс по всему объему тела, получаем

В (53.16) интегрирование выполняется по всему объему тела 't. Следова­

тельно, пределы интегрирования определяются в зависимости от формы тела. Если под телом понимать Землю, то выражение (53.16) будет представлять потенциал притяжения Земли на внешнюю точку; в этом случае интегрирова­

ние должно выполняться по всему объему Земли.

При бесконечном удалении тела от притягиваемой точки, т. е. когда рас­ стояние r н'еограниченно велико по сравнению с размерами тела, выражения для силы притяжения ·и потенциальной функции напишутся:

где М - масса тела.

Из последних выражений имеем:

ными на бесконечности.

До сих пор мы полагали, что притягиваемая точка находится вне притяги­ tшющего тела. Допустим: теперь, что притягиваемая точка расположена внутри

233

притягивающего тела. Тогда величина r в выражении (53.15) может при­

нять малые значения и стремиться к нулю. При r, стремящемся к нулю, его

значение будет становиться веJiичиной первого порядка малости. Следова­

тельно, выражение

dп db dc r

будет величиной второго порядка малости. Первые производные от потенциала,

.содержащие интеграл вида

(53.19)

13 этом случае будут конечными и непрерывными, так как, если (а - х) будет

стремиться к нулю, числитель станет величинои четвертого порядка малости,

азнаменатель - третьего. Поэтому отношение их будет первого порядка

малости.

Отсюда вытекает существенный вывод: потенциал пр и тяже ни я

Земли и его первые производные всюду конечны

и однозначны; можно доказать, что они будут также непрерывными.

Введение понятия потенциала приводит к тому, что вместо получения и

исследования трех функций, выражающих компоненты силы по осям коорди­ нат, стало возможным находить и исследовать одну функцию. Выяснилось, что потенциальная функция обладает замечательными свойствами, использование которых оказалось чрезвычайно плодотворным для решения многих научных проблем, в том числе и проблемы изучения фигуры Земли.

§ 54. Разложение потенциала земного притяжения в ряд

Использование выражения для потенциала jсилы земного притяжения

ввиде

встречает известные трудности. Более удобное выражение для потенциала V

можно получить путем разложения 1 /r в ряд.

234

С введенными обозначениями имеем:

пень - ~ и разложим правую часть по биному Ньютона, тогда :получим ряд

по возрастающим степеням ...rЕ. • 1

Ограничиваясь членом с ~:, получаем

Попутно укажем, что коэффициенты при степенях ..,е._ являются так павы­

ваемыми сферическими функциями, применяемыми в теории потенциала.

Первый интеграл, распространенный па весь объем притягивающего тела

будет равен его массе М.

Второй интеграл, принимая во внимание (54.6), можно представить таю

235

Аналогичные выражения получаются для других осей координат.

!2 5Р ;; dm = ;з 5ахdm = :.: 5хdm = О.

По тем же соображениям будут равны нулю и остальные два интеграла

(54.10).

Следовательно,

Jpcos-фdm=O. (54.14)

Таким образом, второй член разложения потенциала силы притяжения

вряд равен нулю.

Рассматривая третий интеграл выражения (54. 9)

замечаем, что при возведении в квадрат трехчлена (ах+ Ьу + cz) появится,

Интегралы вида Sxydm называются произведениями инерции. При рас­

положении координатных осей, совпадающих с главными осями инерции, они

равны нулю. Поэтому (54.15) можно представить в виде

Соединяя вместе члены, содержащие а2 , затем Ь2 и с2, разбиваем интеграл

на три части, из которых первую напишем так:

;: S(2z2 - x2 -y2 ) dm.

Из механики известно, что главные моменты инерции А, В, С относительно

осей координат ~выражаются формулами:

236

Легко проверить, что

J(2z 2 - x2 - y2 )dm=A +В-2С

Поэтому, принимая во внимание (54.18) и (54.20), интеграл (54.15) при­

()тсчитываемую от плоскости xz. Тогда на основании (4.15) и (4.32) будем иметь:

а = r cos Ф cos L ]

циал шара с массой, равной массе Земли.

Второй член, зависящий от широты, представляет собой влияние сжатия

:Земли или, иначе говоря, влияние возрастания масс от полюса :к экватору.

Третий член представляет собой влияние неравномерного распределения масс

no долготе.

Таким образом, полученная формула (54.25) справедлива и для трехос-

ной Земли. '

Если рассматривать Землю как тело вращения и моменты инерции относи­

-тельно осей, расположенных в плоскости экватора, положить равными между

-собой, т. е. А = В, то третий член в формуле (54.25) пропадает; соответственно

изменится в этой формуле и второй член, и для данного случая формула (54.25)

237

Выше были упомянуты сферические функции, которые находят себе широ­ кое применение во многих вопросах математической физики, в частности, в тео­ рии потенциала и решении основных задач высшей геодезии на основе астро­ номо-геодезических и гравиметрических измерений и спутниковых наблюдений.

Перепишем (54.8) так:

функцией cos ,J, порядка п, представляет собой один из видов сферических функций; это многочлены степени п от cos ,t,. Они называются многочленами Лежандра.

В более общем ви,тQ формула (54.26) перепишется

n=O

Выражение для потенциала притяжения, принимая во внимание (54.1)

и (54.27), в общем виде напишется:

n=O

или, учитывая выражения для пе,рвых трех членов ряда, данные формулой

(54.8):

V=f sа; +f s~; cos-фdm+fs~: ;(3cos2 ,t,-1)dm+

(54.29)

Интегрируя первые три члена, получим формулу (54.25), конечно, без

последнего члена, т. е.

без использования сферических функций. Приведенные самые начальные и эле­

ментарные понятия об этом виде специальных функций и их применение даются

для общего ознакомления, которое может быть полезно при более детальном

изучении теоретических вопросов геодезии по первоисточникам и специальным

трудам (например, [1], [12]; [39] и многие другие).

238

§ 55. Основные свойства потенциала притяжения

Пусть задана материальная точка В с координатами х, у, z; на бесконечно

где (s, х), (s, у) и (s, z) - углы, образуемые направлением ds с осями коорди­

нат х, у, z.

Тогда потенциал V силы притяжения, как функция координат х, у, z, получит приращение при перемещении из точки В в точку В 1 , равное полному дифференци.алу

Но выражение, стоящее в фигурных скобках, есть косинус угла между

направлением силы тяжести F и направлением элемента ds, т. е. cos (F, s).

Из равенств (55.6) и (55. 7) вытекает ряд важных свойств потенциальной функции.

Rак известно из механики, элементарная работа силы F при перемещении точки на расстояние ds будет Fds; отсюда следует, что бесконечно малое при­

ращение потенциала есть работа, которую совершает сила F при перемещении

единицы массы на расстояние ds.

При конечном перемещении единицы массы между некоторыми точками

М и N работа R, совершаемая силой F, будет равна разности потенциалов

в этих точках, т. е.

мм

239